{"id":7559,"date":"2020-11-27T11:11:03","date_gmt":"2020-11-27T10:11:03","guid":{"rendered":"http:\/\/naukowy.blog.polityka.pl\/?p=7559"},"modified":"2020-11-27T18:34:08","modified_gmt":"2020-11-27T17:34:08","slug":"ktore-rownanie-mozna-rozwiazac","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/blog.polityka.pl\/naukowy\/2020\/11\/27\/ktore-rownanie-mozna-rozwiazac\/","title":{"rendered":"Kt\u00f3re r\u00f3wnanie mo\u017cna rozwi\u0105za\u0107?"},"content":{"rendered":"\n
\"\"<\/figure><\/div>\n\n\n\n

Zastanawia\u0142em si\u0119, czy w og\u00f3le ten temat porusza\u0107. Podejmowanie na popularnonaukowym blogu zagadnie\u0144 z drugiej po\u0142owy studi\u00f3w matematycznych mo\u017ce si\u0119 wydawa\u0107 szalone. Ale nie bardziej ni\u017c Szpital Narodowy przyjmuj\u0105cy z za\u0142o\u017cenia ludzi zdrowych czy walka z pandemi\u0105 za pomoc\u0105 flag. Spr\u00f3bujmy wi\u0119c zag\u0142\u0119bi\u0107 si\u0119 w nieziemsko trudny problem rozwi\u0105zywalno\u015bci r\u00f3wna\u0144.<\/p>\n\n\n\n\n\n\n\n

Rozwi\u0105zywali\u015bmy w szkole r\u00f3wnania wielomianowe, czyli takie, w kt\u00f3rych pytaj\u0105 o pierwiastki jakiego\u015b wielomianu. Ten ostatni to suma wyra\u017ce\u0144 typu co\u015b razy x do kt\u00f3rej\u015b pot\u0119gi<\/em> (jednomian\u00f3w), a jego pierwiastki to liczby, po podstawieniu kt\u00f3rych do wielomianu otrzymuje si\u0119 warto\u015b\u0107 0.<\/p>\n\n\n\n

Najprostszy przyk\u0142ad: r\u00f3wnanie pierwszego stopnia typu ax + b = 0<\/em>. Jak wyliczy\u0107 x<\/em>? Z wzoru -b\/a<\/em>. Podstawmy do wielomianu po lewej stronie r\u00f3wnania, a otrzymamy 0. W liceum rozwi\u0105zuje si\u0119 te\u017c r\u00f3wnania drugiego stopnia, czyli kwadratowe. Jak rozwi\u0105za\u0107 ax2<\/sup>\u00a0+ bx + c = 0<\/em>? Liczymy delt\u0119 r\u00f3wn\u0105 b2<\/sup> \u2013 4ac<\/em>. Dwa rozwi\u0105zania wyra\u017caj\u0105 si\u0119 przez \u2013 b doda\u0107 lub odj\u0105\u0107 pierwiastek z delty i to wszystko podzieli\u0107 przez 2a<\/em>. Proste? Proste, wystarczy podstawi\u0107 do wzoru. Podobne, ale znacznie bardziej rozbudowane wzory pozwalaj\u0105 wyliczy\u0107 pierwiastki r\u00f3wnania trzeciego stopnia (a razy x do trzeciej itd.<\/em>) i czwartego. Um\u0119czy si\u0119 cz\u0142owiek, ale obliczy.<\/p>\n\n\n\n

Pr\u00f3bowano wyprowadzi\u0107 podobne wzory w przypadku r\u00f3wna\u0144 stopnia pi\u0105tego. I klops. Dekady mija\u0142y, nic nie uda\u0142o si\u0119 wyprowadzi\u0107. Grubo ponad wiek stara\u0144 min\u0105\u0142, gdy m\u0142ody francuski matematyk Ewaryst Galois pokaza\u0142, dlaczego. Zanim zgin\u0105\u0142 w absurdalnym pojedynku o kobiet\u0119, zd\u0105\u017cy\u0142 stworzy\u0107 now\u0105 dziedzin\u0119 matematyki.<\/p>\n\n\n\n

Ale najpierw przypomnijmy sobie tekst, w kt\u00f3rym wprowadzi\u0142em pewne podstawowe poj\u0119cia z teorii grup i cia\u0142<\/a>. Przydadz\u0105 si\u0119 dzisiaj.<\/p>\n\n\n\n

