{"id":10571,"date":"2026-06-07T19:34:17","date_gmt":"2026-06-07T17:34:17","guid":{"rendered":"https:\/\/blog.polityka.pl\/naukowy\/?p=10571"},"modified":"2026-06-07T19:34:17","modified_gmt":"2026-06-07T17:34:17","slug":"abel-algebraiczna-wieza-cial","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/blog.polityka.pl\/naukowy\/2026\/06\/07\/abel-algebraiczna-wieza-cial\/","title":{"rendered":"Abel: algebraiczna wie\u017ca cia\u0142"},"content":{"rendered":"
\n
\"\"<\/a>
Niels Abel<\/figcaption><\/figure><\/div>\n\n\n

Tekst nie b\u0119dzie dotyczy\u0142 biblijnego Abla, najstarszego z syn\u00f3w Adama i Ewy, zabitego przez Kaina, zanim zd\u0105\u017cy\u0142 zbudowa\u0107 cokolwiek (tego Biblia opisuje raczej jako pierwszego z my\u015bliwych, a nie budowniczego). Nie b\u0119dzie te\u017c m\u00f3wi\u0142 o odkrywcy kredowego dinozaura drapie\u017cnego nazwanego na jego cze\u015b\u0107 abelizaurem. Nasz dzisiejszy bohater, Niels Abel<\/strong>, by\u0142 norweskim matematykiem.<\/p>\n\n\n\n

Ten\u017ce Abel wywodzi\u0142 si\u0119 z biednej rodziny. By\u0142 wnukiem miejscowego kap\u0142ana. \u017by\u0142 w latach 1802-1829, kr\u00f3tko i niezbyt szcz\u0119\u015bliwie. Biedny jak mysz ko\u015bcielna stara\u0142 si\u0119 o porz\u0105dne stanowisko na europejskim uniwersytecie. Zdobycie pensji umo\u017cliwi\u0142oby mu po\u015blubienie narzeczonej, poznanej podobno podczas zabawy tanecznej, na kt\u00f3rej okaza\u0142o si\u0119, \u017ce \u017cadne z nich nie potrafi ta\u0144czy\u0107. Nieszcz\u0119\u015bnik zmar\u0142, nie do\u017cywszy nawet trzydziestu lat, prawdopodobnie na gru\u017alic\u0119. W ostatnich dniach opiekowa\u0142a si\u0119 nim narzeczona, kt\u00f3rej nie zd\u0105\u017cy\u0142 poj\u0105\u0107 za \u017con\u0119. Zdoby\u0107 wymarzonej pracy te\u017c nie zd\u0105\u017cy\u0142. Przeszed\u0142 jednak do historii matematyki.<\/p>\n\n\n\n

Nazwisko tego biedaka na zawsze ju\u017c pozostanie w twierdzeniu Abela-Ruffiniego dotycz\u0105cym rozwi\u0105zywalno\u015bci r\u00f3wnania pi\u0105tego b\u0105d\u017a wy\u017cszego stopnia przez pierwiastniki. \u017beby by\u0142o ciekawiej, znacznie cz\u0119\u015bciej stosowane poj\u0119cie grupy abelowej<\/a> (czyli przemiennej, a wi\u0119c w kt\u00f3rej a + b<\/em> jest zawsze r\u00f3wne b + a<\/em>) wprowadzono p\u00f3\u017aniej.<\/p>\n\n\n\n

Porusza\u0142em ju\u017c kiedy\u015b ten trudny temat<\/a>, ale w ksi\u0105\u017cce Iana Stewarta pod tytu\u0142em \u201cDlaczego prawda jest pi\u0119kna\u201d znalaz\u0142em naprawd\u0119 wspania\u0142e por\u00f3wnanie obrazuj\u0105ce dokonanie Abela.<\/p>\n\n\n\n

Je\u015bli kto\u015b studiowa\u0142 matematyk\u0119, pami\u0119ta zapewne, \u017ce r\u00f3wnanie wielomianowe rozwi\u0105za\u0107 mo\u017cna, je\u015bli jego grupa Galois jest rozwi\u0105zalna, czyli posiada ci\u0105g dzielnik\u00f3w normalnych a\u017c do grupy trywialnej o ka\u017cdorazowo abelowej grupie ilorazowej. Proste? Pewnie jak taniec dla Abela. <\/p>\n\n\n\n

