{"id":9369,"date":"2024-03-14T19:21:53","date_gmt":"2024-03-14T18:21:53","guid":{"rendered":"http:\/\/naukowy.blog.polityka.pl\/?p=9369"},"modified":"2024-03-14T19:45:57","modified_gmt":"2024-03-14T18:45:57","slug":"kto-zle-pyta-ten-bladzi","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/blog.polityka.pl\/naukowy\/2024\/03\/14\/kto-zle-pyta-ten-bladzi\/","title":{"rendered":"Kto \u017ale pyta, ten b\u0142\u0105dzi"},"content":{"rendered":"\n
\"\"<\/figure>\n\n\n\n

W mediach cz\u0119sto pojawiaj\u0105 si\u0119 kierowane do ekspert\u00f3w pytania typu: kto wygrywa wojn\u0119 w Ukrainie, kto wygra\u0142 wybory, czy szczepionki s\u0105 bezpieczne<\/a>, nie m\u00f3wi\u0105c ju\u017c o trwaj\u0105cej od lat debacie na temat aborcji. Publiczno\u015b\u0107 domaga si\u0119 odpowiedzi, najlepiej prostych: tak\/nie. A je\u015bli odpowiedzi nie ma?<\/p>\n\n\n\n\n\n\n\n

Z logicznego punktu widzenia wydawa\u0142oby si\u0119, \u017ce nie ma nic \u0142atwiejszego, ni\u017c orzec dan\u0105 rzecz (predykat) o jakiej\u015b innej rzeczy. To proste za\u0142o\u017cenie. Doprowadzi\u0142o jednak do upadku naiwnej teorii zbior\u00f3w Cantora.<\/p>\n\n\n\n

\u017byj\u0105cy ponad wiek temu wybitny matematyk nale\u017ca\u0142 do tej niewielkiej grupy uczonych, kt\u00f3rzy zapocz\u0105tkowali now\u0105 dziedzin\u0119 bada\u0144, w jego przypadku teori\u0119 zbior\u00f3w. I niepowodzenia w tej dziedzinie przyp\u0142aci\u0142 powa\u017cnymi problemami ze zdrowiem psychicznym. Du\u017c\u0105 cz\u0119\u015b\u0107 \u017cycia sp\u0119dzi\u0142 w o\u015brodkach opieku\u0144czych; jako maj\u0119tny cz\u0142owiek m\u00f3g\u0142 wybra\u0107 te, kt\u00f3re rzeczywi\u015bcie opiekowa\u0142y si\u0119 pacjentami, a nie tylko ich izolowa\u0142y, co w psychiatrii sprzed stu lat wcale nie by\u0142o takie oczywiste.<\/p>\n\n\n\n

Nie ulega najmniejszej w\u0105tpliwo\u015bci, \u017ce maj\u0105c dowolny zbi\u00f3r, nazwijmy go X, mo\u017cemy stworzy\u0107 odpowiadaj\u0105cy mu predykat A, czyli cech\u0119 przys\u0142uguj\u0105c\u0105 wszystkim elementom tego zbioru. Wygl\u0105da to banalnie: wystarczy przyj\u0105\u0107 A(x) wtedy i tylko wtedy, gdy x nale\u017cy do X (tzn. wybrali\u015bmy cech\u0119 samej przynale\u017cno\u015bci do X).<\/p>\n\n\n\n

Dzisiaj wiemy, \u017ce w drug\u0105 stron\u0119 to nie dzia\u0142a. Nie dla ka\u017cdej w\u0142asno\u015bci A istnieje zbi\u00f3r element\u00f3w, kt\u00f3re t\u0119 w\u0142asno\u015b\u0107 posiadaj\u0105. Tego jeszcze Cantor nie wiedzia\u0142, przynajmniej na pocz\u0105tku.<\/p>\n\n\n\n

Podam przyk\u0142ad. Stw\u00f3rzmy predykat „jest zbiorem\u201d. Nast\u0119pnie utw\u00f3rzmy zbi\u00f3r Z wszystkich tych obiekt\u00f3w, kt\u00f3rym on przys\u0142uguje, tzn. zbi\u00f3r wszystkich zbior\u00f3w. Matematycy dowiedli dawno, \u017ce taki zbi\u00f3r nie istnieje. Dlaczego?<\/p>\n\n\n\n

