{"id":10483,"date":"2026-04-12T10:08:23","date_gmt":"2026-04-12T08:08:23","guid":{"rendered":"https:\/\/blog.polityka.pl\/naukowy\/?p=10483"},"modified":"2026-04-12T10:10:19","modified_gmt":"2026-04-12T08:10:19","slug":"o-przestrzeniach-wektorowych-nieskonczenie-wymiarowych-jak-dziala-mechanika-kwantowa","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/blog.polityka.pl\/naukowy\/2026\/04\/12\/o-przestrzeniach-wektorowych-nieskonczenie-wymiarowych-jak-dziala-mechanika-kwantowa\/","title":{"rendered":"O przestrzeniach wektorowych niesko\u0144czenie wymiarowych \u2013 jak dzia\u0142a mechanika kwantowa"},"content":{"rendered":"\n
\"\"<\/a><\/figure>\n\n\n\n

Funkcja falowa stanowi wektor w niesko\u0144czenie wymiarowej przestrzeni Hilberta \u2013 m\u00f3wi\u0105 ksi\u0105\u017cki o mechanice kwantowej. Ale \u017ce o co chodzi?<\/p>\n\n\n\n\n\n\n\n

Ostrzegam, b\u0119dzie trudno.<\/strong> Mechanika kwantowa jest dziwn\u0105 i skomplikowan\u0105 nauk\u0105. Ksi\u0105\u017cki popularnonaukowe zazwyczaj pomijaj\u0105 kwestie matematyczne na zasadzie \u201ci tak nie zrozumiecie\u201d. Teksty naukowe obfituj\u0105 za to w dziwaczne znaczki, kt\u00f3rych nikt poza matematykami i fizykami nie rozumie.<\/p>\n\n\n\n

Luk\u0119 t\u0119 wype\u0142nia \u201cMechanika Kwantowa. Teoretyczne Minimum\u201d s\u0142awnego fizyka Leonarda Susskinda i Arta Friedemana. T\u0142umaczenie zaczynaj\u0105 oni od spinu.<\/p>\n\n\n\n

Nie wiemy, czym jest spin (i si\u0119 nie dowiemy), ale wyobra\u017amy sobie instrument pomiarowy, kt\u00f3ry go mierzy. Ustawiamy go w osi pionowej, powiedzmy z<\/em>, i odczytujemy wynik +1 (w g\u00f3r\u0119) b\u0105d\u017a \u20131 (w d\u00f3\u0142). Mierzymy kilka razy, wychodzi to samo. Nast\u0119pnie zmieniamy o\u015b o 90\u00b0, przeprowadzamy pomiar w kierunku poziomym x i wychodzi zn\u00f3w +1 (prawo) albo \u20131 (lewo). Je\u015bli w pierwszym pomiarze otrzymali\u015bmy +1, w drugim \u20131, to mo\u017ce nasz spin jest wektorem skierowanym uko\u015bnie w prawo i do g\u00f3ry? Zmierzmy go jeszcze raz w osi z. Wyjdzie +1, prawda? Tak, w po\u0142owie przypadk\u00f3w. W drugich 50% b\u0119dzie skierowany w d\u00f3\u0142. Mo\u017cemy projektowa\u0107 do\u015bwiadczenie rozmaicie, kr\u0119ci\u0107 przyrz\u0105dem w g\u00f3r\u0119, w d\u00f3\u0142, do przodu, ty\u0142u i na boki (a nawet w kierunek, gdzie mieszkaj\u0105 smoki), ale wynik ka\u017cdego nowego pomiaru jest nieprzewidywalny, cho\u0107 mo\u017cliwe wyniki pojawiaj\u0105 si\u0119 ze sta\u0142ym, dobrze okre\u015blonym prawdopodobie\u0144stwem.<\/p>\n\n\n\n

Tak absurdalne wyniki t\u0142umaczy\u0107 mo\u017ce tylko wyj\u0105tkowo absurdalna teoria i nie mniej dziwaczna matematyka. \u017beby j\u0105 wyt\u0142umaczy\u0107, zastan\u00f3wmy si\u0119, co wiemy o wektorach.<\/p>\n\n\n\n

