{"id":8674,"date":"2022-09-24T11:38:07","date_gmt":"2022-09-24T09:38:07","guid":{"rendered":"http:\/\/naukowy.blog.polityka.pl\/?p=8674"},"modified":"2022-09-24T15:34:50","modified_gmt":"2022-09-24T13:34:50","slug":"penrose-podziwiam-nie-polecam","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/blog.polityka.pl\/naukowy\/2022\/09\/24\/penrose-podziwiam-nie-polecam\/","title":{"rendered":"Penrose. Podziwiam, nie polecam"},"content":{"rendered":"\n
\"\"<\/figure><\/div>\n\n\n\n

Czytam w\u0142a\u015bnie ksi\u0105\u017ck\u0119 wybitnego fizyka Rogera Penrose\u2019a „Moda, wiara i fantazja w nowej fizyce Wszech\u015bwiata”, i cho\u0107 jest bardzo ciekawa, trudno mi j\u0105 poleci\u0107 szerszemu gronu odbiorc\u00f3w.<\/p>\n\n\n\n\n\n\n\n

Penrose jest bez w\u0105tpienia fizykiem wybitnym. Geniuszem, noblist\u0105 znanym z tzw. twierdzenia o osobliwo\u015bciach opublikowanego ze s\u0142awnym Stephenem Hawkingiem. Jednak popularyzatorem nauki pozostaje w moim odczuciu nie najlepszym.<\/p>\n\n\n\n

Wspomniana ksi\u0105\u017cka jest bardzo ciekawa i do\u015b\u0107 kontrowersyjna, zadaje k\u0142am popularnym obecnie teoriom fizycznym. Krytykuje teori\u0119 strun, obowi\u0105zuj\u0105c\u0105 interpretacj\u0119 mechaniki kwantowej, wreszcie inflacj\u0119 kosmiczn\u0105. Prezentuje wa\u017cne argumenty w ciekawy spos\u00f3b, niemniej do\u015b\u0107 ci\u0119\u017cko si\u0119 to czyta. Mam wra\u017cenie, \u017ce autor nie do ko\u0144ca si\u0119 zdecydowa\u0142, dla kogo pisze.<\/p>\n\n\n\n

Ka\u017cdy wyk\u0142adowca wie, \u017ce spos\u00f3b przekazywania informacji nale\u017cy uzale\u017cni\u0107 od odbiorcy. Inaczej rozmawia si\u0119 z koleg\u0105 specjalist\u0105, inaczej ze studentem, jeszcze inaczej z zainteresowanym laikiem czy wr\u0119cz dzieckiem.<\/p>\n\n\n\n

Tutaj w\u0142a\u015bnie mam z Penrose’m problem. Fizyk matematyczny, z wykszta\u0142cenia matematyk, pisze bardzo nier\u00f3wno. Raz przera\u017ca bardzo zaawansowan\u0105 matematyk\u0105, kiedy indziej unika rzeczy stosunkowo prostych.<\/p>\n\n\n\n

Kilka razy powtarza, \u017ce dla u\u0142atwienia nie b\u0119dzie porusza\u0107 pochodnych. Co prawda na pochodnych opiera si\u0119 prawie ca\u0142a dzisiejsza fizyka, ale Penrose ma lito\u015b\u0107 dla czytelnika. I zaraz potem omawia wi\u0105zki.<\/p>\n\n\n\n

