{"id":3741,"date":"2014-04-29T21:15:32","date_gmt":"2014-04-29T19:15:32","guid":{"rendered":"http:\/\/naukowy.blog.polityka.pl\/?p=3741"},"modified":"2014-04-29T21:18:51","modified_gmt":"2014-04-29T19:18:51","slug":"co-sie-czym-przybliza","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/blog.polityka.pl\/naukowy\/2014\/04\/29\/co-sie-czym-przybliza\/","title":{"rendered":"Co si\u0119 czym przybli\u017ca"},"content":{"rendered":"

\"Granica<\/a><\/p>\n

Tym razem o niesko\u0144czono\u015bci. Niesko\u0144czono\u015b\u0107 to pi\u0119kna rzecz.<\/p>\n

Wybitny matematyk Wac\u0142aw Sierpi\u0144ski ma na swoim grobie w Alei Za\u0142u\u017conych na Pow\u0105zkach napis „Badacz niesko\u0144czono\u015bci”. Prawdziwe, aktualne niesko\u0144czono\u015bci w matematyce to dzie\u0142o Georga Cantora, a opinia o nim Davida Hilberta jest zawarta w s\u0142owach „Aus dem Paradies, das Cantor uns geschaffen, soll uns niemand vertreiben k\u00f6nnen” [z raju, jaki stworzy\u0142 nam Cantor, nikt nie powinien m\u00f3c nas wyp\u0119dzi\u0107].<\/p>\n

Wi\u0119kszo\u015b\u0107 ludzi wyobra\u017ca sobie, \u017ce skromna sko\u0144czono\u015b\u0107 naszego \u015bwiata doczesnego jest jakim\u015b marnym przybli\u017ceniem wspania\u0142ej idei niesko\u0144czono\u015bci, \u017ce w dumnym napisie<\/p>\n

\"lim_{n\\to\\infty}a_n=g\"<\/a>
\n<\/a>wa\u017cna jest granica g<\/em> a poszczeg\u00f3lne wyrazy ci\u0105gu s\u0105 mniej istotne i maj\u0105 znaczenie tylko jako kolejne przybli\u017cenia g<\/em>. \u00a0Ten neoplato\u0144ski w swojej istocie pogl\u0105d jest chyba odruchowy u wielu matematyk\u00f3w, ja w ka\u017cdym razie te\u017c go silnie odczuwam.<\/p>\n

Jednak w informatyce jest wr\u0119cz odwrotnie: na og\u00f3\u0142 to niesko\u0144czono\u015b\u0107 jest traktowana jako dogodne,\u00a0 upraszczaj\u0105ce wiele problem\u00f3w przybli\u017cenie sko\u0144czono\u015bci.<\/p>\n

Wiem, \u017ce ten pogl\u0105d brzmi na pierwszy rzut oka dziwnie, wi\u0119c zaraz wyja\u015bni\u0119. Jako ilustruj\u0105cy to zjawisko przyk\u0142ad we\u017amy na warsztat Excela, bo prawie ka\u017cdy go ma na swoim komputerze i mo\u017ce sam obejrze\u0107, o ile nieko\u0144czono\u015b\u0107 jest prostsza od sko\u0144czono\u015bci.<\/p>\n

Arytmetyka liczb naturalnych Excela jest w miar\u0119 normalna do okolic liczby n<\/em>=1,00E+15, czyli jedynki z 15 zerami.<\/p>\n

W tym rejonie zaczynaj\u0105 si\u0119 cuda. Po pierwsze, zdaniem Excela, zachodzi szokuj\u0105ca r\u00f3wno\u015b\u0107\u00a0 n<\/em>+1=n<\/em>. \u015aci\u015ble m\u00f3wi\u0105c, wykonany przez samego Excela test na r\u00f3wno\u015b\u0107 tych liczb zwraca wynik PRAWDA. Co wi\u0119cej, nawet n<\/em>+4=n<\/em> oraz wszystkie liczby pomi\u0119dzy n<\/em> a n<\/em>+4 s\u0105 sobie r\u00f3wne (zdaniem samego programu). W nast\u0119pnym kroku okazuje si\u0119 jednak, \u017ce n<\/em>+5>n<\/em>. Potem kolejn\u0105 liczb\u0105 wi\u0119ksz\u0105 od n<\/em>+5 b\u0119dzie dopiero n<\/em>+15.<\/p>\n

\u017beby by\u0142o trudniej to ogarn\u0105\u0107, nawet dalej zdarzaj\u0105 si\u0119 przeb\u0142yski normalno\u015bci. Na przyk\u0142ad 10n<\/em>+50>10n<\/em>, ale to tylko przeb\u0142ysk, bo je\u015bli do 10n<\/em> dodamy mniej ni\u017c 50, to liczba powsta\u0142a nie b\u0119dzie si\u0119 r\u00f3\u017cni\u0142a od 10n<\/em>.<\/p>\n