Opiera si\u0119 na nich ca\u0142a fizyka. Wektorami s\u0105 pr\u0119dko\u015b\u0107, si\u0142a, przyspieszenie. To takie jakby strza\u0142ki danej d\u0142ugo\u015bci skierowane w pewnym kierunku. A teraz pomy\u015blmy, co mo\u017cna zrobi\u0107 z tak\u0105 strza\u0142k\u0105.<\/p>\n\n\n\n

Na pewno wektory mo\u017cna doda\u0107, rysuj\u0105c now\u0105 strza\u0142k\u0119 na ko\u0144cu w poprzedniej. Mo\u017cemy doda\u0107 wektor zerowy<\/font>, kt\u00f3ry nic nie zmienia, do ka\u017cdego wektora mo\u017cna doda\u0107 wektor przeciwny<\/font> (strza\u0142k\u0119 w drug\u0105 stron\u0119 – otrzymamy wektor zerowy), ostateczny wynik dodawania kilku wektor\u00f3w nie zale\u017cy od ich grupowania ich w nawiasy, a nawet kolejno\u015bci<\/font>. (Kto zna matematyk\u0119 na poziomie troszk\u0119 wy\u017cszym ni\u017c matura, rozpozna tu aksjomaty grupy przemiennej<\/strong><\/font>).<\/p>\n\n\n\n

Dalej mo\u017cna pomno\u017cy\u0107 wektor przez skalar<\/font>, czyli liczb\u0119 (najlepiej rzeczywist\u0105 b\u0105d\u017a z innego niesko\u0144czonego zbioru liczb umo\u017cliwiaj\u0105cego dodawanie, odejmowanie, mno\u017cenie i dzielenie<\/font>, czyli z cia\u0142a<\/strong><\/font>), co opisuj\u0105 aksjomaty mno\u017cenia<\/font>, tak\u017ce przez 1<\/font> (nic nie zmienia) i dwie regu\u0142ki przemienno\u015bci mno\u017cenia wzgl\u0119dem dodawania, czy to liczb, czy wektor\u00f3w<\/font>. Takie po\u0142\u0105czenie grupy z cia\u0142em nazywamy przestrzeni\u0105 wektorow\u0105<\/strong><\/font>.<\/p>\n\n\n\n

Ka\u017cda taka przestrze\u0144 ma pewn\u0105 baz\u0119 wektor\u00f3w jednostkowych, z kt\u00f3rych sk\u0142adamy inne (nie musz\u0105 one by\u0107 do siebie prostopad\u0142e, ale to znacznie upraszcza liczenie). Ju\u017c w szkole przypisujemy wektorom wsp\u00f3\u0142rz\u0119dne. Jak otrzyma\u0107 wektor (3,5)? Wektor jednostkowy w kierunku x<\/em> mno\u017cymy przez 3, wektor jednostkowy w kierunku y<\/em> i mno\u017cymy przez 5 i dodajemy je do siebie (czyli rysujemy kolejny na ko\u0144cu poprzedniego). Ka\u017cdy wektor przestrzeni wektorowej mo\u017cna roz\u0142o\u017cy\u0107 na sum\u0119 pomno\u017conych przez pewne skalary wektor\u00f3w bazy.<\/p>\n\n\n\n

A czy wektory mo\u017cna mno\u017cy\u0107 przez siebie? Tak, niestety na przynajmniej 3 sposoby. Rozwa\u017cymy tu tylko najprostszy (co nie znaczy: prosty): iloczyn skalarny.<\/p>\n\n\n\n

