{"id":6663,"date":"2019-05-22T06:30:49","date_gmt":"2019-05-22T04:30:49","guid":{"rendered":"http:\/\/naukowy.blog.polityka.pl\/?p=6663"},"modified":"2019-05-22T11:13:49","modified_gmt":"2019-05-22T09:13:49","slug":"nieprawdopodobna-prawda-o-prawdopodobienstwie-w-kontekscie-zbiorow-nieskonczonych","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/blog.polityka.pl\/naukowy\/2019\/05\/22\/nieprawdopodobna-prawda-o-prawdopodobienstwie-w-kontekscie-zbiorow-nieskonczonych\/","title":{"rendered":"Nieprawdopodobna prawda o prawdopodobie\u0144stwie w kontek\u015bcie zbior\u00f3w niesko\u0144czonych"},"content":{"rendered":"

\"\"<\/a>W komentarzach do jednego z moich poprzednich wpis\u00f3w<\/a> wype\u0142z\u0142 problem prawdopodobie\u0144stwa. Oto wybitny ewolucjonista Richard Dawkins w swojej ksi\u0105\u017cce „B\u00f3g urojony\u201d (najs\u0142abszej moim zdaniem z dotychczas przeze mnie przeczytanych) pisze o prawdopodobie\u0144stwie istnienia Boga. Dochodzi do wniosku, \u017ce prawdopodobie\u0144stwo to prawie na pewno wynosi 0. A wi\u0119c \u017ce B\u00f3g nie istnieje? Czego si\u0119 czepia\u0107?
\n
\nZastan\u00f3wmy si\u0119 wi\u0119c, co w\u0142a\u015bciwie oznacza prawdopodobie\u0144stwo. Definiuje si\u0119 je rozmaicie. Jedna z prostszych definicji wprowadza pewien sko\u0144czony zbi\u00f3r wszystkich mo\u017cliwo\u015bci (tzw. zdarze\u0144 elementarnych). Prawdopodobie\u0144stwo zaj\u015bcia A wyznacza iloraz liczno\u015bci dw\u00f3ch zbior\u00f3w: zbioru zdarze\u0144 sprzyjaj\u0105cych A do liczno\u015bci zbioru wszystkich zdarze\u0144 elementarnych. Przyk\u0142ad: rzucamy kostk\u0105 do gry. Jakie jest prawdopodobie\u0144stwo wyrzucenia liczby podzielnej przez 3? Mamy w naszym zbiorze 6 zdarze\u0144 elementarnych (wyrzucenie ka\u017cdej z cyfr), spo\u015br\u00f3d kt\u00f3rych 2 (wyrzucenie 3 lub<\/em> wyrzucenie 6; tak: lub<\/em>, nie i<\/em>) sprzyjaj\u0105 rozpatrywanemu zdarzeniu. Prawdopodobie\u0144stwo P wynosi 2\/6.<\/p>\n

Proste? Tak, i dlatego matematycy tej definicji nie u\u017cyj\u0105. Wprowadzili rozmaite inne uj\u0119cia, np. cz\u0119stotliwo\u015bciowe czy oparte na przedziale <0;1> (czyli liczb rzeczywistych od 0 do 1), a nawet na ci\u0105gach i przestrzeni probabilistycznej, czymkolwiek by ona by\u0142a. Wbrew pozorom w matematyce jest du\u017co dziwnych poj\u0119\u0107 i a\u017c dziw, \u017ce wszystkie one wymagaj\u0105 niewielkiego w sumie zestawu aksjomat\u00f3w.<\/p>\n

Jedna z ciekawszych definicji definiuje prawdopodobie\u0144stwo jako pewn\u0105 miar\u0119… zatrzymajmy si\u0119. Czym jest miara? Je\u017celi mamy pewien obrany zbi\u00f3r (nazwijmy go \u03a9), to miara jest funkcj\u0105 przyporz\u0105dkowuj\u0105c\u0105 jego podzbiorom pewne liczby (czyli funkcj\u0105 ze zbioru pot\u0119gowego P(\u03a9) w pewien podzbi\u00f3r R<\/span>). Pierwsze ograniczenie: przyporz\u0105dkowywane liczby rzeczywiste musz\u0105 by\u0107 nieujemne (czyli dodatnie lub 0). Matematyk, kt\u00f3ry nie po to jest matematykiem, \u017ceby u\u017cywa\u0107 s\u0142\u00f3w (bo jeszcze kto\u015b niepowo\u0142any, np. polonista, by go zrozumia\u0142), napisze: \u03bc(x) \u2208 [0;\u221e).<\/p>\n

