{"id":7383,"date":"2020-08-23T19:13:42","date_gmt":"2020-08-23T17:13:42","guid":{"rendered":"http:\/\/naukowy.blog.polityka.pl\/?p=7383"},"modified":"2020-08-23T21:34:22","modified_gmt":"2020-08-23T19:34:22","slug":"matematykow-grupy-ciala-pierscienie-idealy","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/blog.polityka.pl\/naukowy\/2020\/08\/23\/matematykow-grupy-ciala-pierscienie-idealy\/","title":{"rendered":"Matematyk\u00f3w grupy, cia\u0142a, pier\u015bcienie, idea\u0142y…"},"content":{"rendered":"\n
\"\"<\/figure><\/div>\n\n\n\n

Odrywaj\u0105c si\u0119 od niespokojnej, niepokoj\u0105cej sytuacji politycznej wybierzmy dzi\u015b jaki\u015b temat ca\u0142kowicie z ni\u0105 niezwi\u0105zany, najlepiej abstrakcyjny. Na przyk\u0142ad algebr\u0119.<\/p>\n\n\n\n\n\n\n\n

W szkole ucz\u0105 jej w do\u015b\u0107 ograniczonym zakresie, rozwi\u0105zuje si\u0119 g\u0142\u00f3wnie r\u00f3wnania. Na bardziej zaawansowanym poziomie z szeroko poj\u0119tej algebry wyrastaj\u0105 odr\u0119bne wr\u0119cz dziedziny matematyki, pe\u0142ne specyficznego, niezrozumia\u0142ego dla wi\u0119kszo\u015bci niematematyk\u00f3w s\u0142ownictwa.<\/p>\n\n\n\n

Zacznijmy od czego\u015b prostego (wszystko tutaj b\u0119dziemy analizowa\u0107 w znacznym uproszczeniu). We\u017amy zbi\u00f3r i okre\u015blmy w nim (a wi\u0119c wynik te\u017c ma do niego nale\u017ce\u0107) pewne dzia\u0142anie \u058e o trzech cechach:<\/p>\n\n\n\n

  1. jest \u0142\u0105czne: a wi\u0119c a \u058e (b \u058e c) = (a \u058e b) \u058e c<\/li>
  2. mo\u017cna wyr\u00f3\u017cni\u0107 element neutralny oznaczany e (albo 0 czy 1): tzn. wynik dzia\u0142ania r\u00f3wny jest drugiemu z u\u017cytych argument\u00f3w, a \u058e e = a<\/li>
  3. ka\u017cdy element zbioru ma element odwrotny czy przeciwny: a wi\u0119c taki, \u017ce je\u015bli do dzia\u0142ania wrzucimy dowolny element i element przeciwny, to otrzymany element neutralny, a \u058e (-a) = e<\/li><\/ol>\n\n\n\n

    Jako przyk\u0142ad we\u017amy dodawanie liczb ca\u0142kowitych. Suma liczb ca\u0142kowitych jest ca\u0142kowita. Dzia\u0142anie jest \u0142\u0105czne, elementem neutralnym jest 0, a elementem przeciwnym do liczby n jest oczywi\u015bcie -n. Inny przyk\u0142ad: obracamy sze\u015bciok\u0105t foremny o wielokrotno\u015b\u0107 1\/6 k\u0105ta pe\u0142nego. Dodawanie obrot\u00f3w jest \u0142\u0105czne, sk\u0142adanie obrot\u00f3w daje w wyniku tak\u017ce obr\u00f3t, brak obrotu to element neutralny, a elementem przeciwnym do obrotu o dany k\u0105t zgodnie z kierunkiem zegara jest obr\u00f3t w kierunku przeciwnym.<\/p>\n\n\n\n

