{"id":6449,"date":"2018-11-30T19:51:26","date_gmt":"2018-11-30T18:51:26","guid":{"rendered":"http:\/\/naukowy.blog.polityka.pl\/?p=6449"},"modified":"2018-12-05T18:52:44","modified_gmt":"2018-12-05T17:52:44","slug":"paradoks-grand-hotelu-na-przykladzie-szpitala","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/blog.polityka.pl\/naukowy\/2018\/11\/30\/paradoks-grand-hotelu-na-przykladzie-szpitala\/","title":{"rendered":"Paradoks Grand Hotelu (na przyk\u0142adzie szpitala)"},"content":{"rendered":"

\"\"Ostatnio mieli\u015bmy kilka wpis\u00f3w o nowych odkryciach w biologii (tutaj pisze o tym Piotr Panek<\/a>, a wcze\u015bniej ja<\/a>), a tymczasem, jak mawiaj\u0105 matematycy, prawdy matematyczne s\u0105 niezmienne. Po przyjrzeniu si\u0119 paradoksowi koni<\/a>, wynikaj\u0105cemu z b\u0142\u0119dnego zastosowania indukcji matematycznej, we\u017amy si\u0119 za kolejny matematyczny paradoks. Tym razem nie b\u0119dzie mowy o \u017cadnych b\u0142\u0119dach. Paradoks wynika z nieintuicyjno\u015bci pewnych w\u0142asno\u015bci pewnych liczb. Chodzi o tzw. paradoks Grand Hotelu.
\n
\nHotel itd. to tylko opowie\u015b\u0107 maj\u0105ca ilustrowa\u0107 pewne dziwaczne w\u0142asno\u015bci matematyczne. W oryginale by\u0142 hotel, tak du\u017cy, \u017ce zawieraj\u0105cy niesko\u0144czon\u0105 liczb\u0119 pokoi. Ale r\u00f3wnie dobrze mo\u017ce to by\u0107 szpital (od hoteli rzadko oczekuje si\u0119 niesko\u0144czonych mo\u017cliwo\u015bci przyjmowania go\u015bci, od szpitali wprost przeciwnie). A wi\u0119c mamy szpital, kt\u00f3ry jest tak du\u017cy, \u017ce zawiera niesko\u0144czenie wiele \u0142\u00f3\u017cek, wszystkich ponumerowanych kolejnymi liczbami naturalnymi, \u017ceby rozr\u00f3\u017cni\u0107 le\u017c\u0105cych na nich pacjent\u00f3w (po nazwiskach nie mo\u017cna, no w ko\u0144cu RODO wesz\u0142o). Na ka\u017cdym \u0142\u00f3\u017cku le\u017cy pacjent \u2013 w szpitalu przebywa niesko\u0144czenie wielu pacjent\u00f3w (wiem, brzmi absurdalnie, ale matematycy to wymy\u015blili \u2013 oni nie musz\u0105 odwo\u0142ywa\u0107 si\u0119 do fakt\u00f3w empirycznych).<\/p>\n

Jak to bywa, przyje\u017cd\u017ca karetka z pacjentem, kt\u00f3rego trzeba przyj\u0105\u0107 (w oryginale przyje\u017cd\u017ca\u0142 kolejny go\u015b\u0107 do hotelu). Pytanie brzmi: czy mo\u017cna go przyj\u0105\u0107? W rzeczywisto\u015bci niekiedy szuka si\u0119 zapasowego \u0142\u00f3\u017cka w piwnicy, dzwoni po innych szpitalach w wojew\u00f3dztwie albo poza wojew\u00f3dztwem. Tylko \u017ce realnie istniej\u0105ce szpitale maj\u0105 sko\u0144czon\u0105 liczb\u0119 \u0142\u00f3\u017cek. Tutaj mamy niesko\u0144czon\u0105. Co to zmienia? Po\u0142o\u017cymy nowego pacjenta na \u0142\u00f3\u017cku nr 1. W ko\u0144cu jest nowy, chory, niech le\u017cy blisko dy\u017curki. OK, ale \u0142\u00f3\u017cko nr 1 jest zaj\u0119te. No to pacjenta z \u0142\u00f3\u017cka 1 przeniesiemy do \u0142\u00f3\u017cka nr 2. Jest zaj\u0119te? Pacjenta z \u0142\u00f3\u017cka nr 2 przeniesiemy do \u0142\u00f3\u017cka nr 3… i tak ad mortem defecatam<\/em>, tfu, do niesko\u0144czono\u015bci.<\/p>\n

Sk\u0105d wynika r\u00f3\u017cnica? Gdyby\u015bmy tak spr\u00f3bowali uczyni\u0107 w rzeczywistym szpitalu (pomijaj\u0105c skargi pacjent\u00f3w i zagro\u017cenie zdrowotne wynikaj\u0105ce z przenoszenia ich), nie mogliby\u015bmy tego zrobi\u0107, bo kt\u00f3re\u015b \u0142\u00f3\u017cko by\u0142oby tym ostatnim i le\u017c\u0105cego na nim pacjenta nie mo\u017cna z niego przenie\u015b\u0107 dalej. Inaczej m\u00f3wi\u0105c, \u017cadna liczba naturalna nie jest r\u00f3wna tej samej licznie zwi\u0119kszonej o 1. Ale te\u017c do ka\u017cdej liczby naturalnej mo\u017cna doda\u0107 1. Tutaj wykonujemy opisan\u0105 procedur\u0119 – i nowy pacjent przyj\u0119ty.<\/p>\n