Drugie ograniczenie wymaga wprowadzenia poj\u0119cia zbioru pustego. To zbi\u00f3r, do kt\u00f3rego nie nale\u017cy \u017cadne zdarzenie (w og\u00f3le nic do niego nie nale\u017cy, jak sama nazwa wskazuje). Wbrew pozorom wz\u00f3r taki przydaje si\u0119 w matematyce, a jego istnienie gwarantuj\u0105 za\u0142o\u017cenia teorii zbior\u00f3w.\u00a0Temu zbiorowi przyporz\u0105dkowujemy liczb\u0119 0 (jak\u0105 inn\u0105 liczb\u0119 przyporz\u0105dkowa\u0107 zbiorowi, w kt\u00f3rym nic nie ma?). Matematyk zapisze \u03bc(\u2205) = 0. Trzecie ograniczenie: w przypadku pary zbior\u00f3w nieposiadaj\u0105cych wsp\u00f3lnych element\u00f3w miara ich sumy jest r\u00f3wna sumie ich miar. Matematycznie: (A \u2227\u00a0B = \u2205) \u21d2 \u03bc(A\u00a0\u2228 B) = \u03bc(A) + \u03bc(B). \u017beby\u015bmy mogli m\u00f3wi\u0107 o prawdopodobie\u0144stwie, musimy doda\u0107 jeden warunek: miara musi przypisywa\u0107 ca\u0142emu zbiorowi \u03a9 warto\u015b\u0107 1.<\/p>\n

Sk\u0105d takie warunki? Po pierwsze, prawdopodobie\u0144stwo nie mo\u017ce by\u0107 mniejsze od 0. Po drugie zdarzeniu, kt\u00f3re nigdy nie zachodzi (zbi\u00f3r pusty), przypisujemy prawdopodobie\u0144stwo 0. Po trzecie, prawdopodobie\u0144stwo dw\u00f3ch zdarze\u0144 niezale\u017cnych (np. wyrzucenie kostk\u0105 2 lub 3) jest r\u00f3wne sumie prawdopodobie\u0144stw tych dw\u00f3ch zdarze\u0144. Po ostatnie za\u015b – prawdopodobie\u0144stwo nie mo\u017ce by\u0107 wi\u0119ksze od 1.<\/p>\n

Ten ostatni warunek odgrywa du\u017c\u0105 rol\u0119 m.in. w mechanice kwantowej. Taki elektron np. nie zajmuje \u017cadnego konkretnego miejsca i opisa\u0107 go mo\u017cna jedynie funkcj\u0105 falow\u0105 okre\u015blan\u0105 liter\u0105 psi,\u00a0\u03a8 (kojarzy si\u0119 z czym\u015b dziwnym najzupe\u0142niej s\u0142usznie). Co oznacza \u03a8? Ano nie bardzo wiadomo, co oznacza. Ale je\u015bli si\u0119 we\u017amie jej modu\u0142 (czyli odleg\u0142o\u015b\u0107 liczby b\u0119d\u0105cej warto\u015bci\u0105 funkcji od liczby 0, najpro\u015bciej m\u00f3wi\u0105c) i podniesie do kwadratu, otrzyma si\u0119 g\u0119sto\u015b\u0107 prawdopodobie\u0144stwa.<\/p>\n

Inaczej m\u00f3wi\u0105c, je\u015bli mamy wykres tego dziadostwa i chcemy policzy\u0107 prawdopodobie\u0144stwo, \u017ce elektron znajdzie si\u0119 mi\u0119dzy warto\u015bciami x1 a x2, to liczymy pole pod wykresem kwadratu modu\u0142u\u00a0\u03a8 mi\u0119dzy x1 a x2 (matematycy nazywaj\u0105 to ca\u0142kowaniem, jak wida\u0107, s\u0142u\u017cy ono nie tylko do dr\u0119czenia student\u00f3w). Czasem pojawia si\u0119 problem, kt\u00f3r\u0105 z mo\u017cliwych funkcji \u03a8 wybra\u0107? Ma ona okre\u015bla\u0107 prawdopodobie\u0144stwo znalezienia cz\u0105stki, kt\u00f3r\u0105 na pewno gdzie\u015b<\/em> znajdziemy. Prawdopodobie\u0144stwo znalezienia elektronu gdziekolwiek<\/em> wynosi 1 i tyle samo musi wynosi\u0107 pole powierzchni pod ca\u0142ym wykresem funkcji (od \u2013 niesko\u0144czono\u015bci do + niesko\u0144czono\u015bci).<\/p>\n