To teraz zaproponuj\u0119 wyja\u015bnienie za wspominan\u0105 wy\u017cej ksi\u0105\u017ck\u0105, bardziej po ludzku. R\u00f3wnanie wielomianowe pi\u0105tego stopnia to r\u00f3wnanie postaci x5<\/sup> + ax4<\/sup> + bx3<\/sup> +cx2<\/sup> + dx + e = 0<\/em>. Mo\u017cna je zapisywa\u0107 inaczej, ale to r\u00f3wnanie z ka\u017cdej innej postaci mo\u017cna sprowadzi\u0107 do tej (przenosimy wszystko na lew\u0105 stron\u0119, a je\u017celi jaki\u015b wsp\u00f3\u0142czynnik stoi przy x5<\/sup><\/em>, dzielimy przez niego obustronnie).<\/p>\n\n\n\n

Nasz cel, rozwi\u0105za\u0107 r\u00f3wnanie, oznacza poda\u0107 takie warto\u015bci x<\/em>, dla kt\u00f3rych zachodzi wskazana r\u00f3wno\u015b\u0107, czyli dla kt\u00f3rych lewa strona przyjmuje rzeczywi\u015bcie warto\u015b\u0107 0.<\/p>\n\n\n\n

W przypadku r\u00f3wna\u0144 kwadratowych i sze\u015bciennych, a nawet czwartego stopnia zawsze mo\u017cna to zrobi\u0107 wedle odpowiedniego przepisu. Rozwi\u0105zywania r\u00f3wna\u0144 kwadratowych w ten spos\u00f3b uczymy dzieci w szko\u0142ach (no dobrze, pr\u00f3bujemy nauczy\u0107 wyro\u015bni\u0119te dzieci, a raczej m\u0142odzie\u017c, w liceach i technikach). Pami\u0119tamy pewnie, \u017ce liczy\u0142o si\u0119 delt\u0119 itd… Generalnie podstawiamy wsp\u00f3\u0142czynniki do wzoru i otrzymujemy rozwi\u0105zanie. Wz\u00f3r obejmowa\u0107 mo\u017ce dodawanie, odejmowanie, mno\u017cenie, dzielenie i pierwiastkami. Rozwi\u0105zali\u015bmy zadanie i mo\u017cemy by\u0107 z siebie dumni.<\/p>\n\n\n\n

Przepis na rozwi\u0105zanie r\u00f3wnania kwadratowego, jak pisze Stewart, odkryto ju\u017c w staro\u017cytnej Mezopotamii, o czym \u015bwiadcz\u0105 gliniane tabliczki.<\/p>\n\n\n\n

Podobnie dzieje si\u0119 w przypadku r\u00f3wna\u0144 trzeciego i czwartego stopnia. Wzory mo\u017cna bez problemu znale\u017a\u0107 w Internecie (ostrzegam: s\u0105 do\u015b\u0107 przera\u017caj\u0105ce). W dalszym ci\u0105gu zawsze otrzymujemy rozwi\u0105zanie wyra\u017caj\u0105ce si\u0119 czterema podstawowymi dzia\u0142aniami i pierwiastkami.<\/p>\n\n\n\n

Wielu matematyk\u00f3w pr\u00f3bowa\u0142o znale\u017a\u0107 podobny przepis dzia\u0142aj\u0105cy w przypadku r\u00f3wnania stopnia pi\u0105tego i wszyscy polegli. W ko\u0144cu zacz\u0119to podejrzewa\u0107, \u017ce z jakich\u015b wzgl\u0119d\u00f3w rozwi\u0105zanie nie istnieje.<\/p>\n\n\n\n

Tego w\u0142a\u015bnie dowi\u00f3d\u0142 Abel. Jego tok rozumowania przedstawi\u0107 mo\u017cna obrazowo w postaci wie\u017cy.<\/p>\n\n\n\n

Na pierwszym poziomie mamy wsp\u00f3\u0142czynniki r\u00f3wnania a<\/em>, b<\/em> i tak dalej. Mo\u017cemy je sobie, jak pisze Stewart, bezpiecznie dodawa\u0107, odejmowa\u0107, mno\u017cy\u0107 i dzieli\u0107. Lito\u015bciwy dla czytelnika autor nie wspomina w tym momencie, \u017ce struktur\u0119 algebraicznej umo\u017cliwiaj\u0105c\u0105 wykonywanie tych czterech podstawowych dzia\u0142a\u0144 nazywamy cia\u0142em (po angielsku field<\/em>, co dos\u0142ownie znaczy \u201cpole\u201d, nie mam poj\u0119cia, co si\u0119 komu po polsku i z czym kojarzy\u0142o, \u017ce przeszli\u015bmy z pola w cia\u0142o). W najprostszym (nie, to nie znaczy: prostym) przypadku do wyj\u015bciowego cia\u0142a nale\u017c\u0105 wszystkie liczby wymierne.<\/p>\n\n\n\n

