![\"\"](\"\/wp-content\/uploads\/2022\/06\/Real_numbers.svg_.png\")
<\/p>\n<\/p>\n
Pami\u0119tamy ze szko\u0142y kolejne zbiory liczb: naturalnych, ca\u0142kowitych, wymiernych. Mi\u0142o, przyjemnie, logicznie. A potem nie wiedzie\u0107 czemu zbi\u00f3r liczb rzeczywistych. B\u0119dziecie ich Pa\u0144stwo broni\u0107? A u\u017cywali\u015bcie ich kiedykolwiek?<\/p>\n
<\/p>\n
Nauk\u0119 matematyki zaczynamy zwykle od liczb naturalnych N<\/strong> (na rysunku Natural Numbers<\/em>), kt\u00f3rych u\u017cywamy po prostu do liczenia. Definiuje si\u0119 je nawet fachowo dosy\u0107 prosto (tzw. Aksjomatyka Peana): wprowadzamy poj\u0119cia liczby 0 i liczby S nast\u0119pnej po danej liczbie (np. 3 jest nast\u0119pnikiem 2, 3 = S(2)<\/em>), przy czym ka\u017cda liczba ma nast\u0119pnik, 0 nie jest nast\u0119pnikiem \u017cadnej liczby i je\u015bli liczby s\u0105 r\u00f3wne, to ich nast\u0119pniki te\u017c. Zbi\u00f3r po pierwsze zawieraj\u0105cy 0 i po drugie maj\u0105cy tak\u0105 w\u0142a\u015bciwo\u015b\u0107, \u017ce je\u015bli zawiera liczb\u0119 a<\/em>, to zawiera te\u017c jej nast\u0119pnik S(a), zawiera wszystkie liczby naturalne. To tzw. aksjomat indukcji \u2013 m\u00f3wi on, \u017ce nasz zbi\u00f3r zawiera 0, a skoro zawiera 0, to zawiera 1, a skoro zawiera 1, to i 2 \u2013 i tak do niesko\u0144czono\u015bci, by nie u\u017cy\u0107 stosowanego przez niekt\u00f3rych prawnik\u00f3w ad mortum defecatum<\/em>.<\/p>\n Jak teraz zdefiniowa\u0107 dodawanie? Dla dowolnej liczby naturalnej a<\/em> suma a + 0<\/em> to dalej a<\/em>, natomiast a<\/em> + nast\u0119pnik b<\/em> to nast\u0119pnik sumy a + b<\/em>: (a + S(b) = S(a+b))<\/em>. A wi\u0119c a + 1 to a + S(0) = S(a+0) = S(a)<\/em>. Dodawanie 1 oznacza wzi\u0119cie nast\u0119pnika danej liczby, w ten sam spos\u00f3b dodawanie 2 oznacza wzi\u0119cie nast\u0119pnika nast\u0119pnika itd. Z mno\u017ceniem podobnie: a razy 0 daje 0, a razy S(b) daje a razy b doda\u0107 a: (a*S(b) = a*b + a)<\/em>. Proste.<\/p>\n To teraz zapytajmy, jak\u0105 liczb\u0119 nale\u017cy doda\u0107 do a, \u017ceby otrzyma\u0107 c? Skoro a + x = c,<\/em> to x otrzymamy, odejmuj\u0105c a<\/em> od c<\/em>. W ten spos\u00f3b dochodzimy do odejmowania. Mo\u017cemy teraz zapyta\u0107, co je\u015bli c<\/em> jest mniejsze od a<\/em>? Jak\u0105 liczb\u0119 doda\u0107 do 5, by otrzyma\u0107 3? Dlatego wprowadzono, do\u015b\u0107 p\u00f3\u017ano, liczby ujemne. Jak je zdefiniowa\u0107? Skoro chodzi nam o wynik odejmowania c \u2013 a<\/em>, gdzie c<\/em> jest mniejsze od a<\/em>, to liczb\u0119 t\u0105 mo\u017cemy zdefiniowa\u0107 formalnie jako w\u0142a\u015bnie t\u0105 par\u0119 liczb (c,a)<\/em>. Jak zdefiniowa\u0107 dodawanie takich par? Oczywi\u015bcie (a-b) + (c-d) = (a+c) – (b+d)<\/em>. Z mno\u017ceniem jest trudniej, ale po chwili namys\u0142u piszemy (a-b)*(c-d) = (ac+bd) – (bc+ad)<\/em>.