    W obr\u0119bie jednej grupy mo\u017ce si\u0119 mie\u015bci\u0107 inna. Je\u015bli b\u0119dziemy dodawa\u0107 liczby parzyste, wynik b\u0119dzie liczb\u0105 parzyst\u0105. Liczby parzyste z dodawaniem tworz\u0105 podgrup\u0119 liczb ca\u0142kowitych. A je\u015bli we\u017amiemy liczby dodatnie? Nie, poniewa\u017c taki zbi\u00f3r, nie obejmuj\u0105c przeciwnych do nich liczb ujemnych, nie b\u0119dzie grup\u0105.<\/p>\n\n\n\n

    Wszystkie omawiane grupy maj\u0105 jeszcze jedn\u0105 fajn\u0105 w\u0142a\u015bciwo\u015b\u0107 (4): a \u058e b = b \u058e a. S\u0105 przemienne (matematycy powiedz\u0105 „abelowe\u201d od norweskiego matematyka Abela). Nie ka\u017cda grupa jest abelowa. Je\u015bli b\u0119dziemy obraca\u0107 figur\u0105 w przestrzeni tr\u00f3jwymiarowej, zbi\u00f3r wszystkich obrot\u00f3w z dzia\u0142aniem ich sk\u0142adania tworzy grup\u0119, ale kolejno\u015b\u0107 ich dokonywania jak najbardziej ma znaczenie (obr\u00f3\u0107my co\u015b w lewo i do przodu – obr\u00f3t do przodu i w lewo nie doprowadzi nas do tego samego rezultatu). Twory, wydawa\u0142oby si\u0119, abstrakcyjne – grupy – odgrywaj\u0105 wielk\u0105 rol\u0119 w fizyce, kt\u00f3rej adepci przy ich wykorzystaniu wywodz\u0105 m.in. zasady zachowania.<\/p>\n\n\n\n

    Dodatkowo je\u015bli dla ka\u017cdego elementu h podgrupy H grupy G oraz dowolnego elementu grupy G wynik g \u058e h \u058e (-g) dalej nale\u017cy do H, to wtedy, jakkolwiek taka konstrukcja wydawa\u0142aby si\u0119 nam dziwna, na z\u0142o\u015b\u0107 \u015bwiatu matematycy m\u00f3wi\u0105, \u017ce H jest dla G dzielnikiem normalnym (a \u017ceby tym bardziej nikt si\u0119 nie zorientowa\u0142, o co chodzi, pisz\u0105 podst\u0119pnie H \u140a G). Oczywi\u015bcie ka\u017cda podgrupa grupy abelowej jest jej dzielnikiem normalnym (dlaczego?).<\/p>\n\n\n\n

    Rozpatrzmy teraz zbi\u00f3r liczb ca\u0142kowitych z dwoma dzia\u0142aniami: dodawaniem i mno\u017ceniem. Oba dzia\u0142ania s\u0105 zawsze wykonalne. Odejmowanie tak\u017ce. W przypadku dodawania tw\u00f3r taki spe\u0142nia wszystkie cztery podane wy\u017cej cechy grupy abelowej. W przypadku mno\u017cenia spe\u0142nia warunki \u0142\u0105czno\u015bci, przemienno\u015bci i elementu neutralnego \u2013 jest nim 1. Jednak nie ka\u017cdy element ma w tym zbiorze sw\u0105 odwrotno\u015b\u0107. 2 jest liczb\u0105 ca\u0142kowit\u0105, ale \u00bd ju\u017c nie. Nie mo\u017cemy w zbiorze liczb ca\u0142kowitych podzieli\u0107 3 przez 11. Do tych siedmiu cech do\u0142\u0105czmy rozdzielno\u015b\u0107 drugiego dzia\u0142ania wzgl\u0119dem pierwszego (tutaj mno\u017cenia wzgl\u0119dem dodawania, og\u00f3lnie (8) a \u06de (b \u058e c) = a \u06de b \u058e a \u06de b). Dowolny zbi\u00f3r z dowolnymi dzia\u0142aniami spe\u0142niaj\u0105cymi powy\u017csze aksjomaty nazywaj\u0105 matematycy pier\u015bcieniem (w uproszczeniu, w zasadzie chodzi o pier\u015bcie\u0144 przemienny z jedynk\u0105), a grup\u0119 okre\u015blan\u0105 czterema pierwszymi aksjomatami zw\u0105 matematycy grup\u0105 addytywn\u0105 tego pier\u015bcienia.<\/p>\n\n\n\n

