B\u00f3g jest wyrafinowany, ale nie z\u0142o\u015bliwy \u2013 brzmi jeden z najs\u0142ynniejszych cytat\u00f3w z Einsteina. O co chodzi\u0142o geniuszowi fizyki?<\/p>\n\n\n\n\n\n\n\n
Jest to jeden z nielicznych cytat\u00f3w potrafi\u0105cych s\u0142u\u017cy\u0107 fizykom za motto ich pracy, grawerowane na \u015bcianach czy pomnikach.<\/p>\n\n\n\n
Temat ten podejmuje profesor Micha\u0142 Heller nie tylko w swej ostatniej ksi\u0105\u017cce „Siedem wa\u017cnych s\u0142\u00f3w<\/a>„, ale te\u017c w zbiorze „Spotkania z nauk\u0105. Jak by\u0107 uczonym?” wydanym przez Copernicus Center Press, obejmuj\u0105cym znacznie starsze prace tego wybitnego dziewi\u0119\u0107dziesi\u0119cioletniego my\u015bliciela, fizyka i filozofa nauki, a tak\u017ce katolickiego ksi\u0119dza.<\/p>\n\n\n\n W przeciwie\u0144stwie do Hellera Einstein prawdopodobnie nie by\u0142 teist\u0105, nie wierzy\u0142 w osobowego Boga. Prezentowa\u0142 raczej pogl\u0105dy deistyczne, a m\u00f3wi\u0105c o my\u015blach Boga mia\u0142 we w\u0142asnych my\u015blach doskona\u0142e i niezmienne prawa rz\u0105dz\u0105ce \u015bwiatem: prawa fizyki.<\/p>\n\n\n\n Zasady te, ku rozpaczy zainteresowanych nieb\u0119d\u0105cych zawodowymi \u015bcis\u0142owcami, opisuje si\u0119 w j\u0119zyku bardzo skomplikowanej matematyki. Teoria wzgl\u0119dno\u015bci to rachunek tensorowy<\/a>, mechanika kwantowa operuje przestrzeniami Hilberta<\/a> i grupami Liego (to pierwsze to jakby rozszerzenie wektor\u00f3w w co\u015b przypominaj\u0105cego macierze z ca\u0142kowaniem, to ostatnie to po\u0142\u0105czenie grupy z rozmaito\u015bci\u0105, by to szczeg\u00f3\u0142owo tutaj t\u0142umaczy\u0107, musia\u0142bym by\u0107 – w przeciwie\u0144stwie do Boga – bardzo z\u0142o\u015bliwy). W ka\u017cdym razie nie jest to matematyka znana ze szko\u0142y \u015bredniej, taka, kt\u00f3r\u0105 mo\u017cna poj\u0105\u0107 po kilku miesi\u0105cach nauki. O to w\u0142a\u015bnie chodzi w wyrafinowaniu Boga i, co za tym idzie, praw natury.<\/p>\n\n\n\n Co jednak najbardziej zaskakuje Hellera i czemu daje on wyraz r\u00f3wnie\u017c w innych swych ksi\u0105\u017ckach, to to, \u017ce prawa natury daj\u0105 si\u0119 w og\u00f3le wyrazi\u0107 matematycznie, a co wi\u0119cej – daj\u0105 si\u0119 wyrazi\u0107 matematyk\u0105 w og\u00f3le dla cz\u0142owieka zrozumia\u0142\u0105 (no dobrze – zrozumia\u0142\u0105 dla nielicznych geniuszy takich jak Einstein czy sam Heller). \u015awiat m\u00f3g\u0142by przecie\u017c da\u0107 si\u0119 opisa\u0107 wy\u0142\u0105cznie matematyk\u0105 zbyt trudn\u0105, by ktokolwiek z ludzi m\u00f3g\u0142 j\u0105 poj\u0105\u0107.<\/p>\n\n\n\n Ksi\u0105dz profesor podaje nast\u0119puj\u0105ce przyk\u0142ad. Za\u0142\u00f3\u017cmy, \u017ce pewne prawo fizyki wyra\u017ca si\u0119 funkcj\u0105 rzeczywist\u0105 (by nie by\u0107 z\u0142o\u015bliwym: chodzi o przyporz\u0105dkowanie, kt\u00f3re ka\u017cdej liczbie rzeczywistej przypisuje jedn\u0105 liczb\u0119 rzeczywist\u0105). Ot\u00f3\u017c w zasadzie wszystkich takich funkcji nie jeste\u015bmy w stanie nie tylko poj\u0105\u0107, ale nawet opisa\u0107 s\u0142ownie.