A je\u015bli przyjedzie kilku pacjent\u00f3w? Robimy tak samo. Dla n<\/em> nowych pacjent\u00f3w przenosimy ka\u017cdego dotychczasowego pacjenta z \u0142\u00f3\u017cka k<\/em> do \u0142\u00f3\u017cka k + n<\/em>.<\/p>\n

To teraz bardziej skomplikowany przyk\u0142ad. Przyje\u017cd\u017ca karetka wioz\u0105ca niesko\u0144czenie wiele pacjent\u00f3w (powiedzmy: jedli razem obiad i wszyscy si\u0119 struli; w oryginale autobus przywi\u00f3z\u0142 niesko\u0144czon\u0105 liczb\u0119 turyst\u00f3w). Co zrobi\u0107? Potrzebujemy przecie\u017c niesko\u0144czenie wielu wolnych miejsc, tyle, ile jest w szpitalu wszystkich miejsc! No dobra, pacjenta z \u0142\u00f3\u017cka 1 przenosimy do \u0142\u00f3\u017cka 2, pacjenta z \u0142\u00f3\u017cka 2 do \u0142\u00f3\u017cka 4 itd. (problemy praktyczne, nieznane matematykom, takie jak to, czy pacjent z pediatrii trafi na ginekologi\u0119, pomijamy. Ech, mo\u017ce trzeba by\u0142o zosta\u0107 przy hotelu, zamiast sili\u0107 si\u0119 na oryginalno\u015b\u0107?<\/em>). Ka\u017cdy \u201estary\u201d pacjent ma swoje \u0142\u00f3\u017cko. Zwolni\u0142o si\u0119 sporo. Pacjenta nowego nr 1 k\u0142adziemy na \u0142\u00f3\u017cku 1, nowego nr 2 na \u0142\u00f3\u017cku nr 3, nowego nr 3 na \u0142\u00f3\u017cku 5 itd. Czy dla ka\u017cdego znajdzie si\u0119 \u0142\u00f3\u017cko? Znajdzie. Po\u0142o\u017cyli\u015bmy wszystkich.<\/p>\n

To teraz prawdziwa epidemia. Przyje\u017cd\u017ca niesko\u0144czenie wiele karetek, z kt\u00f3rych ka\u017cda wiezie niesko\u0144czenie wielu pacjent\u00f3w (w oryginale z autobusami brzmia\u0142o to tylko troch\u0119 mniej absurdalnie). Czy mo\u017cna po\u0142o\u017cy\u0107 ich w tym szpitalu? Czytelnik domy\u015bla si\u0119 ju\u017c zapewne, \u017ce mo\u017cna. Ale jak?<\/p>\n

We\u017amy liczby pierwsze, czyli maj\u0105ce dwa r\u00f3\u017cne dzielniki: 1 i sam\u0105 siebie. Jest ich niesko\u0144czenie wiele. Dow\u00f3d jest do\u015b\u0107 prosty. Za\u0142\u00f3\u017cmy nie wprost, \u017ce nie jest ich niesko\u0144czenie wiele. Mamy wi\u0119c sko\u0144czony zbi\u00f3r zawieraj\u0105cy wszystkie liczby pierwsze. Pomn\u00f3\u017cmy je wszystkie przez siebie i dodajmy 1. Otrzymana liczba jest wi\u0119ksza od ka\u017cdej liczby z naszego zbioru, wi\u0119c do niego nie nale\u017cy. Wobec tego nie jest liczb\u0105 pierwsz\u0105. Jednak nie dzieli si\u0119 przez \u017cadn\u0105 liczb\u0119 pierwsz\u0105 (reszta z dzielenia wynosi 1). Mamy sprzeczno\u015b\u0107. A wi\u0119c liczb pierwszych jest niesko\u0144czenie wiele. Tak wi\u0119c ka\u017cdej karetce (i pacjentom zawczasu b\u0119d\u0105cym w szpitalu) przyporz\u0105dkowujemy kolejne liczby pierwsze. Kolejnych pacjent\u00f3w z karetki p1<\/em> przyporz\u0105dkowujemy do \u0142\u00f3\u017cek p1<\/em>, p1*p1=p1^2<\/em>, p1*p1*p1=p1^3<\/em>… Dzia\u0142a? Dzia\u0142a.<\/p>\n