Co w tym dziwnego? Poj\u0119cie pochodnej powinien zrozumie\u0107 ka\u017cdy licealista z mat-fizu. C\u00f3\u017c to za dziwo – ta pochodna? We\u017amy pewn\u0105 funkcj\u0119 na p\u0142aszczy\u017anie kartezja\u0144skiej y=f(x)<\/em>. Teraz we\u017amy pewien punkt P<\/em> z wykresu tej funkcji i zastan\u00f3wmy si\u0119, jak szybko w tym punkcie funkcja ro\u015bnie lub maleje. Przyk\u0142adowo: je\u015bli wykres obrazuje zmian\u0119 drogi wzgl\u0119dem czasu, pytamy o chwilow\u0105 pr\u0119dko\u015b\u0107. A wi\u0119c startuj\u0105c od punktu P<\/em>, bierzemy pewien niewielki odcinek \u0394x<\/em>, patrzymy, o ile na tym odcinku wzros\u0142a (b\u0105d\u017a zmala\u0142a) funkcja f<\/em> (\u0394f<\/em>) i dzielimy drugie przez pierwsze (patrz grafika powy\u017cej). Je\u015bli we\u017amiemy wystarczaj\u0105co ma\u0142e \u0394x<\/em> (matematycy oznaczaj\u0105 je przez dx<\/em>, gdzie d<\/em> to taka niesko\u0144czenie ma\u0142a \u0394<\/em>), to otrzymany iloraz b\u0119dzie dowolnie bliski rzeczywistemu tempu wzrostu funkcji. Graficznie mo\u017cemy w tym punkcie wykre\u015bli\u0107 prost\u0105 dotykaj\u0105c\u0105 wykresu funkcji w tym w\u0142a\u015bnie punkcie, ale jej nie przecinaj\u0105c\u0105 (tzw. styczn\u0105). Jak pami\u0119tamy ze szko\u0142y, b\u0119dzie ona prost\u0105 o wzorze ax + b<\/em>. Wyst\u0119puj\u0105ce w tym wzorze a<\/em> to w\u0142a\u015bnie pochodna naszej funkcji f<\/em> w tym punkcie. Now\u0105 funkcj\u0119 f\u2019<\/em>, kt\u00f3ra dla ka\u017cdego x<\/em> przyporz\u0105dkowuje warto\u015b\u0107 pochodnej f<\/em> w tym punkcie, nazywamy pochodn\u0105 tej\u017ce funkcji. Oznaczamy j\u0105 te\u017c jako f\u2019(x) = df\/dx<\/em>.<\/p>\n\n\n\n

Trudne? Niekoniecznie. We\u017amy funkcj\u0119 liniow\u0105 f(x) = ax + b<\/em>. Styczna b\u0119dzie w ka\u017cdym punkcie identyczna z wyj\u015bciow\u0105 funkcj\u0105, wobec tego pochodna f\u2019(x)<\/em> wynosi dla ka\u017cdego x<\/em> tyle samo, a<\/em>.<\/p>\n\n\n\n

We\u017amy inny przypadek. Funkcja wyk\u0142adnicza a do pot\u0119gi x<\/em> (f(x) = a^x<\/em>) okre\u015bla chocia\u017cby wzrost bakterii na szalce w pocz\u0105tkowej fazie (czy rozprzestrzenianie si\u0119 koronawirusa). Wzrost jest tutaj w ka\u017cdym momencie wprost proporcjonalny do liczby np. bakterii w tej chwili. A wi\u0119c f\u2019(x) = f(x) razy pewna sta\u0142a c<\/em>. Od czego mo\u017ce zale\u017ce\u0107 c<\/em>? Od podstawy a<\/em>. Ale czy w takim razie mo\u017cna wybra\u0107 tak\u0105 podstaw\u0119 a<\/em>, by nasza sta\u0142a c<\/em> by\u0142a r\u00f3wna 1 i by mo\u017cna by\u0142o j\u0105 z r\u00f3wnania wywali\u0107? Pewnie. Wynosi mi\u0119dzy 2 a 3 i jest liczb\u0105 niewymiern\u0105 (i niealgebraiczn\u0105, tzn. nie jest rozwi\u0105zaniem \u017cadnego r\u00f3wnania wielomianowego o wsp\u00f3\u0142czynnikach wymiernych). Hm, nie idzie jej inaczej prosto zapisa\u0107, wi\u0119c trzeba by j\u0105 jako\u015b nazwa\u0107… Macie jaki\u015b pomys\u0142? Jak by j\u0105 nazwa\u0107? Yyyy… eee…<\/em><\/p>\n\n\n\n

Y<\/em> kojarzy si\u0119 z r\u00f3wnaniami, wi\u0119c lepiej nie, ale e mo\u017ce zosta\u0107. A wi\u0119c funkcja f(x) = e^x<\/em> jest r\u00f3wna w\u0142asnej pochodnej. (No dobrze, oznaczenie e<\/em> wybrano, bo kojarzy si\u0119 z wielkim matematykiem Eulerem. Jest to ta sama liczba, kt\u00f3r\u0105 matematycy definiuj\u0105 cz\u0119sto w podr\u0119cznikach jako granic\u0119 (1+1\/n)^n<\/em>, gdy n<\/em> zmierza do niesko\u0144czono\u015bci. Ka\u017cdy ma swoje dziwactwa).<\/p>\n\n\n\n