Prawdopodobie\u0144stwo jest bardzo wdzi\u0119cznym narz\u0119dziem w przypadku zbior\u00f3w sko\u0144czonych. W przypadku zbior\u00f3w niesko\u0144czonych urz\u0105dza rozmaite hece. Ale komu potrzebne jakie\u015b niesko\u0144czono\u015bci? Ot\u00f3\u017c pojawiaj\u0105 si\u0119 one cz\u0119\u015bciej, ni\u017c si\u0119 wydaje. Rozpatrzmy zwyk\u0142y odcinek. Obejmuje on niesko\u0144czenie wiele punkt\u00f3w. Nazwijmy odcinek AB i przedzielmy go na dwie cz\u0119\u015bci w stosunku 1:2 punktem C. Wybierzmy teraz 1 z punkt\u00f3w tworz\u0105cych ten odcinek. Jaka jest szansa, \u017ce znajdzie si\u0119 w cz\u0119\u015bci AB? Proste: 1\/3. No dobra.<\/p>\n

Osad\u017amy odcinek w uk\u0142adzie wsp\u00f3\u0142rz\u0119dnych starego dobrego Kartezjusza (ale sztuczki b\u0119dziemy robi\u0107 raczej wzorem Cantora). Niech le\u017cy na osi X, punkt A niech ma wsp\u00f3\u0142rz\u0119dne -1, C \u2013 0, a B \u2013 2. Wtedy ka\u017cdemu punktowi na odcinku przyporz\u0105dkowa\u0107 mo\u017cemy liczb\u0119 rzeczywist\u0105 z przedzia\u0142u <-1;2>. Jakie jest prawdopodobie\u0144stwo wylosowania punktu z cz\u0119\u015bci AC (zbi\u00f3r <-1;0>)? Niezmiennie 1\/3.<\/p>\n

No dobra, bierzemy sobie te punkty (mo\u017cemy to zrobi\u0107 na gruncie wspomnianych aksjomat\u00f3w teorii zbior\u00f3w) i stosujemy do ka\u017cdego tak\u0105 funkcj\u0119: bierzemy warto\u015b\u0107 na osi x, na kt\u00f3rej le\u017cy dany punkt, i mno\u017cymy przez 2. Ka\u017cd\u0105 liczb\u0119 rzeczywist\u0105 mo\u017cna pomno\u017cy\u0107 przez 2 i zawsze otrzymamy inn\u0105 liczb\u0119, zrobili\u015bmy to dla ka\u017cdego naszego punktu ze zbioru AC, wi\u0119c liczba punkt\u00f3w nie zmieni\u0142a si\u0119. Co wi\u0119cej, ka\u017cda liczba rzeczywista z przedzia\u0142u <-2;0> jest dwukrotno\u015bci\u0105 pewnej liczby rzeczywistej z przedzia\u0142u <-1;0>, wobec tego otrzymali\u015bmy zbi\u00f3r <-2;0>.<\/p>\n

Ka\u017cde dwa zbiory maj\u0105 swoj\u0105 sum\u0119 (to kolejny aksjomat teorii zbior\u00f3w). Dodajmy wi\u0119c otrzymany zbi\u00f3r do wcze\u015bniejszego, odpowiadaj\u0105cego punktom odcinka CB. Otrzymamy przedzia\u0142 <-2;2>. Jakie jest prawdopodobie\u0144stwo, \u017ce wylosowany teraz punkt b\u0119dzie nale\u017ca\u0142 do zbioru otrzymanego z AC? Czy\u017cby… \u00bd? Ale przecie\u017c liczba punkt\u00f3w si\u0119 nie zmieni\u0142a, zmienili\u015bmy tylko etykiety? Tak, mo\u017cemy je zmieni\u0107 dowolnie i otrzyma\u0107 jeszcze bardziej fantazyjny wynik, jaki nam si\u0119 w\u0142a\u015bciwie podoba – od 0 do 1.<\/p>\n

To teraz jeszcze lepsza sztuczka. We\u017amy kwadrat o boku 1, po\u0142o\u017cony w lewym dolnym rogu w \u015brodku uk\u0142adu wsp\u00f3\u0142rz\u0119dnych. Wybierzmy z niego 1 punkt. Jakie jest prawdopodobie\u0144stwo, \u017ce trafimy w punkt le\u017c\u0105cy na osi x? Wynosi ono 0 (1 punkt z niesko\u0144czono\u015bci). To teraz we\u017amy wszystkie punkty tego kwadratu (mo\u017cemy pomin\u0105\u0107 jego g\u00f3rny i prawy bok). Ka\u017cdy z nich ma wsp\u00f3\u0142rz\u0119dne x i y wyra\u017cone liczbami rzeczywistymi, czyli niesko\u0144czonymi ci\u0105gami cyfr 0,Cx1Cx2Cx3… i 0,Cy1Cy2Cy3… Ustawmy te cyfry na przemian w rozwini\u0119ciu dziesi\u0119tnym trzeciej liczby: 0,Cx1Cy1Cx2Cy2Cx3Cy3… Czyli ka\u017cdy punkt nale\u017c\u0105cy do kwadratu otrzymuje etykiet\u0119, etykiety te razem tworz\u0105… zbi\u00f3r <0;1), czyli dolny bok kwadratu. Istotnie: wszystkie punkty kwadratu zmie\u015bci\u0107 mo\u017cna na jednym jego boku, oba zbiory maj\u0105 tyle samo punkt\u00f3w (c, od \u0142aci\u0144skiego continuum<\/em>). Mamy dwa zbiory o tej samej liczno\u015bci i wyb\u00f3r elementu z jednego z nich ma prawdopodobie\u0144stwo 0, a drugiego \u2013 1?<\/p>\n