Dziwne. Ale takie s\u0105 w\u0142asno\u015bci liczb niesko\u0144czonych. Bardziej formalnie mo\u017cemy zastanowi\u0107 si\u0119, kiedy dwa zbiory niesko\u0144czone s\u0105 r\u00f3wnoliczne (maj\u0105 tyle samo element\u00f3w) – nie jest to oczywiste, ale zbiory niesko\u0144czone mog\u0105 mie\u0107 r\u00f3\u017cn\u0105 liczb\u0119 element\u00f3w (o tym innym razem). Jest taki spos\u00f3b stwierdzania r\u00f3wnoliczno\u015bci odwo\u0142uj\u0105cy si\u0119 do pewnego por\u00f3wnania. Je\u015bli mamy przed sob\u0105 dzieci w przedszkolu i chcemy wiedzie\u0107, czy ch\u0142opc\u00f3w i dziewczynek jest tyle samo, nie musimy ich liczy\u0107. Niech ch\u0142opcy i dziewczynki parami wezm\u0105 si\u0119 za r\u0119ce. Je\u015bli nie zostan\u0105 dzieci \u017cadnej z p\u0142ci bez pary, to znaczy, \u017ce ch\u0142opc\u00f3w i dziewczynek jest tyle samo. (Je\u015bli pozostan\u0105 – mo\u017ce tej p\u0142ci jest wi\u0119cej, a mo\u017ce dzieci po prostu nas nie s\u0142uchaj\u0105).<\/p>\n

To teraz to samo na zbiorach: je\u015bli istnieje funkcja r\u00f3\u017cnowarto\u015bciowa ze zbioru A na B i z B na A (a wi\u0119c ka\u017cdemu elementowi zbioru A przyporz\u0105dkowa\u0107 mo\u017cemy jeden element zbioru B i odwrotnie), to zbiory s\u0105 r\u00f3wnoliczne. Poszukajmy takich funkcji dla opisanych wy\u017cej zmian numer\u00f3w \u0142\u00f3\u017cek pacjent\u00f3w w szpitalu. W naszym pierwszym przypadku f(n) = n + 1<\/em>. W kolejnym f(n) = 2 * n<\/em> (i dla pacjent\u00f3w z karetki f(m) = 2 * m – 1<\/em>). W ostatnim dla pacjenta n<\/em> z karetki p <\/em>mamy\u00a0f(n,p) = p^n<\/em>.<\/p>\n

A wi\u0119c szpital mamy naprawd\u0119 pojemny, nie by\u0142oby kolejek (pacjenci by si\u0119 cieszyli, NFZ ju\u017c mniej, bo musia\u0142by za to p\u0142aci\u0107). Ale wspomina\u0142em wy\u017cej, \u017ce istniej\u0105 mniejsze i wi\u0119ksze zbiory niesko\u0144czone. Omawiany przez nas jest akurat najmniejszy. Zbiorem liczniejszym od niego jest cho\u0107by zbi\u00f3r liczb rzeczywistych, nie da si\u0119 go upakowa\u0107 do naszych \u0142\u00f3\u017cek.<\/p>\n

Ilustracja: Szpital. Zdj\u0119cie wykonane przez autora.<\/em><\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"

Ostatnio mieli\u015bmy kilka wpis\u00f3w o nowych odkryciach w biologii (tutaj pisze o tym Piotr Panek, a wcze\u015bniej ja), a tymczasem, jak mawiaj\u0105 matematycy, prawdy matematyczne s\u0105 niezmienne. Po przyjrzeniu si\u0119 paradoksowi koni, wynikaj\u0105cemu z b\u0142\u0119dnego zastosowania indukcji matematycznej, we\u017amy si\u0119 za kolejny matematyczny paradoks. Tym razem nie b\u0119dzie mowy o \u017cadnych b\u0142\u0119dach. Paradoks wynika z […]<\/p>\n","protected":false},"author":1,"featured_media":6466,"comment_status":"open","ping_status":"closed","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":{"footnotes":""},"categories":[241,11,4,1],"tags":[404,405,382,38],"_links":{"self":[{"href":"https:\/\/blog.polityka.pl\/naukowy\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/6449"}],"collection":[{"href":"https:\/\/blog.polityka.pl\/naukowy\/wp-json\/wp\/v2\/posts"}],"about":[{"href":"https:\/\/blog.polityka.pl\/naukowy\/wp-json\/wp\/v2\/types\/post"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/blog.polityka.pl\/naukowy\/wp-json\/wp\/v2\/users\/1"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/blog.polityka.pl\/naukowy\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=6449"}],"version-history":[{"count":7,"href":"https:\/\/blog.polityka.pl\/naukowy\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/6449\/revisions"}],"predecessor-version":[{"id":6478,"href":"https:\/\/blog.polityka.pl\/naukowy\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/6449\/revisions\/6478"}],"wp:featuredmedia":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/blog.polityka.pl\/naukowy\/wp-json\/wp\/v2\/media\/6466"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/blog.polityka.pl\/naukowy\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=6449"}],"wp:term":[{"taxonomy":"category","embeddable":true,"href":"https:\/\/blog.polityka.pl\/naukowy\/wp-json\/wp\/v2\/categories?post=6449"},{"taxonomy":"post_tag","embeddable":true,"href":"https:\/\/blog.polityka.pl\/naukowy\/wp-json\/wp\/v2\/tags?post=6449"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}