Pami\u0119tamy ze szko\u0142y, \u017ce praca to iloczyn si\u0142y i drogi, na kt\u00f3rej ona dzia\u0142a (przemieszczenia). I si\u0142a, i przemieszczenie s\u0105 wektorami. To wa\u017cne: prac\u0119 wywo\u0142uje tylko si\u0142a dzia\u0142aj\u0105ca wzd\u0142u\u017c przemieszczenia. To w\u0142a\u015bnie iloczyn skalarny wektor\u00f3w. W razie dw\u00f3ch wektor\u00f3w r\u00f3wnoleg\u0142ych mno\u017cymy ich d\u0142ugo\u015bci przez siebie, w przypadku prostopad\u0142ych iloczyn wynosi 0, w przypadku wszystkich innych wektor\u00f3w rozk\u0142adamy je na wektory r\u00f3wnoleg\u0142e i prostopad\u0142e. Dzi\u0119ki trygonometrii jest to r\u00f3wnowa\u017cne pomno\u017ceniu przez siebie ich wsp\u00f3\u0142rz\u0119dnych wzd\u0142u\u017c ka\u017cdej osi (x<\/em> z x<\/em>, y<\/em> z y<\/em> itd.) i dodanie ich do siebie (mo\u017cna to w miar\u0119 \u0142atwo wyprowadzi\u0107, a je\u015bli komu si\u0119 nie chce, pozostaje mu wierzy\u0107 mi na s\u0142owo). Zauwa\u017cmy jeszcze, \u017ce tak zdefiniowany iloczyn skalarny wektora z nim samym (x2<\/sup>+y2<\/sup>) jest kwadratem jego d\u0142ugo\u015bci.<\/p>\n\n\n\n

\"\"<\/a>
Iloczyn skalarny: mno\u017cymy d\u0142ugo\u015b\u0107 pierwszego wektora (b) przez d\u0142ugo\u015b\u0107 rzutu drugiego wektora (czyli d\u0142ugo\u015b\u0107 cienia a padaj\u0105cy na b)<\/figcaption><\/figure>\n\n\n\n

To teraz po\u017cegnajmy szkoln\u0105 matematyk\u0119 (nie obiecywa\u0142em, \u017ce b\u0119dzie \u0142atwo). Generalnie za wektor uwa\u017ca\u0107 mo\u017cna cokolwiek, co spe\u0142nia podane wy\u017cej aksjomaty przestrzeni wektorowej, niezale\u017cnie, czym w\u0142a\u015bciwie jest.<\/p>\n\n\n\n

Przestrze\u0144 wektorow\u0105 wyposa\u017con\u0105 w iloczyn skalarny nazywamy przestrzeni\u0105 unitarn\u0105<\/strong>. Przestrze\u0144 Hilberta ma jeszcze jedn\u0105 zabawk\u0119 wi\u0119cej (z kt\u00f3rej \u2013 miejmy dla siebie lito\u015b\u0107 \u2013 nie b\u0119dziemy tu korzysta\u0107).<\/p>\n\n\n\n

Stan badanego uk\u0142adu w mechanice kwantowej uwa\u017ca si\u0119 za pewien wektor (w tym drugim, nie w szkolnym znaczeniu). W przypadku spinu przestrze\u0144 wektorowa jest dwuwymiarowa z dwoma prostopad\u0142ymi (fizycy m\u00f3wi\u0105 ortogonalnymi) wektorami bazowymi<\/strong> odpowiadaj\u0105cymi mo\u017cliwym wynikom pomiaru (spin w g\u00f3r\u0119, spin w d\u00f3\u0142), kt\u00f3re mo\u017cemy nazwa\u0107 \u2013 z braku lepszego pomys\u0142u \u2013 g\u00f3rnym i dolnym. Stan uk\u0142adu wyra\u017ca si\u0119 wektorem otrzymywanym z pomno\u017cenia obu tych wektor\u00f3w bazowych przez pewne wsp\u00f3\u0142czynniki (fizycy m\u00f3wi\u0105 amplitudy) i dodaniu (jak w szkolnej matematyce).<\/p>\n\n\n\n

