{"id":3451,"date":"2014-03-18T19:45:07","date_gmt":"2014-03-18T18:45:07","guid":{"rendered":"http:\/\/naukowy.blog.polityka.pl\/?p=3451"},"modified":"2014-03-18T19:47:15","modified_gmt":"2014-03-18T18:47:15","slug":"o-czym-milczy-matematyka","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/blog.polityka.pl\/naukowy\/2014\/03\/18\/o-czym-milczy-matematyka\/","title":{"rendered":"O czym milczy matematyka"},"content":{"rendered":"

\"Geometria<\/a><\/p>\n

Grzegorz w swoim jubileuszowym, dwusetnym tek\u015bcie<\/a> napisa\u0142 o twierdzeniu G\u00f6dla o niezupe\u0142no\u015bci. Podr\u0105\u017c\u0119 ten temat w stron\u0119 kilkakrotnie poruszanego u nas tematu „co mo\u017ce wynika\u0107 z milczenia”.<\/p>\n

Zacznijmy jednak od czego\u015b starszego i nie mniej s\u0142awnego. Chodzi o postulat (albo aksjomat) Euklidesa o r\u00f3wnoleg\u0142ych. Jest wiele jego sformu\u0142owa\u0144, zadowol\u0119 si\u0119 takim:<\/p>\n

Na p\u0142aszczy\u017anie, dla ka\u017cdej prostej p<\/em> i ka\u017cdego punktu \u00a0P<\/em> le\u017c\u0105cego poza p<\/em>, istnieje dok\u0142adnie jedna prosta nie przecinaj\u0105ca si\u0119 z p<\/em> i przechodz\u0105ca przez P<\/em>.<\/p><\/blockquote>\n

Odk\u0105d Euklides stworzy\u0142 sw\u00f3j system aksjomat\u00f3w geometrii, trwa\u0142y pr\u00f3by wykazania, \u017ce aksjomat o r\u00f3wnoleg\u0142ych wynika z pozosta\u0142ych aksjomat\u00f3w. Ostatecznie, w XIX wieku Niko\u0142aj \u0141obaczewski i Janos Bolyai \u00a0(byli te\u017c inni odkrywcy, ale te dwa nazwiska wesz\u0142y do nazwy) wykazali, \u017ce nie wynika: mo\u017cna stworzy\u0107 zgodn\u0105 z pozosta\u0142ymi aksjomatami geometri\u0119, w kt\u00f3rej przez P<\/em> przechodzi niesko\u0144czenie wiele prostych nie przecinaj\u0105cych si\u0119 z p<\/em>.<\/p>\n

Jaki\u015b czas p\u00f3\u017aniej Bernhard Riemann stworzy\u0142 kolejn\u0105 zgodn\u0105 z pozosta\u0142ymi aksjomatami geometri\u0119, w kt\u00f3rej dla odmiany przez P<\/em> nie przechodzi \u017cadna prosta nie przecinaj\u0105ca si\u0119 z p<\/em>.<\/p>\n

Mora\u0142 jest taki, \u017ce<\/p>\n

Pozosta\u0142e aksjomaty Euklidesa milcz\u0105 o tym, ile prostych nieprzecinaj\u0105cych p<\/em> przechodzi przez P<\/em>.<\/p><\/blockquote>\n

Odkrycie Kurta G\u00f6dla mo\u017cna stre\u015bci\u0107 tak:<\/p>\n

S\u0105 zdania arytmetyki, o kt\u00f3rych jej aksjomaty milcz\u0105.<\/p><\/blockquote>\n

W odr\u00f3\u017cnieniu jednak od milczenia geometrii, milczenie arytmetyki jest du\u017co bardziej fundamentalne, bo \u017cadne uzupe\u0142nianie zestawu aksjomat\u00f3w nie pomaga. G\u00f6del wykaza\u0142 tak naprawd\u0119, \u017ce ka\u017cdy zestaw aksjomat\u00f3w arytmetyki, je\u015bli tylko jest niesprzeczny i daje si\u0119 opisa\u0107 w sko\u0144czony spos\u00f3b, musi milcze\u0107 o czym\u015b.<\/p>\n

Niew\u0105tpliwie milczenie odkryte przez G\u00f6dla wiele nam m\u00f3wi o ograniczeniu naszych mo\u017cliwo\u015bci poznawczych i sk\u0142ania do pokory wobec matematyki, \u015bwiata, kt\u00f3ry przecie\u017c powsta\u0142 i \u017cyje w naszych g\u0142owach.<\/p>\n

Jerzy Tyszkiewicz<\/strong><\/p>\n

Ilustracja: Peo, Wikimedia Commons, CC BY-SA 3.0<\/em><\/p>\n

Kwestia porz\u0105dkowa. <\/strong>Po przygodach z moimi tekstami deklaruj\u0119 co nast\u0119puje:<\/p>\n

Osoby komentuj\u0105ce w spos\u00f3b obra\u017aliwy dla innych b\u0105d\u017a ca\u0142kowicie nie na temat b\u0119d\u0119 banowa\u0142 do zako\u0144czenia dyskusji pod tekstem. Mam nadziej\u0119, \u017ce ten spos\u00f3b wywodz\u0105cy si\u0119 ze sportu pozytywnie wp\u0142ynie na rozwag\u0119 w wyra\u017caniu swoich emocji.\u00a0 Swoich wsp\u00f3\u0142autor\u00f3w upowa\u017cniam do banowania, gdyby wcze\u015bniej ode mnie je zauwa\u017cyli.<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"

Grzegorz w swoim jubileuszowym, dwusetnym tek\u015bcie napisa\u0142 o twierdzeniu G\u00f6dla o niezupe\u0142no\u015bci. Podr\u0105\u017c\u0119 ten temat w stron\u0119 kilkakrotnie poruszanego u nas tematu „co mo\u017ce wynika\u0107 z milczenia”.<\/p>\n","protected":false},"author":1,"featured_media":0,"comment_status":"open","ping_status":"closed","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":{"footnotes":""},"categories":[60,69],"tags":[],"_links":{"self":[{"href":"https:\/\/blog.polityka.pl\/naukowy\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/3451"}],"collection":[{"href":"https:\/\/blog.polityka.pl\/naukowy\/wp-json\/wp\/v2\/posts"}],"about":[{"href":"https:\/\/blog.polityka.pl\/naukowy\/wp-json\/wp\/v2\/types\/post"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/blog.polityka.pl\/naukowy\/wp-json\/wp\/v2\/users\/1"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/blog.polityka.pl\/naukowy\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=3451"}],"version-history":[{"count":10,"href":"https:\/\/blog.polityka.pl\/naukowy\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/3451\/revisions"}],"predecessor-version":[{"id":3577,"href":"https:\/\/blog.polityka.pl\/naukowy\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/3451\/revisions\/3577"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/blog.polityka.pl\/naukowy\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=3451"}],"wp:term":[{"taxonomy":"category","embeddable":true,"href":"https:\/\/blog.polityka.pl\/naukowy\/wp-json\/wp\/v2\/categories?post=3451"},{"taxonomy":"post_tag","embeddable":true,"href":"https:\/\/blog.polityka.pl\/naukowy\/wp-json\/wp\/v2\/tags?post=3451"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}