Ot\u00f3\u017c w przypadku zbior\u00f3w niesko\u0144czonych prawdopodobie\u0144stwo danego zdarzenia nie jest immanentn\u0105 cech\u0105 zbioru i zdarzenia, ale zale\u017cy od sposobu wyboru zdarzenia. Wybieraj\u0105c fantazyjnie, mo\u017cna prawdopodobie\u0144stwem pomanipulowa\u0107. W szczeg\u00f3lno\u015bci za\u015b nie ma sensu m\u00f3wienie o prawdopodobie\u0144stwie, je\u015bli wybieramy ze zbioru niesko\u0144czonego, a nie okre\u015blimy, w jaki spos\u00f3b wybieramy element.<\/p>\n

Jeszcze mniejszy sens ma m\u00f3wienie o prawdopodobie\u0144stwie bez wskazania zbioru, kt\u00f3remu przypisujemy warto\u015b\u0107 1. Je\u015bli nie opiszemy tego porz\u0105dnie, zgubimy si\u0119 ju\u017c w przypadku niewielkiego (acz licz\u0105cego niesko\u0144czenie wiele punkt\u00f3w) odcinka. Tym bardziej gdy pr\u00f3bujemy liczy\u0107 prawdopodobie\u0144stwo istnienia Boga, nie okre\u015bliwszy w og\u00f3le zbioru \u03a9. R\u00f3wnie dobrze m\u00f3g\u0142bym napisa\u0107, \u017ce prawdopodobie\u0144stwo b\u0142\u0119du w takich sformu\u0142owaniach d\u0105\u017cy do 1. W matematyce bardzo istotne s\u0105 za\u0142o\u017cenia. Nie przywi\u0105zuj\u0105c do nich uwagi, pope\u0142nimy b\u0142\u0105d, jak m\u00f3wi\u0105 niekt\u00f3rzy, na 300 proc.<\/p>\n

Grafika wykonana przez autora.<\/em><\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"

W komentarzach do jednego z moich poprzednich wpis\u00f3w wype\u0142z\u0142 problem prawdopodobie\u0144stwa. Oto wybitny ewolucjonista Richard Dawkins w swojej ksi\u0105\u017cce „B\u00f3g urojony\u201d (najs\u0142abszej moim zdaniem z dotychczas przeze mnie przeczytanych) pisze o prawdopodobie\u0144stwie istnienia Boga. Dochodzi do wniosku, \u017ce prawdopodobie\u0144stwo to prawie na pewno wynosi 0. A wi\u0119c \u017ce B\u00f3g nie istnieje? Czego si\u0119 czepia\u0107?<\/p>\n","protected":false},"author":1,"featured_media":0,"comment_status":"open","ping_status":"closed","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":{"footnotes":""},"categories":[241,11,4,1],"tags":[465,382,466,464],"_links":{"self":[{"href":"https:\/\/blog.polityka.pl\/naukowy\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/6663"}],"collection":[{"href":"https:\/\/blog.polityka.pl\/naukowy\/wp-json\/wp\/v2\/posts"}],"about":[{"href":"https:\/\/blog.polityka.pl\/naukowy\/wp-json\/wp\/v2\/types\/post"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/blog.polityka.pl\/naukowy\/wp-json\/wp\/v2\/users\/1"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/blog.polityka.pl\/naukowy\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=6663"}],"version-history":[{"count":8,"href":"https:\/\/blog.polityka.pl\/naukowy\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/6663\/revisions"}],"predecessor-version":[{"id":6704,"href":"https:\/\/blog.polityka.pl\/naukowy\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/6663\/revisions\/6704"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/blog.polityka.pl\/naukowy\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=6663"}],"wp:term":[{"taxonomy":"category","embeddable":true,"href":"https:\/\/blog.polityka.pl\/naukowy\/wp-json\/wp\/v2\/categories?post=6663"},{"taxonomy":"post_tag","embeddable":true,"href":"https:\/\/blog.polityka.pl\/naukowy\/wp-json\/wp\/v2\/tags?post=6663"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}