Wsp\u00f3\u0142czynniki te pr\u00f3bowano wyra\u017ca\u0107 liczbami rzeczywistymi, ale rachunki nie sz\u0142y. Okaza\u0142o si\u0119, \u017ce trzeba u\u017cy\u0107 szerszego cia\u0142a liczb zespolonych, tworzonego z cia\u0142a liczb rzeczywistych rozszerzonego o jedn\u0105 liczb\u0119 i<\/em> tak\u0105, \u017ce jej kwadrat wynosi \u20131 (przypomnijmy: cia\u0142o oznacza, \u017ce mo\u017cemy j\u0105 dodawa\u0107, odejmowa\u0107, mno\u017cy\u0107 i dzieli\u0107 przez liczby rzeczywiste). Wbrew pozorom to znacznie upraszcza rachunki. Trzeba tu troch\u0119 zmodyfikowa\u0107 iloczyn skalarny. Dla liczby zespolonej x+yi<\/em> modu\u0142, czyli odleg\u0142o\u015b\u0107 od zera, wyra\u017ca si\u0119 wzorem x2<\/sup> + y2<\/sup>, co otrzymamy mno\u017c\u0105c t\u0105 liczb\u0119 przez x\u2013yi<\/em> (czyli przez jej sprz\u0119\u017cenie zespolone). Fizycy maj\u0105 zwyczaju zapisywa\u0107 ten w miar\u0119 prosty wz\u00f3r dziwn\u0105 konstrukcj\u0105 zwan\u0105 bracket<\/em> (po angielsku nawias), okre\u015blaj\u0105c lew\u0105 stron\u0119 zapisu bra<\/strong>, a praw\u0105 ket<\/strong> (fizycy nie lubi\u0105 uczy\u0107 si\u0119 nazw na pami\u0119\u0107).<\/p>\n\n\n\n

Po prawej stronie tego hieroglifu mamy wektor wyra\u017caj\u0105cy pierwotny stan pierwotny. Proces pomiaru danej warto\u015bci odpowiada pe\u0142nemu operator\u00f3w, czyli tabelce z liczbami, kt\u00f3re trzeba przemno\u017cy\u0107 przez wsp\u00f3\u0142rz\u0119dne danego wektora. Przyk\u0142adowo wektor g\u00f3rny musi mie\u0107 wsp\u00f3\u0142rz\u0119dne (1,0), a procesowi pomiaru spin\u00f3w w kierunku z odpowiada tabelka 2 na 2 z kolejnych warto\u015bciach 1, 0, 0, \u20131 (fizycy m\u00f3wi\u0105 tu o macierzach Pauliego).<\/p>\n\n\n\n

Je\u017celi chcemy (musimy?) policzy\u0107 prawdopodobie\u0144stwo otrzymania danego stanu, odpowiadaj\u0105cy mu wektor wpisujemy w lew\u0105 stron\u0119, czyli bra, nast\u0119pnie piszemy zmodyfikowany przez operator wektor stanu ket i liczymy sobie iloczyn wektorowy. (Na przyk\u0142ad wektor w prawo ma wsp\u00f3\u0142rz\u0119dne (1\/\u221a2,1\/\u221a2). (Je\u017celi kto\u015b powzi\u0105\u0142 postanowienie po\u015bwi\u0105teczne zarobi\u0107 si\u0119 na \u015bmier\u0107, mo\u017ce przypomnie\u0107 sobie lub sprawdzi\u0107 w Internecie mno\u017cenie macierzy i policzy\u0107 sobie sam, wszystkim pozosta\u0142ym proponuj\u0119 ponownie uwierzy\u0107 na s\u0142owo). W ten spos\u00f3b otrzymujemy prawdopodobie\u0144stwo danego wyniku.<\/p>\n\n\n\n

Sytuacja komplikuje si\u0119, je\u015bli chcemy okre\u015bli\u0107 nie spin, kt\u00f3rego wynik przyjmuje dwie mo\u017cliwo\u015bci, ale po\u0142o\u017cenie czy pr\u0119dko\u015b\u0107 cz\u0105stki, kt\u00f3re mog\u0105 przyjmowa\u0107 niesko\u0144czenie wiele r\u00f3\u017cnych warto\u015bci.<\/p>\n\n\n\n

Dwa mo\u017cliwe wyniki warto\u015bci spinu oznaczaj\u0105 dwa wektory bazowe. Analogicznie niesko\u0144czenie wiele wynik\u00f3w po\u0142o\u017cenia oznacza niesko\u0144czenie wiele wektor\u00f3w bazowych rozpinaj\u0105cych przestrze\u0144 Hilberta. Ka\u017cdemu z nich, odpowiadaj\u0105cemu pewnej liczbie rzeczywistej, przypisujemy pewn\u0105 warto\u015b\u0107 (wsp\u00f3rz\u0119dn\u0105 wektora w tym kierunku). Te w\u0142a\u015bnie warto\u015bci opisuje s\u0142awna funkcja falowa.<\/p>\n\n\n\n