To teraz utrudnienie: licz\u0105c pochodn\u0105 funkcji z\u0142o\u017conej g(f(x))<\/em>, mno\u017cymy pochodn\u0105 g<\/em> przez pochodn\u0105 f<\/em>. Dlaczego? Pochodna funkcji z\u0142o\u017conej dg\/dx = dg\/df * df\/dx.<\/em><\/p>\n\n\n\n

Po tym kr\u00f3tkim wprowadzeniu te straszne pochodne funkcji falowej psi<\/em> z r\u00f3wnania Schroedingera mo\u017cemy sobie policzy\u0107 w pami\u0119ci. Mamy tam kilka razy e do co\u015b tam razy x<\/em>, a wi\u0119c pochodna funkcji z\u0142o\u017conej okazuje si\u0119 iloczynem wyj\u015bciowej funkcji (pochodna e do co\u015b tam x<\/em> r\u00f3wna wyj\u015bciowej funkcji) razy sta\u0142a co\u015b tam<\/em> (pochodna samej co\u015b tam razy x<\/em>).<\/p>\n\n\n\n

Po omini\u0119ciu tego jak\u017ce trudnego zagadnienia Penrose wprowadza czytelnika w poj\u0119cie wi\u0105zek. Co to ta wi\u0105zka? Struktura algebraiczna (chyba, rozumiem to dosy\u0107 s\u0142abo) powsta\u0142a z przyporz\u0105dkowania ka\u017cdemu punktowi bazy identycznego w\u0142\u00f3kna. Co to ta baza? Pewnie co\u015b w stylu bazy przestrzeni wektorowej, b\u0119d\u0105cej z kolei pewnym po\u0142\u0105czeniem grupy z cia\u0142em (matematycy m\u00f3wi\u0105 „nad cia\u0142em”) poprzez wprowadzenie operacji mno\u017cenia o danych w\u0142a\u015bciwo\u015bciach. Jedno z nich, baza czy w\u0142\u00f3kno, ju\u017c nie pami\u0119tam, musi by\u0107 rozmaito\u015bci\u0105.<\/p>\n\n\n\n

Rozmaito\u015b\u0107 to struktura, kt\u00f3rej w ka\u017cdym punkcie w dowolnie ma\u0142ym otoczeniu nie mo\u017cna odr\u00f3\u017cni\u0107 od pewnej przestrzeni Euklidesa. Na przyk\u0142ad okr\u0105g w du\u017cym powi\u0119kszeniu przypomina prosta, powierzchnia Ziemi \u2013 p\u0142aszczyzn\u0119 (pozdrawiamy zwolennik\u00f3w p\u0142askiej Ziemi), jaka jest geometria naszego Wszech\u015bwiata, nie ustalono.<\/p>\n\n\n\n

Zrozumia\u0142em to tak, \u017ce ka\u017cdemu punktowi przestrzeni przypisujemy pewn\u0105 struktur\u0119 algebraiczn\u0105, opisuj\u0105c\u0105 np. pole wektorowe czy dodatkowe wymiary przestrzenne. Pro\u015bciej wyt\u0142umaczy\u0107 nie potrafi\u0119 (i zar\u0119czam, \u017ce Penrose’owi te\u017c si\u0119 nie udaje. Gdybym nie zna\u0142 wcze\u015bniej jako tako algebry, nie zrozumia\u0142bym z tego kompletnie nic).<\/p>\n\n\n\n

Penrose argumentuje w ten spos\u00f3b cho\u0107by przeciwko wielowymiarowej teorii strun. Podaje, \u017ce gadanie o 26 wymiarach czasoprzestrzennych to zwyk\u0142e wciskanie kitu, nawet je\u015bli kit elegancko okre\u015blamy rozmaito\u015bciami Calabiego-Yau. Wskazuje, \u017ce takie ukryte wymiary musia\u0142yby wp\u0142ywa\u0107 na obserwowane przez nas cechy \u015bwiata, a nikt ich nigdy nie widzia\u0142. Co akurat mo\u017cna zrozumie\u0107 bez dziwacznych struktur algebraicznych znacz\u0105co wykraczaj\u0105cych poza matematyk\u0119 licealn\u0105.<\/p>\n\n\n\n

Dalej jest jeszcze gorzej. Spinory, twistory… Co to takiego? Mnie si\u0119 to w g\u0142owie nie mie\u015bci, niech to Pa\u0144stwu Penrose t\u0142umaczy…<\/p>\n\n\n\n

Marcin Nowak<\/strong><\/p>\n\n\n\n

Bibliografia:<\/strong><\/p>\n\n\n\n