    W pier\u015bcieniu liczb ca\u0142kowitych we\u017amy zbi\u00f3r liczb podzielnych przez 7. Stanowi on grup\u0119, ale ma jeszcze jedn\u0105 interesuj\u0105c\u0105 w\u0142a\u015bciwo\u015b\u0107. Oto dowolna liczba podzielna przez 7 pomno\u017cona przez dowoln\u0105 liczb\u0119 ca\u0142kowit\u0105 dalej jest podzielna przez 7. Podgrup\u0119 grupy addytywnej pier\u015bcienia o takiej w\u0142asno\u015bci zw\u0105 matematycy idea\u0142em, na przek\u00f3r reszcie \u015bwiata twierdz\u0105cej, \u017ce idea\u0142\u00f3w nie ma. Pisz\u0105c og\u00f3lniej: idea\u0142 ma tak\u0105 w\u0142a\u015bciwo\u015b\u0107, \u017ce iloczyn dowolnego jego elementu przez dowolny element pier\u015bcienia nadal do idea\u0142u nale\u017cy. A \u017ceby by\u0142o jeszcze trudniej, pisz\u0105 niekiedy podobnie jak w przypadku podgrup I \u140a P.<\/p>\n\n\n\n

    We\u017amy w ko\u0144cu zbi\u00f3r liczb wymiernych z dodawaniem i mno\u017ceniem. Spe\u0142nia on wszystkie powy\u017csze kryteria pier\u015bcienia. Dochodzi do nich jeszcze jedno. Oto w tym zbiorze ka\u017cda liczba pr\u00f3cz 0 ma sw\u0105 odwrotno\u015b\u0107. Jak widzimy, mamy tu mniej wi\u0119cej dwa razy powt\u00f3rzone aksjomaty grupy abelowej oraz aksjomat rozdzielno\u015bci\u00a0(8), kt\u00f3ry dodali\u015bmy, omawiaj\u0105c pier\u015bcie\u0144. Dziwo spe\u0142niaj\u0105ce te dziewi\u0119\u0107 za\u0142o\u017ce\u0144 matematycy nazywaj\u0105 cia\u0142em. Jak widzimy, ka\u017cde cia\u0142o jest pier\u015bcieniem i wbrew pozorom nie wymy\u015bli\u0142 tego tolkienowski Sauron.<\/p>\n\n\n\n

    Matematycy wyr\u00f3\u017cniaj\u0105 r\u00f3\u017cne rodzaje idea\u0142\u00f3w. Je\u015bli do idea\u0142u nale\u017cy 0, nale\u017c\u0105 do niego iloczyny wszystkich element\u00f3w cia\u0142a przez to 0, iloczyn taki – nawet w algebrze – r\u00f3wny jest zawsze 0. Idea\u0142 ten matematycy zw\u0105 zerowym. Oczywi\u015bcie ca\u0142y pier\u015bcie\u0144 sam jest dla siebie idea\u0142em (matematycy zw\u0105 go niew\u0142a\u015bciwym). Jeden idea\u0142 mo\u017ce zawiera\u0107 si\u0119 w innym (np. liczby ca\u0142kowite podzielne przez 30 i przez 3). Idea\u0142, kt\u00f3ry nie zawiera si\u0119 w \u017cadnym innym ideale pr\u00f3cz siebie i ca\u0142ego pier\u015bcienia, zw\u0105 adepci algebry maksymalnym (co wskazuje, \u017ce matematycy potrafi\u0105 jednak tworzy\u0107 nazwy intuicyjne).<\/p>\n\n\n\n