Rozpatrzmy r\u00f3wnanie wielomianowe: po lewej stronie znaku r\u00f3wno\u015bci suma wyra\u017ce\u0144 jakie\u015b a razy x do jakiej\u015b pot\u0119gi naturalnej, po prawej<\/em>\u00a00, w kt\u00f3rym wszystkie a<\/em> nale\u017c\u0105 do danego cia\u0142a, dla prostoty we\u017amy cia\u0142o liczb wymiernych. Przypominam: cia\u0142o = zbi\u00f3r z czterema podstawowymi dzia\u0142aniami (dodawanie, odejmowanie, mno\u017cenie, dzielenie). Mo\u017ce si\u0119 okaza\u0107, \u017ce – jak w r\u00f3wnaniu stopnia pierwszego – poszukiwany pierwiastek mo\u017cna otrzyma\u0107 za pomoc\u0105 czterech podstawowych dzia\u0142a\u0144 ze wsp\u00f3\u0142czynnik\u00f3w r\u00f3wnania. Matematyk powie, \u017ce pierwiastek ten nale\u017cy do tego samego cia\u0142a. We\u017amy r\u00f3wnanie x2<\/sup> \u2013 2 = 0<\/em>. Pierwiastkami r\u00f3wnania s\u0105 liczby pierwiastek z 2<\/em> i minus pierwiastek z 2<\/em>. Nie mo\u017cna ich otrzyma\u0107 przez cztery podstawowe dzia\u0142ania z \u017cadnej liczby ca\u0142kowitej. Pierwiastek r\u00f3wnania nie nale\u017cy do cia\u0142a, z kt\u00f3rego wzi\u0119te s\u0105 jego wsp\u00f3\u0142czynniki.<\/p>\n\n\n\n

Mo\u017cemy natomiast do\u0142\u0105czy\u0107 go do cia\u0142a (rozszerzy\u0107 cia\u0142o). Otrzymane rozszerzenie to cia\u0142o, do kt\u00f3rego b\u0119d\u0105 si\u0119 zalicza\u0142y wszystkie liczby otrzymywane przez dodawanie, odejmowanie, mno\u017cenie i dzielenie liczb ca\u0142kowitych i pierwiastka z dw\u00f3ch. Uczenie m\u00f3wimy o nim cia\u0142o rozk\u0142adu wielomianu<\/em>.<\/p>\n\n\n\n

Wprowad\u017amy teraz kolejne gro\u017anie brzmi\u0105ce poj\u0119cia. Homomorfizm, zwykle oznaczany \u03c6, oznacza odwzorowanie, kt\u00f3re zachowuje wyniki dzia\u0142a\u0144. Przyk\u0142adowo: homomorfizm sumy a + b<\/em> jest sum\u0105 homomorfizmu a + homomorfizmu b: \u03c6(a+b) = \u03c6(a) + \u03c6(b).<\/em> Przyk\u0142adem homomorfizmu jest reszta z dzielenia przez 7: suma reszt jest reszt\u0105 sumy (prosz\u0119 sprawdzi\u0107). Tak samo z mno\u017ceniem. Poniewa\u017c element neutralny dodany do dowolnego elementu zachowuje go, homomorfizmem tego elementu te\u017c musi by\u0107 element neutralny.<\/p>\n\n\n\n

Automorfizm to homomorfizm, kt\u00f3ry nie do\u015b\u0107, \u017ce wypluwa wyniki z tego samego zbioru, z kt\u00f3rego pobiera elementy, to jeszcze dzia\u0142a w obie strony (dzielenie przez 7 ju\u017c tych w\u0142asno\u015bci nie posiada).<\/p>\n\n\n\n

Poniewa\u017c dowolny automorfizm cia\u0142a liczb wymiernych nie zmienia element\u00f3w neutralnych 0 ani 1, to nie zmienia 2 (zachowuje wyniki dzia\u0142a\u0144, a 1 + 1 = 2<\/em>) i \u017cadnej liczby ca\u0142kowitej. A skoro ka\u017cd\u0105 liczb\u0119 wymiern\u0105 mo\u017cna przedstawi\u0107 jako iloraz liczb ca\u0142kowitych, to nie zmienia liczb wymiernych. Dowiedli\u015bmy, \u017ce dowolny automorfizm cia\u0142a liczb wymiernych jest identyczno\u015bci\u0105 (dla ka\u017cdego wymiernego x<\/em> mamy \u03c6(x) = x<\/em>). Bardzo nudne odwzorowanie.<\/p>\n\n\n\n