<\/p>\n No dobrze, ale zauwa\u017camy, \u017ce liczba ujemna 2-4 jest r\u00f3wna 6-8. A wi\u0119c mo\u017cemy uto\u017csami\u0107 ze sob\u0105 wszystkie pary wyra\u017caj\u0105ce t\u0105 sam\u0105 r\u00f3\u017cnic\u0119 (matematycy nazywaj\u0105 to klas\u0105 abstrakcji). Mo\u017cna te\u017c um\u00f3wi\u0107 si\u0119, by pisa\u0107 np. zamiast 2-4 itd. zawsze 0-2, w sumie 0 mo\u017cna wywali\u0107, przecie\u017c wiadomo, \u017ce 0 to nic, i pisa\u0107 samo \u20132. Zauwa\u017camy dalej, \u017ce -a + a<\/em> daje 0, wi\u0119c -a jest przeciwno\u015bci\u0105 a, i tak dzi\u0119ki wprowadzeniu liczb ujemnych mo\u017cemy odejmowanie zdefiniowa\u0107 jako dodawanie liczby przeciwnej. Tak otrzymali\u015bmy zbi\u00f3r liczb ca\u0142kowitych, Z <\/strong>(Integers).<\/em> Poniewa\u017c ka\u017cd\u0105 liczb\u0119 naturaln\u0105 n<\/em> mo\u017cna przedstawi\u0107 jako pewn\u0105 par\u0119 n-0<\/em>, zbi\u00f3r liczb ca\u0142kowitych obejmuje zbi\u00f3r liczb naturalnych. Jednak liczb ca\u0142kowitych jest dok\u0142adnie tyle, co naturalnych. Je\u015bli elementy danego zbioru mo\u017cemy u\u0142o\u017cy\u0107 w ci\u0105g, to ka\u017cdemu z nich mo\u017cna przypisa\u0107 pewien numer, a wi\u0119c liczb\u0119 naturaln\u0105. Skoro dla ka\u017cdego znajdzie si\u0119 jedna liczba naturalna (i dla ka\u017cdego inna), to element\u00f3w jest tyle samo, co liczb naturalnych. Ci\u0105giem b\u0119dzie cho\u0107by 0, 1, -1, 2, -2…<\/p>\n Tak samo jak z odejmowaniem mo\u017cemy post\u0105pi\u0107 z dzieleniem. Przez jak\u0105 liczb\u0119 nale\u017cy pomno\u017cy\u0107 a<\/em>, by otrzyma\u0107 c<\/em>? Przez c\/a<\/em>. Zauwa\u017camy, \u017ce pytanie ma sens, o ile a<\/em> nie jest r\u00f3wne 0, bo 0 pomno\u017cone przez cokolwiek i tak da 0. To c\/a<\/em> rozumiemy jako dzielenie c<\/em> przez a<\/em> i tak samo mo\u017cemy spyta\u0107 o wynik dzielenia, gdy c<\/em> nie jest wielokrotno\u015bci\u0105 a<\/em>. Tak wprowadzamy liczby wymierne jako kolejne, inaczej rozumiane pary liczb a\/b<\/em>. Definiujemy dzia\u0142ania (tym razem mno\u017cenie idzie \u0142atwo: a\/b<\/em> razy c\/d<\/em> to po prostu ac \/ bd<\/em>, zauwa\u017camy przy okazji, \u017ce a\/b<\/em> b\u0119dzie r\u00f3wne ka \/ kb<\/em> (matematycy znowu b\u0119d\u0105 gada\u0107 o klasach abstrakcji), z dodawaniem radzimy sobie, zauwa\u017caj\u0105c, \u017ce a\/b + c\/d = (ad + bc) \/ bd<\/em>. Otrzymane w ten spos\u00f3b liczby nazywamy wymiernymi Q<\/strong> (jak ang. quotient<\/em>, na rysunku Rational Numbers<\/em>). Jako \u017ce ka\u017cda liczba ca\u0142kowita c = c\/1<\/em>, zbi\u00f3r Z<\/strong> zawiera si\u0119 w Q<\/strong>.