    Skoro cia\u0142o z definicji jest pier\u015bcieniem, poszukajmy w nim idea\u0142\u00f3w. Je\u017celi do idea\u0142u cia\u0142a nale\u017cy tylko 0, b\u0119dziemy mieli idea\u0142 zerowy. Je\u015bli jednak do idea\u0142u nale\u017cy odwracalny (posiadaj\u0105cy odwrotno\u015b\u0107) element a (czyli dowolny pr\u00f3cz 0), to do idea\u0142u nale\u017cy wynik iloczynu tego a przez jego odwrotno\u015b\u0107, czyli element neutralny mno\u017cenia, jedynka. Skoro nale\u017cy ona do idea\u0142u, to nale\u017c\u0105 do\u0144 iloczyny tej\u017ce jedynki przez wszystkie elementy cia\u0142a, a wi\u0119c ka\u017cdy element cia\u0142a nale\u017cy do idea\u0142u.<\/p>\n\n\n\n

    Wniosek z tego, \u017ce cia\u0142o mo\u017ce mie\u0107 tylko dwa idea\u0142y: zerowy oraz niew\u0142a\u015bciwy. A idea\u0142 zerowy jest dla\u0144 idea\u0142em maksymalnym. Maksymalny idea\u0142 to 0… Nie powiem, z czym mi si\u0119 to kojarzy… A mia\u0142o nie by\u0107 polityki…<\/p>\n\n\n\n

    Marcin Nowak<\/strong><\/p>\n\n\n\n

    Ilustracja: Xander, <\/em>A 3D model of the One Ring<\/em><\/a>, Wikimedia Commons<\/em><\/p>\n\n\n\n

    PS Szanowni Pa\u0144stwo, kt\u00f3re z opisanych wy\u017cej matematycznych twor\u00f3w mo\u017cna zauwa\u017cy\u0107 w przypadku a) galerii przewijanych zdj\u0119\u0107, gdzie klikni\u0119cie myszk\u0105 przesuwa nas do nast\u0119pnego, a z ostatniego do pierwszego? b) arytmetyki modularnej, to znaczy dodawania i mno\u017cenia reszt z dzielenia przez 8? c) i przez 7?<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"

    Odrywaj\u0105c si\u0119 od niespokojnej, niepokoj\u0105cej sytuacji politycznej wybierzmy dzi\u015b jaki\u015b temat ca\u0142kowicie z ni\u0105 niezwi\u0105zany, najlepiej abstrakcyjny. Na przyk\u0142ad algebr\u0119.<\/p>\n","protected":false},"author":1,"featured_media":7395,"comment_status":"open","ping_status":"closed","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":{"footnotes":""},"categories":[241,4,55],"tags":[633,640,637,636,639,382,638,635,634],"_links":{"self":[{"href":"https:\/\/blog.polityka.pl\/naukowy\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/7383"}],"collection":[{"href":"https:\/\/blog.polityka.pl\/naukowy\/wp-json\/wp\/v2\/posts"}],"about":[{"href":"https:\/\/blog.polityka.pl\/naukowy\/wp-json\/wp\/v2\/types\/post"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/blog.polityka.pl\/naukowy\/wp-json\/wp\/v2\/users\/1"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/blog.polityka.pl\/naukowy\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=7383"}],"version-history":[{"count":11,"href":"https:\/\/blog.polityka.pl\/naukowy\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/7383\/revisions"}],"predecessor-version":[{"id":7405,"href":"https:\/\/blog.polityka.pl\/naukowy\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/7383\/revisions\/7405"}],"wp:featuredmedia":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/blog.polityka.pl\/naukowy\/wp-json\/wp\/v2\/media\/7395"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/blog.polityka.pl\/naukowy\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=7383"}],"wp:term":[{"taxonomy":"category","embeddable":true,"href":"https:\/\/blog.polityka.pl\/naukowy\/wp-json\/wp\/v2\/categories?post=7383"},{"taxonomy":"post_tag","embeddable":true,"href":"https:\/\/blog.polityka.pl\/naukowy\/wp-json\/wp\/v2\/tags?post=7383"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}