Zastosujmy nasz automorfizm \u03c6<\/em> do r\u00f3wnania x2<\/sup> \u2013 2 = 0<\/em>. 0<\/em> i 2<\/em> si\u0119 nie zmieni\u0105. x<\/em> nie jest liczb\u0105 wymiern\u0105, mo\u017ce si\u0119 zmieni\u0107. Ale w ten spos\u00f3b, \u017ce \u03c6(x)<\/em>\u00a0podniesione do kwadratu musi da\u0107 2<\/em>. Mamy wi\u0119c dwa mo\u017cliwe automorfizmy: ten niezmieniaj\u0105cy absolutnie nic i ten zmieniaj\u0105cy znak przy pierwiastku z dw\u00f3ch (bo \u2013 pierwiastek z 2<\/em> te\u017c spe\u0142nia r\u00f3wnanie). Ta sama sztuczka dzia\u0142a dla ka\u017cdego r\u00f3wnania wielomianowego: automorfizm przekszta\u0142ca jego pierwiastki niewymierne w inne jego pierwiastki niewymierne.<\/p>\n\n\n\n

I tutaj w\u0142a\u015bnie uwidacznia si\u0119 geniusz Galois. We\u017amy zbi\u00f3r automorfizm\u00f3w danego cia\u0142a rozk\u0142adu wielomianu. Mo\u017cemy wzi\u0105\u0107 dowolny element, od niego automorfizm \u03c61<\/em>, a potem od wyniku automorfizm \u03c62<\/em>. Mo\u017cemy wzi\u0105\u0107 tyle automorfizm\u00f3w, ile nam si\u0119 podoba, i je z\u0142o\u017cy\u0107<\/em>. Mamy wi\u0119c pewne dzia\u0142anie przypominaj\u0105ce dodawanie. Jest ono \u0142\u0105czne jak zwyk\u0142e dodawanie, istnieje element neutralny (automorfizm identyczno\u015bciowy), a ka\u017cdy automorfizm ma automorfizm do\u0144 odwrotny. Zbi\u00f3r ten tworzy grup\u0119.<\/p>\n\n\n\n

Galois zauwa\u017cy\u0142, \u017ce zamiast rozpatrywa\u0107 wielkie i trudne cia\u0142a, wystarczy rozpatrywa\u0107 grupy ich automorfizm\u00f3w, nazywane jego nazwiskiem. Ka\u017cdy element takiej grupy odpowiada po prostu zmianie kolejno\u015bci pierwiastk\u00f3w r\u00f3wnania. Dok\u0142adnie tak, jakby\u015bmy zmieniali kolejno\u015b\u0107 element\u00f3w w dowolnym innym ci\u0105gu o tej samej liczbie element\u00f3w. Wobec tego liczno\u015b\u0107 grupy odpowiada liczbie mo\u017cliwych kombinacji. Jest to liczba sko\u0144czona i zwykle niezbyt du\u017ca.<\/p>\n\n\n\n

M\u0142ody geniusz na tym nie poprzesta\u0142. Poda\u0142, kiedy istnieje wz\u00f3r na pierwiastki wielomianu. Ot\u00f3\u017c grupa musi mie\u0107 pewne charakterystyczne cechy (by\u0107 rozwi\u0105zalna). Mianowicie musi istnie\u0107 ci\u0105g coraz mniejszych grup (podgrup) od naszej pierwotnej grupy Galois a\u017c do grupy jednoelementowej. Ka\u017cda kolejna musi by\u0107 dzielnikiem normalnym pierwszej (czyli dla dowolnych element\u00f3w g<\/em> z wi\u0119kszej grupy i h<\/em> z mniejszej, je\u015bli we\u017amiemy g<\/em>, dodamy h<\/em> i odejmiemy to g<\/em>, to wynik musi dalej nale\u017ce\u0107 do podgrupy). Kolejny warunek jest jeszcze trudniejszy. Skoro co\u015b jest dzielnikiem, to mo\u017cna przez to dzieli\u0107. Je\u015bli podzielimy grup\u0119 przez jej dzielnik normalny, otrzymamy inn\u0105 grup\u0119 (np. grup\u0119 liczb ca\u0142kowitych z dodawaniem dzielimy przez grup\u0119 liczb podzielnych przez 7 i otrzymujemy grup\u0119 zawieraj\u0105c\u0105 reszty z dzielenia przez 7). Otrzymana tzw. grupa ilorazowa musi by\u0107 przemienna.<\/p>\n\n\n\n