<\/p>\n\n\n\n Dow\u00f3d tej niemo\u017cliwo\u015bci jest prosty, je\u015bli kto\u015b zna teori\u0119 mnogo\u015bci (aczkolwiek to akurat dziedzina matematyki do\u015b\u0107 z\u0142o\u015bliwa). Mo\u017cemy oczywi\u015bcie napisa\u0107 niesko\u0144czon\u0105 liczb\u0119 zda\u0144, ale mo\u017cna uszeregowa\u0107 je w jednym ci\u0105gu, np. po d\u0142ugo\u015bci i alfabetycznie. Skoro tak, to mo\u017cna je te\u017c ponumerowa\u0107 (pierwsze, drugie, trzecie i tak dalej, ad mortem defecatam<\/em>, cytuj\u0105c z\u0142o\u015bliwie polityk\u00f3w). Oznacza to, \u017ce jest ich maksymalnie tyle, ile liczb naturalnych. Tym bardziej liczba zda\u0144 opisuj\u0105cych funkcje rzeczywiste nie mo\u017ce przewy\u017csza\u0107 liczno\u015bci liczb naturalnych.<\/p>\n\n\n\n Tymczasem funkcji rzeczywistych jest znacznie wi\u0119cej. Ju\u017c nawet sta\u0142ych funkcji rzeczywistych (przyporz\u0105dkowuj\u0105cych ka\u017cdemu argumentowi t\u0105 sam\u0105 liczb\u0119 rzeczywist\u0105) jest tyle, ile liczb rzeczywistych, czyli wi\u0119cej ni\u017c liczb naturalnych.<\/p>\n\n\n\n Czemu liczb rzeczywistych jest wi\u0119cej ni\u017c naturalnych? Dowodzi tego rozumowanie przek\u0105tniowe. Za\u0142\u00f3\u017cmy na przek\u00f3r, \u017ce jest ich tyle samo. Mo\u017cemy wtedy sporz\u0105dzi\u0107 (przynajmniej w teorii) list\u0119, na kt\u00f3rej znajd\u0105 si\u0119 wszystkie liczby rzeczywiste. Stw\u00f3rzmy teraz kolejn\u0105 liczb\u0119 rzeczywist\u0105, na pierwszym miejscu po przecinku umieszczaj\u0105c cyfr\u0119 o jeden wi\u0119ksz\u0105 od pierwszej cyfry po przecinku pierwszej liczby rzeczywistej z naszej listy, na drugim miejscu po przecinku liczb\u0119 o jeden wi\u0119ksz\u0105 od drugiej cyfry po przecinku drugiej liczby rzeczywistej i tak dalej do… hmm, w niesko\u0144czono\u015b\u0107. Otrzymana liczba nie jest r\u00f3wna \u017cadnej liczbie na li\u015bcie, wobec czego wszystkie liczby rzeczywiste nie zmieszcz\u0105 si\u0119 na \u017cadnej ponumerowanej li\u015bcie – co by\u0142o do udowodnienia.<\/p>\n\n\n\n Cho\u0107 mia\u0142em nie by\u0107 z\u0142o\u015bliwy, ten akurat przyk\u0142ad moim zdaniem nie do ko\u0144ca dobrze oddaje omawian\u0105 kwesti\u0119. Oto ka\u017cd\u0105 liczb\u0119 rzeczywist\u0105 mo\u017cna przybli\u017cy\u0107 z dowoln\u0105 dok\u0142adno\u015bci\u0105 liczb\u0105 wymiern\u0105. Po prostu chc\u0105c zachowa\u0107 dok\u0142adno\u015b\u0107 10 do pot\u0119gi -n, bierzemy z niej n cyfr po przecinku, a reszt\u0119 pomijamy. Niemniej jako tako obrazuje, o co chodzi.<\/p>\n\n\n\n Przybli\u017canie kojarzy si\u0119 niemniej jeszcze z innym aspektem matematyczno\u015bci \u015bwiata, tak\u017ce opisywanym w ksi\u0105\u017ckach Hellera. Ot\u00f3\u017c bardziej skomplikowane teorie matematyczne opisuj\u0105ce \u015bwiat da si\u0119 przybli\u017cy\u0107 mniej skomplikowanymi (te okropne tensory te\u017c).<\/p>\n\n\n\n Rachunek tensorowy pomi\u0144my, mia\u0142em nie by\u0107 z\u0142o\u015bliwy. Nadmieni\u0119 tylko, \u017ce w przypadku niskich pr\u0119dko\u015bci i mas teoria wzgl\u0119dno\u015bci Einsteina przechodzi w teori\u0119 Newtona. W przypadku Uk\u0142adu S\u0142onecznego poprawki s\u0105 naprawd\u0119 niewielkie, aczkolwiek dok\u0142adne obserwacje pozwalaj\u0105 ujawni\u0107 r\u00f3\u017cnic\u0119 na korzy\u015b\u0107 teorii Einsteina cho\u0107by w przesuwaniu si\u0119 peryhelium Merkurego czy orbicie Neptuna.