<\/p>\n Szko\u0142a proponuje dalej fascynuj\u0105cy przeskok do liczb rzezcywstych R <\/strong>(Real Numbers<\/em>). Po co? Ano \u2013 t\u0142umaczy \u2013 istniej\u0105 liczby niewymierne, i ju\u017c staro\u017cytni Grecy to wiedzieli (a nawet pr\u00f3bowali ukry\u0107, jako \u017ce burzy\u0142o to ich obraz \u015bwiata). Przek\u0105tna kwadratu o boku 1 jest liczb\u0105 niewymiern\u0105, d\u0142ugo\u015b\u0107 okr\u0119gu o promieniu 1 jest niewymierna. Wracaj\u0105c do r\u00f3wna\u0144 \u2013 nie potrafimy dalej rozwi\u0105za\u0107 x*x = 2<\/em>. I dlatego potrzebujemy liczby rzeczywistych \u2013<\/em> m\u00f3wi szko\u0142a. Nie potrafimy ich zazwyczaj zapisa\u0107, ale pok\u0142o\u0144cie im si\u0119, s\u0105 potrzebne<\/em>.<\/p>\n A jak je zdefiniowa\u0107? Mo\u017cna to zrobi\u0107, wszak matematycy ich u\u017cywaj\u0105. Cho\u0107by za pomoc\u0105 przekroj\u00f3w Dirichleta. Opis, jak to zrobi\u0107, zaj\u0105\u0142by pewnie tyle, co ca\u0142y ten wpis. Nie da si\u0119 tego zrobi\u0107 w \u017caden prosty, intuicyjny spos\u00f3b. A czy potrafimy ich u\u017cywa\u0107? Dodawa\u0107, mno\u017cy\u0107? Do\u015b\u0107 s\u0142abo, skoro wi\u0119kszo\u015bci z nich nie jeste\u015bmy w stanie zapisa\u0107 nawet. Tak, jest ich znacznie wi\u0119cej ni\u017c liczb naturalnych czy wymiernych (tego ju\u017c dzieciom w szkole nie powiedz\u0105). A pozwalaj\u0105 chocia\u017c na rozwi\u0105zanie wszystkich r\u00f3wna\u0144? A guzik, we\u017amy x * x = -1<\/em>.<\/p>\n Ale ich u\u017cywamy… Chwila, jakich liczb niewymiernych u\u017cywamy? Pierwiastk\u00f3w \u2013 istotnie. Ponadto \u03c0<\/em> i e<\/em>. To wszystko. Dwie ostatnie liczby mo\u017cemy po prostu do\u0142\u0105czy\u0107 do liczb wymiernych. To si\u0119 fachowo nazywa rozszerzeniem cia\u0142a (czyli zbioru z dwoma dzia\u0142aniami o w\u0142a\u015bciwo\u015bciach dodawania i mno\u017cenia<\/a>). Kto\u015b powie: w logarytmie naturalnym ich u\u017cywamy, a tego rozszerzenie cia\u0142a nie rozwi\u0105\u017ce. W teorii istotnie, w praktyce u\u017cywamy przybli\u017ce\u0144 wymiernych.<\/p>\n Co za\u015b z niesko\u0144czon\u0105 liczb\u0105 pierwiastk\u00f3w? Istniej\u0105 tzw. rozszerzenia algebraiczne, a wi\u0119c rozszerzenie o liczb\u0119 b\u0119d\u0105c\u0105 rozwi\u0105zaniem (pierwiastkiem) pewnego wielomianu o wsp\u00f3\u0142czynnikach z tego cia\u0142a. Tylko \u017ce rozszerzenie cia\u0142a nie musi by\u0107 sko\u0144czone. Istnieje w ko\u0144cu domkni\u0119cie algebraiczne danego cia\u0142a, b\u0119d\u0105ce jego rozszerzeniem o wszystkie pierwiastki wszystkich takich wielomian\u00f3w.<\/p>\n Elementy tego\u017c cia\u0142a nazywamy liczbami algebraicznymi. Zawieraj\u0105 si\u0119 tu wszystkie pierwiastki we wszelkich kombinacjach, w tym tak\u017ce liczba b\u0119d\u0105ca rozwi\u0105zaniem r\u00f3wnania x*x = -1<\/em> zwana i<\/em>. Po wprowadzeniu kilku dodatkowych za\u0142o\u017ce\u0144 dalej potrafimy poda\u0107 zasady wykonywania podstawowych dzia\u0142a\u0144. Dow\u00f3d by\u0142by nieco d\u0142u\u017cszy, ale liczb algebraicznych jest tyle samo co naturalnych (bo i samych wielomian\u00f3w o wsp\u00f3\u0142czynnikach wymiernych jest tyle samo). \u017badnych paradoks\u00f3w niesko\u0144czono\u015bci, cho\u0107 niekt\u00f3rych liczb algebraicznych zapisa\u0107 prosto nie umiemy (np. rozwi\u0105zania x^5 + x = -1<\/em>).