Drugi poziom cud\u00f3w zaczyna si\u0119 dzia\u0107 w okolicy m<\/em>=9,99E+307.<\/p>\n

Na przyk\u0142ad istnieje liczba 1,5m<\/em>, kt\u00f3ra wy\u015bwietla si\u0119 jako 1,4985E+308, ale gdy do mniejszej od niej liczby 1,00E+308 spr\u00f3bujemy doda\u0107 1, to oka\u017ce si\u0119, \u017ce wynik tego dodawania ju\u017c zdaniem Excela nie istnieje.<\/p>\n

Osoba do\u015bwiadczona zapewne domy\u015bli si\u0119, \u017ce pierwszy obszar cud\u00f3w to ten, gdzie Excel przestaje reprezentowa\u0107 liczby dok\u0142adnie w postaci binarnej i przechodzi na reprezentacj\u0119 typu cecha i mantysa, co pozwala na przedstawienie du\u017co wi\u0119kszych warto\u015bci, ale kosztem b\u0142\u0119d\u00f3w zaokr\u0105gle\u0144, kt\u00f3re manifestuj\u0105 si\u0119 w postaci anomalnych wynik\u00f3w dzia\u0142a\u0144. Drugi obszar to tam, gdzie nawet ten zaokr\u0105glany spos\u00f3b zapisu liczb w pami\u0119ci komputera przestaje wystarcza\u0107 i arytmetyka si\u0119 po prostu ko\u0144czy, a wi\u0119kszych liczb Excel ju\u017c nie ma jak reprezentowa\u0107.<\/p>\n

Co specyficzne, granice pomi\u0119dzy sposobami reprezentacji oraz mi\u0119dzy liczbami reprezentowalnymi i za du\u017cymi, by je reprezentowa\u0107, s\u0105 z jakiego\u015b powodu poszarpane i nieregularne.<\/p>\n

Jakim wielkim u\u0142atwieniem dla cz\u0142owieka pr\u00f3buj\u0105cego formalnie przanalizowa\u0107 dzia\u0142anie konkretnego arkusza kalkulacyjnego jest w tej sytuacji przybli\u017cenie sko\u0144czonej arytmetyki Excela arytmetyk\u0105 niesko\u0144czon\u0105, gdzie zawsze wykonalne s\u0105 wszystkie zwyk\u0142e dzia\u0142ania i gdzie dla ka\u017cdej liczby naturalnej n<\/em> zachodzi n<\/em>+1>n<\/em>. Formalne rozumowanie o takim przybli\u017conym modelu prawdziwego programu jest du\u017co prostsze, a je\u015bli u\u017cytkownicy nie b\u0119d\u0105 przesadza\u0107 z wprowadzaniem gigantycznych liczb (lub tych bardzo bliskich 0, w rodzaju 1\/n<\/em>), to nic z\u0142ego si\u0119 nie stanie.<\/p>\n

Jerzy Tyszkiewicz<\/strong><\/p>\n

Ilustracja Joanna Juszczak<\/em><\/p>\n

Wspomniany na wst\u0119pie Wac\u0142aw Sierpi\u0144ski to ten sam, kt\u00f3rego nazwiskiem pos\u0142u\u017cono si\u0119 niegodnie<\/a> w reklamie rzekomego sposobu na wygrywanie w Lotto.<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"

Tym razem o niesko\u0144czono\u015bci. Niesko\u0144czono\u015b\u0107 to pi\u0119kna rzecz.<\/p>\n","protected":false},"author":1,"featured_media":0,"comment_status":"open","ping_status":"closed","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":{"footnotes":""},"categories":[60,11,4,1],"tags":[],"_links":{"self":[{"href":"https:\/\/blog.polityka.pl\/naukowy\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/3741"}],"collection":[{"href":"https:\/\/blog.polityka.pl\/naukowy\/wp-json\/wp\/v2\/posts"}],"about":[{"href":"https:\/\/blog.polityka.pl\/naukowy\/wp-json\/wp\/v2\/types\/post"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/blog.polityka.pl\/naukowy\/wp-json\/wp\/v2\/users\/1"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/blog.polityka.pl\/naukowy\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=3741"}],"version-history":[{"count":8,"href":"https:\/\/blog.polityka.pl\/naukowy\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/3741\/revisions"}],"predecessor-version":[{"id":3762,"href":"https:\/\/blog.polityka.pl\/naukowy\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/3741\/revisions\/3762"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/blog.polityka.pl\/naukowy\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=3741"}],"wp:term":[{"taxonomy":"category","embeddable":true,"href":"https:\/\/blog.polityka.pl\/naukowy\/wp-json\/wp\/v2\/categories?post=3741"},{"taxonomy":"post_tag","embeddable":true,"href":"https:\/\/blog.polityka.pl\/naukowy\/wp-json\/wp\/v2\/tags?post=3741"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}