<\/p>\n\n\n\n W newtonowskiej teorii grawitacji ka\u017cde dwa cia\u0142a obdarzone mas\u0105 przyci\u0105gaj\u0105 si\u0119 z si\u0142\u0105 odwrotnie proporcjonaln\u0105 do kwadratu odleg\u0142o\u015bci mi\u0119dzy nim. Dzisiaj zapisujemy to wzorem F = GmM\/R2<\/sup><\/em>, Newton pos\u0142ugiwa\u0142 si\u0119 raczej opisem s\u0142ownym (jak w wy\u017cej podanym przyk\u0142adzie Hellera).<\/p>\n\n\n\n W sumie w rachunku wektorowym mogliby\u015bmy napisa\u0107 F = GmM \/ R3<\/sup> * R<\/strong><\/em>, ale mieli\u015bmy upraszcza\u0107. Zwr\u00f3\u0107my uwag\u0119, \u017ce uda\u0142o si\u0119 wyprowadzi\u0107 t\u0105 zale\u017cno\u015b\u0107 tak\u017ce dlatego, \u017ce wyst\u0119puje w niej do\u015b\u0107 prosta pot\u0119ga odleg\u0142o\u015bci 2, a nie na przyk\u0142ad 57, \u03c0 czy -17.<\/p>\n\n\n\n Zauwa\u017cmy teraz, \u017ce blisko Ziemi odleg\u0142o\u015b\u0107 od jej \u015brodka jest w miar\u0119 sta\u0142a i r\u00f3wna jej promieniowi. Mo\u017cemy w zwi\u0105zku z tym uzna\u0107 go za sta\u0142\u0105 i wprowadzi\u0107 kolejn\u0105 sta\u0142a g = GM\/R2<\/sup><\/em>, otrzymuj\u0105c wz\u00f3r na si\u0142\u0119 ci\u0105\u017cenia F = mg<\/em>. Jest on na tyle prosty, \u017ce uczymy go dzieci pod koniec podstaw\u00f3wki.<\/p>\n\n\n\n Podobnie praca w polu grawitacyjnym wyra\u017ca si\u0119 og\u00f3lnie ca\u0142k\u0105 z si\u0142y po drodze. Po sca\u0142kowaniu wychodzi nam wyra\u017cenie W = -GmM\/R + sta\u0142a<\/em>, kt\u00f3re dla miejsca ko\u0144cowego (R – wysoko\u015b\u0107 h<\/em>) i pocz\u0105tkowego (R<\/em>) trzeba od siebie odj\u0105\u0107. Po podstawieniu g<\/em> jak poprzednio wychodzi W = mgR2<\/sup> razy r\u00f3\u017cnica odwrotno\u015bci R i R+h<\/em>, kt\u00f3ra po przeliczeniu przechodzi w h \/ R(R-h)<\/em>. W naszym codziennyn \u017cyciu zmiany wysoko\u015bci h<\/em> s\u0105 niewielkie w por\u00f3wnaniu z promieniem ZIemi, wi\u0119c przybli\u017camy R-h<\/em> do R<\/em>, uzyskuj\u0105c –h\/R2<\/sup><\/em>. Podstawiamy to do poprzedniego wzoru, otrzymuj\u0105c znany ze szko\u0142y podstawowej wz\u00f3r W = -mgh<\/em>.<\/p>\n\n\n\n Dzi\u0119ki temu przechodz\u0105c od \u0142atwej do coraz trudniejszej matematyki jeste\u015bmy w stanie (poprawka: niekt\u00f3rzy ludzie s\u0105 w stanie) poj\u0105\u0107 dzisiejsz\u0105 fizyk\u0119, co wi\u0119cej, wykorzystuj\u0105 j\u0105 do budowy telefon\u00f3w komputer\u00f3w, statk\u00f3w kosmicznych i skaner\u00f3w rezonansu j\u0105drowego. Wynalazki te i teorie, na kt\u00f3rych bazuj\u0105, zawdzi\u0119czamy w\u0142a\u015bnie temu, \u017ce zjawiska fizyczne mo\u017cna przybli\u017ca\u0107 coraz \u0142atwiejsz\u0105 matematyk\u0105. Zaczynamy od matematyki szkolnej i idziemy powoli coraz wy\u017cej. Nie musimy zaczyna\u0107 od tensor\u00f3w i grup Liego b\u0105d\u017a czego\u015b jeszcze okropniejszego. To by\u0142aby w\u0142a\u015bnie z\u0142o\u015bliwo\u015b\u0107 Boga – stworzy\u0107 \u015bwiat, kt\u00f3rego nie da si\u0119 opisa\u0107 matematyk\u0105 poznawaln\u0105 przez cz\u0142owieka.