<\/p>\n Tutaj jednak kto\u015b obeznany z matematyk\u0105 powie: tylko \u017ce bez ci\u0105g\u0142o\u015bci zbioru liczb rzeczywistych nie sformu\u0142ujemy rachunku r\u00f3\u017cniczkowego i ca\u0142kowego. By\u0107 mo\u017ce. Ale zagadnienia te wymagaj\u0105 tylko istnienia liczb rzeczywistych, nie za\u015b jakiegokolwiek ich u\u017cycia. Ponadto kto dzisiaj uczy ca\u0142ek w szko\u0142ach? Pochodnej wi\u0119kszo\u015b\u0107 uczni\u00f3w nie zazna. Po co wi\u0119c m\u0119czy\u0107 dzieci, zw\u0142aszcza w podstaw\u00f3wce, liczbami rzeczywistymi? A z drugiej strony czemu nie, od kiedy szko\u0142a uczy rzeczy przydatnych?<\/p>\n
![Wikimedia Commons<\/a>, w domenie publicznej<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"Pami\u0119tamy ze szko\u0142y kolejne zbiory liczb: naturalnych, ca\u0142kowitych, wymiernych. Mi\u0142o, przyjemnie, logicznie. A potem nie wiedzie\u0107 czemu zbi\u00f3r liczb rzeczywistych. B\u0119dziecie ich Pa\u0144stwo broni\u0107? A u\u017cywali\u015bcie ich kiedykolwiek?<\/p>\n","protected":false},"author":1,"featured_media":0,"comment_status":"open","ping_status":"closed","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":{"footnotes":""},"categories":[241,4],"tags":[384,404,939,388,938,937,940,382],"_links":{"self":[{"href":"https:\/\/blog.polityka.pl\/naukowy\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/8541"}],"collection":[{"href":"https:\/\/blog.polityka.pl\/naukowy\/wp-json\/wp\/v2\/posts"}],"about":[{"href":"https:\/\/blog.polityka.pl\/naukowy\/wp-json\/wp\/v2\/types\/post"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/blog.polityka.pl\/naukowy\/wp-json\/wp\/v2\/users\/1"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/blog.polityka.pl\/naukowy\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=8541"}],"version-history":[{"count":3,"href":"https:\/\/blog.polityka.pl\/naukowy\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/8541\/revisions"}],"predecessor-version":[{"id":8547,"href":"https:\/\/blog.polityka.pl\/naukowy\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/8541\/revisions\/8547"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/blog.polityka.pl\/naukowy\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=8541"}],"wp:term":[{"taxonomy":"category","embeddable":true,"href":"https:\/\/blog.polityka.pl\/naukowy\/wp-json\/wp\/v2\/categories?post=8541"},{"taxonomy":"post_tag","embeddable":true,"href":"https:\/\/blog.polityka.pl\/naukowy\/wp-json\/wp\/v2\/tags?post=8541"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}](\"https:\/\/commons.wikimedia.org\/wiki\/File:Real_numbers.svg\"){kind=link}