Prawdopodobie\u0144stwo liczymy na tej samej zasadzie. Sprz\u0119\u017cony wektor bra, operator dzia\u0142aj\u0105cy na wektor ket. Z tym, \u017ce sum\u0119 sko\u0144czonej liczby warto\u015bci zmieniamy na sum\u0119 z niesko\u0144czonej ich liczby, czyli ca\u0142k\u0119 funkcji falowej.<\/p>\n\n\n\n

W tym wypadku jednak m\u00f3wienie o funkcjach, a nie o wektorach, brzmi znacznie bardziej intuicyjnie (o ile cokolwiek w mechanice kwantowej mo\u017ce by\u0107 w og\u00f3le zgodne z intuicj\u0105). Chocia\u017c nie trzeba wybitnej wiedzy matematycznej, by sprawdzi\u0107, \u017ce rozpatrywane funkcje spe\u0142niaj\u0105 aksjomaty przestrzeni wektorowych.<\/p>\n\n\n\n

Mo\u017ce si\u0119 to wydawa\u0107 dziwne, ale dzia\u0142a. Dowodem tego dzia\u0142ania jest telefon czy komputer, na kt\u00f3rym Pa\u0144stwo to czytacie. W mechanice kwantowej naprawd\u0119 nie ma \u017cadnej magii. Jest g\u0142\u00f3wnie ci\u0119\u017cka matematyka.<\/p>\n\n\n\n

Marcin Nowak<\/strong><\/p>\n\n\n\n

Bibliografia<\/strong><\/p>\n\n\n\n

    \n
  • Leonard Susskind, Art Friedeman: Mechanika Kwantowa. Teoretyczne minimum. Co musisz wiedzie\u0107, \u017ceby zacz\u0105\u0107 zajmowa\u0107 si\u0119 fizyk\u0105. Pr\u00f3szy\u0144ski i S-ka. Warszawa 2014 \/ 2016<\/li>\n<\/ul>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"

    Funkcja falowa stanowi wektor w niesko\u0144czenie wymiarowej przestrzeni Hilberta \u2013 m\u00f3wi\u0105 ksi\u0105\u017cki o mechanice kwantowej. Ale \u017ce o co chodzi?<\/p>\n","protected":false},"author":1,"featured_media":10494,"comment_status":"open","ping_status":"closed","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":{"footnotes":""},"categories":[241,11,52],"tags":[633,640,331,636,382,975,1325],"_links":{"self":[{"href":"https:\/\/blog.polityka.pl\/naukowy\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/10483"}],"collection":[{"href":"https:\/\/blog.polityka.pl\/naukowy\/wp-json\/wp\/v2\/posts"}],"about":[{"href":"https:\/\/blog.polityka.pl\/naukowy\/wp-json\/wp\/v2\/types\/post"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/blog.polityka.pl\/naukowy\/wp-json\/wp\/v2\/users\/1"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/blog.polityka.pl\/naukowy\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=10483"}],"version-history":[{"count":7,"href":"https:\/\/blog.polityka.pl\/naukowy\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/10483\/revisions"}],"predecessor-version":[{"id":10497,"href":"https:\/\/blog.polityka.pl\/naukowy\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/10483\/revisions\/10497"}],"wp:featuredmedia":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/blog.polityka.pl\/naukowy\/wp-json\/wp\/v2\/media\/10494"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/blog.polityka.pl\/naukowy\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=10483"}],"wp:term":[{"taxonomy":"category","embeddable":true,"href":"https:\/\/blog.polityka.pl\/naukowy\/wp-json\/wp\/v2\/categories?post=10483"},{"taxonomy":"post_tag","embeddable":true,"href":"https:\/\/blog.polityka.pl\/naukowy\/wp-json\/wp\/v2\/tags?post=10483"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}