Wtedy ka\u017cdy pierwiastek r\u00f3wnania nale\u017cy do tzw. rozszerzenia pierwiastnikowego, kt\u00f3rego ka\u017cdy element mo\u017cna wyrazi\u0107 przez elementy wyj\u015bciowego cia\u0142a, cztery zwyk\u0142e dzia\u0142ania i pierwiastkowanie. A wi\u0119c istnieje wz\u00f3r na dany pierwiastek r\u00f3wnania. Okazuje si\u0119, \u017ce grupa opisuj\u0105ca tasowanie dw\u00f3ch, trzech, czterech element\u00f3w jest z konieczno\u015bci rozwi\u0105zalna. Grupa mieszaj\u0105ca pi\u0119\u0107 element\u00f3w – ju\u017c nie.<\/p>\n\n\n\n

Straszne? By\u0107 mo\u017ce. Ale i na sw\u00f3j spos\u00f3b pi\u0119kne. Mam nadziej\u0119, \u017ce Pa\u0144stwo te\u017c to pi\u0119kno zobacz\u0105. W przeciwnym razie mog\u0142oby si\u0119 okaza\u0107, \u017ce to jednak moje szale\u0144stwo… Nawet je\u015bli – to przynajmniej nie wyda\u0142em 70 mln na…<\/p>\n\n\n\n

Marcin Nowak<\/strong><\/p>\n\n\n\n

Ilustracja: portret Ewarysta Galois, autor nieznany, ok. 1865, za <\/em>Wikimedia Commons<\/em><\/a>.<\/p>\n\n\n\n

PS Uprzedzaj\u0105c pytania i komentarze – tak, tekst omawia zagadnienie w ogromnym uproszczeniu.<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"

Zastanawia\u0142em si\u0119, czy w og\u00f3le ten temat porusza\u0107. Podejmowanie na popularnonaukowym blogu zagadnie\u0144 z drugiej po\u0142owy studi\u00f3w matematycznych mo\u017ce si\u0119 wydawa\u0107 szalone. Ale nie bardziej ni\u017c Szpital Narodowy przyjmuj\u0105cy z za\u0142o\u017cenia ludzi zdrowych czy walka z pandemi\u0105 za pomoc\u0105 flag. Spr\u00f3bujmy wi\u0119c zag\u0142\u0119bi\u0107 si\u0119 w nieziemsko trudny problem rozwi\u0105zywalno\u015bci r\u00f3wna\u0144.<\/p>\n","protected":false},"author":1,"featured_media":0,"comment_status":"open","ping_status":"closed","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":{"footnotes":""},"categories":[241,11],"tags":[633,678,382,679,635,677,634],"_links":{"self":[{"href":"https:\/\/blog.polityka.pl\/naukowy\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/7559"}],"collection":[{"href":"https:\/\/blog.polityka.pl\/naukowy\/wp-json\/wp\/v2\/posts"}],"about":[{"href":"https:\/\/blog.polityka.pl\/naukowy\/wp-json\/wp\/v2\/types\/post"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/blog.polityka.pl\/naukowy\/wp-json\/wp\/v2\/users\/1"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/blog.polityka.pl\/naukowy\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=7559"}],"version-history":[{"count":17,"href":"https:\/\/blog.polityka.pl\/naukowy\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/7559\/revisions"}],"predecessor-version":[{"id":7587,"href":"https:\/\/blog.polityka.pl\/naukowy\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/7559\/revisions\/7587"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/blog.polityka.pl\/naukowy\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=7559"}],"wp:term":[{"taxonomy":"category","embeddable":true,"href":"https:\/\/blog.polityka.pl\/naukowy\/wp-json\/wp\/v2\/categories?post=7559"},{"taxonomy":"post_tag","embeddable":true,"href":"https:\/\/blog.polityka.pl\/naukowy\/wp-json\/wp\/v2\/tags?post=7559"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}