<\/p>\n\n\n\n Poniewa\u017c jednak dwie g\u0142\u00f3wne teorie dzisiejszej fizyki, mechanika kwantowa i teoria wzgl\u0119dno\u015bci, s\u0105 ze sob\u0105 niezgodne, \u017cadna z nich nie mo\u017ce by\u0107 ostateczn\u0105 teori\u0105 t\u0142umacz\u0105c\u0105 \u015bwiat. Wydaje si\u0119, \u017ce obie s\u0105 przybli\u017ceniami jakich\u015b jeszcze znacznie bardziej skomplikowanej teorii. Pomimo dw\u00f3ch rewolucji superstrunowych, M-teorii, geometrii konforemnych i rozmaitych innych pomys\u0142\u00f3w o r\u00f3wnie dziwacznych nazwach tej bardziej fundamentalnej teorii jeszcze nie znamy. Fizycy jednak od dekad wierz\u0105, \u017ce istnieje.<\/p>\n\n\n\n Czy naprawd\u0119 istnieje i czy wyra\u017ca si\u0119 matematyk\u0105, kt\u00f3r\u0105 b\u0119dziemy w stanie zrozumie\u0107? Pozostaje tylko wierzy\u0107, \u017ce tak \u2013 poniewa\u017c B\u00f3g jest wyrafinowany, ale nie z\u0142o\u015bliwy.<\/p>\n\n\n\n Marcin Nowak<\/strong><\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":" B\u00f3g jest wyrafinowany, ale nie z\u0142o\u015bliwy \u2013 brzmi jeden z najs\u0142ynniejszych cytat\u00f3w z Einsteina. O co chodzi\u0142o geniuszowi fizyki?<\/p>\n","protected":false},"author":1,"featured_media":0,"comment_status":"open","ping_status":"closed","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":{"footnotes":""},"categories":[241,11,52],"tags":[855,331,661,1390,404,382],"class_list":["post-10660","post","type-post","status-publish","format-standard","hentry","category-autor-marcin-nowak","category-czary-mary","category-lektury","tag-bog","tag-fizyka","tag-grawitacja","tag-heller","tag-liczby","tag-matematyka"],"_links":{"self":[{"href":"https:\/\/blog.polityka.pl\/naukowy\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/10660","targetHints":{"allow":["GET"]}}],"collection":[{"href":"https:\/\/blog.polityka.pl\/naukowy\/wp-json\/wp\/v2\/posts"}],"about":[{"href":"https:\/\/blog.polityka.pl\/naukowy\/wp-json\/wp\/v2\/types\/post"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/blog.polityka.pl\/naukowy\/wp-json\/wp\/v2\/users\/1"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/blog.polityka.pl\/naukowy\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=10660"}],"version-history":[{"count":4,"href":"https:\/\/blog.polityka.pl\/naukowy\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/10660\/revisions"}],"predecessor-version":[{"id":10667,"href":"https:\/\/blog.polityka.pl\/naukowy\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/10660\/revisions\/10667"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/blog.polityka.pl\/naukowy\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=10660"}],"wp:term":[{"taxonomy":"category","embeddable":true,"href":"https:\/\/blog.polityka.pl\/naukowy\/wp-json\/wp\/v2\/categories?post=10660"},{"taxonomy":"post_tag","embeddable":true,"href":"https:\/\/blog.polityka.pl\/naukowy\/wp-json\/wp\/v2\/tags?post=10660"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}