Teraz wybieramy sobie z tego cia\u0142a jeden element (no i przez specyfik\u0119 j\u0119zyka polskiego wysz\u0142o, jakby\u015bmy dokonywali sekcji zw\u0142ok, naprawd\u0119 bezpieczniej by\u0142oby z tym angielskim polem). W ka\u017cdym razie z tego wybranego elementu wyci\u0105gamy pierwiastek.<\/p>\n\n\n\n

Nast\u0119pnie wchodzimy po drabinie na drugie pi\u0119tro z naszym pierwiastkiem w kieszeni (rozwijaj\u0105c troch\u0119 metafor\u0119 z ksi\u0105\u017cki, mo\u017cemy powiedzie\u0107, \u017ce stanowi on to taki klucz). Mniej metaforycznie, a bardziej matematycznie pierwiastek ten do\u0142\u0105czamy do liczb w naszym ciele (tych z pi\u0119tra ni\u017cej) i znowu mo\u017cemy pobawi\u0107 si\u0119 w dodawanie, odejmowanie, mno\u017cenie i dzielenie. Tak wi\u0119c otrzymali\u015bmy nowe cia\u0142o. Zupe\u0142nie matematycznie powiedzieliby\u015bmy, \u017ce rozszerzyli\u015bmy cia\u0142o o pewien element algebraiczny (czyli stanowi\u0105cy rozwi\u0105zanie pewnego r\u00f3wnania wielomianowego o wsp\u00f3\u0142czynnikach z naszego cia\u0142a, np. pierwiastek z 3 jest liczb\u0105 algebraiczn\u0105, stanowi\u0105c rozwi\u0105zanie r\u00f3wnania x2<\/sup> = 3<\/em>, a \u03c0<\/em> nie, bo nie jest rozwi\u0105zaniem \u017cadnego takiego r\u00f3wnania).<\/p>\n\n\n\n

W przypadku r\u00f3wnania kwadratowego nale\u017ca\u0142o wybra\u0107 pierwiastek ze znanej nam ze szko\u0142y delty (dla r\u00f3wnania x2<\/sup> + bx +c<\/em> r\u00f3wnej b2<\/sup> \u2013 4c<\/em>). Dodajemy go do liczb z naszego wyj\u015bciowego cia\u0142a i liczymy dalej w nowym, rozszerzonym ciele na pi\u0119trze naszej wie\u017cy. Mo\u017cemy sobie doda\u0107 do niego -b<\/em> i podzieli\u0107 przez 2. To b\u0119dzie pierwsza rozwi\u0105zanie naszego r\u00f3wnania. Je\u017celi natomiast najpierw pomno\u017cymy ten pierwiastek przez -1 i nast\u0119pnie zrobimy jak wy\u017cej, otrzymamy drugie rozwi\u0105zanie. Jak wida\u0107, rozwi\u0105zania znajduj\u0105 si\u0119 w\u015br\u00f3d liczb, kt\u00f3re mo\u017cemy otrzyma\u0107 na tym pi\u0119trze (nale\u017c\u0105 do naszego rozszerzenia cia\u0142a liczb wymiernych). Zauwa\u017cmy, \u017ce uda\u0142o nam si\u0119 rozwi\u0105za\u0107 r\u00f3wnanie, bo wybrali\u015bmy w\u0142a\u015bciwe rozszerzenie, tzn. do\u0142\u0105czyli\u015bmy odpowiedni pierwiastek. Do\u0142\u0105czenie innego mog\u0142oby nie zaprowadzi\u0107 nas nigdzie.<\/p>\n\n\n\n

\"\"<\/a>
Ka\u017cde pi\u0119tro wie\u017cy stanowi kolejne rozszerzenie cia\u0142a, a wej\u015bcie na nie umo\u017cliwia nam wyci\u0105gni\u0119cie pierwiastka z odpowiedniego elementu na poprzednim poziomie. Na szczycie znajduje si\u0119 cia\u0142o zawieraj\u0105ce rozwi\u0105zanie naszego r\u00f3wnania wielomianowego. (Wie\u017ca ratuszowa na Rynku w Krakowie, Lestat, za Wikimedia Commons<\/a>, CC BY-SA 3.0)<\/figcaption><\/figure>\n\n\n\n

W przypadku bardziej skomplikowanych r\u00f3wna\u0144 trzeciego czy czwartego stopnia musimy kilkakrotnie do\u0142\u0105czy\u0107 w\u0142a\u015bciwy pierwiastek w\u0142a\u015bciwego stopnia (drugiego b\u0105d\u017a trzeciego), wspina\u0107 si\u0119 z nim na wy\u017csze pi\u0119tro (tworzy\u0107 kolejne rozszerzenia cia\u0142) i po kilkurazowym wykonaniu tego zadania otrzymujemy cia\u0142o zawieraj\u0105ce rozwi\u0105zania r\u00f3wnania.<\/p>\n\n\n\n

Za ka\u017cdym razem jednak mo\u017cemy przej\u015b\u0107 na wy\u017csze pi\u0119tro tylko wtedy, kiedy umo\u017cliwia nam to symetria r\u00f3wnania.<\/p>\n\n\n\n

Za ka\u017cdym razem, gdy rozszerzamy cia\u0142o o wszystkie pierwiastki jakiego\u015b wielomianu, pierwiastki cechuje pewna symetria i mo\u017cemy je w pewnym stopniu ze sob\u0105 zamienia\u0107 w r\u00f3wnaniach, a r\u00f3wno\u015bci zostan\u0105 zachowane. Takie zamiany okre\u015bla tak zwana grupa symetrii.<\/p>\n\n\n\n

Drabina na kolejne pi\u0119tro istnieje tylko wtedy, gdy ta grupa zawiera mniejsz\u0105 grup\u0119 b\u0119d\u0105c\u0105 jej tzw. dzielnikiem normalnym (tak jak grup\u0119 liczb ca\u0142kowitych mo\u017cna podzieli\u0107 przez podgrup\u0119 liczb podzielnych przez 7 i otrzymamy grup\u0119 ilorazow\u0105 o 7 elementach odpowiadaj\u0105cych siedmiu mo\u017cliwym resztom z dzielenia przez 7).<\/p>\n\n\n\n

Grupa symetrii r\u00f3wnania pi\u0105tego stopnia w przeciwie\u0144stwie do grup r\u00f3wna\u0144 sze\u015bciennego czy czwartego stopnia nie ma odpowiednich (matematyk powiedzia\u0142by normalnych) podgrup poza jedn\u0105. Mo\u017cemy sobie wybra\u0107 pierwiastek, wej\u015b\u0107 na pi\u0119terko i nic wi\u0119cej. Nie ma dalszych dzielnik\u00f3w, nie ma dalszych drabinek, cho\u0107by\u015bmy pierwiastkowali wzd\u0142u\u017c i wszerz. Rozwi\u0105zania r\u00f3wnania nie nale\u017c\u0105 do \u017cadnego z rozszerze\u0144 cia\u0142 otrzymywanych opisan\u0105 wy\u017cej procedur\u0105. \u017badnych drabin nie ma. Pierwiastki r\u00f3wnania znajduj\u0105 si\u0119 znacznie wy\u017cej.<\/p>\n\n\n\n

Marcin Nowak<\/strong><\/p>\n\n\n\n

Bibliografia<\/strong><\/p>\n\n\n\n

    \n
  • Stewart I: Dlaczego prawda jest pi\u0119kna. O symetrii w matematyce i fizyce. Pr\u00f3szy\u0144ski i S-ka, Warszawa 2007 \/ 2012<\/li>\n<\/ul>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"

    Wielu matematyk\u00f3w pr\u00f3bowa\u0142o znale\u017a\u0107 podobny przepis dzia\u0142aj\u0105cy w przypadku r\u00f3wnania stopnia pi\u0105tego i wszyscy polegli. W ko\u0144cu zacz\u0119to podejrzewa\u0107, \u017ce z jakich\u015b wzgl\u0119d\u00f3w rozwi\u0105zanie nie istnieje.<\/p>\n","protected":false},"author":1,"featured_media":10574,"comment_status":"open","ping_status":"closed","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":{"footnotes":""},"categories":[241,11,52,21],"tags":[1357,633,382,635,677,634,1358],"_links":{"self":[{"href":"https:\/\/blog.polityka.pl\/naukowy\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/10571"}],"collection":[{"href":"https:\/\/blog.polityka.pl\/naukowy\/wp-json\/wp\/v2\/posts"}],"about":[{"href":"https:\/\/blog.polityka.pl\/naukowy\/wp-json\/wp\/v2\/types\/post"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/blog.polityka.pl\/naukowy\/wp-json\/wp\/v2\/users\/1"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/blog.polityka.pl\/naukowy\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=10571"}],"version-history":[{"count":5,"href":"https:\/\/blog.polityka.pl\/naukowy\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/10571\/revisions"}],"predecessor-version":[{"id":10579,"href":"https:\/\/blog.polityka.pl\/naukowy\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/10571\/revisions\/10579"}],"wp:featuredmedia":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/blog.polityka.pl\/naukowy\/wp-json\/wp\/v2\/media\/10574"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/blog.polityka.pl\/naukowy\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=10571"}],"wp:term":[{"taxonomy":"category","embeddable":true,"href":"https:\/\/blog.polityka.pl\/naukowy\/wp-json\/wp\/v2\/categories?post=10571"},{"taxonomy":"post_tag","embeddable":true,"href":"https:\/\/blog.polityka.pl\/naukowy\/wp-json\/wp\/v2\/tags?post=10571"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}