Gdyby istnia\u0142, mia\u0142by pewn\u0105 okre\u015blon\u0105 liczb\u0119 element\u00f3w. Przyjmijmy teraz dwie przes\u0142anki. Po pierwsze, \u017caden zbi\u00f3r nie mo\u017ce mie\u0107 mniej element\u00f3w ni\u017c dowolny jego podzbi\u00f3r. Po drugie dowiedziono, \u017ce dla ka\u017cdego zbioru mo\u017cna stworzy\u0107 zbi\u00f3r pot\u0119gowy, czyli zbi\u00f3r wszystkich podzbior\u00f3w tego zbioru. Nazw\u0119 „pot\u0119gowy\u201d skojarzy\u0107 mo\u017cna z tym, \u017ce jego liczba element\u00f3w r\u00f3wna jest 2 do pot\u0119gi liczba element\u00f3w wyj\u015bciowego zbioru, poniewa\u017c ka\u017cdy z tych element\u00f3w mo\u017ce nale\u017ce\u0107 lub nie nale\u017ce\u0107 do tego czy innego podzbioru. Zawsze wynosi ona wi\u0119cej od liczno\u015bci wyj\u015bciowego zbioru. Zbi\u00f3r pot\u0119gowy zbioru wszystkich zbior\u00f3w zawiera\u0142by z definicji pewne zbiory (ka\u017cdy podzbi\u00f3r jest zbiorem), kt\u00f3re nale\u017ca\u0142yby do zbioru wszystkich zbior\u00f3w. W rezultacie zbi\u00f3r pot\u0119gowany zbioru wszystkich zbior\u00f3w by\u0142by podzbiorem zbioru wszystkich zbior\u00f3w. Musia\u0142by zarazem by\u0107 od niego liczniejszy (jako zbi\u00f3r pot\u0119gowy) i nie m\u00f3g\u0142by by\u0107 od niego liczniejszy (jako podzbi\u00f3r). Ta sprzeczno\u015b\u0107 dowodzi, \u017ce zbi\u00f3r wszystkich zbior\u00f3w nie istnieje.<\/p>\n\n\n\n

Inn\u0105 cech\u0105, kt\u00f3rej nie odpowiada \u017caden zbi\u00f3r, jest „nie by\u0107 w\u0142asnym elementem\u201d. Zazwyczaj nie chcemy, \u017ceby zbi\u00f3r by\u0142 w\u0142asnym elementem, bo to wprowadza r\u00f3\u017cnorakie trudno\u015bci. Stw\u00f3rzmy wi\u0119c zbi\u00f3r wszystkich porz\u0105dnych zbior\u00f3w, tzn. takich, kt\u00f3re nie s\u0105 swoimi elementami. No dobrze, ale zastan\u00f3wmy si\u0119 teraz, czy otrzymany w ten spos\u00f3b zbi\u00f3r jest, czy nie jest swoim elementem. Je\u015bli nie jest, czyli nie nale\u017cy do zbior\u00f3w nieb\u0119d\u0105cych w\u0142asnymi elementami, to jest w\u0142asnym elementem? A je\u015bli jest w\u0142asnym elementem, to jest elementem zbioru element\u00f3w nieb\u0119d\u0105cych swoimi elementami, wi\u0119c nie jest w\u0142asnym elementem. Znowu sprzeczno\u015b\u0107.<\/p>\n\n\n\n

W matematyce podobnych sprzeczno\u015bci mo\u017cna unikn\u0105\u0107, wprowadzaj\u0105c \u015bci\u015ble pocz\u0105tkowe przes\u0142anki (aksjomaty), z kt\u00f3rych wyprowadza si\u0119 ca\u0142\u0105 reszt\u0119. Niemniej jak dowi\u00f3d\u0142 inny wielki matematyk Kurt Godel, ka\u017cdy system aksjomat\u00f3w obejmuj\u0105cy przynajmniej podstawow\u0105 arytmetyk\u0119 jest albo niezupe\u0142ny (tzn. nie mo\u017cna z niego wyprowadzi\u0107 wszystkich twierdze\u0144, pozostaj\u0105 wi\u0119c twierdzenia niedowodliwe), albo sprzeczny.<\/p>\n\n\n\n

Problem nasila si\u0119 jeszcze bardziej w innych naukach i w mowie potocznej. Zazwyczaj bowiem nie tworzymy poj\u0119\u0107 przez \u015bcis\u0142e definicje, ale przez tzw. prototypy. Sztandarowym przyk\u0142adem jest jab\u0142ko, dzi\u0119ki kt\u00f3remu dziecko uczy si\u0119 poj\u0119cia owocu. Je\u017celi co\u015b jest podobne do jab\u0142ka, jest owocem. Je\u017celi nie przypomina jab\u0142ka, owocem nie jest. Tak wi\u0119c pomidor z botanicznego punktu widzenia b\u0119d\u0105cy ewidentnie owocem nie jest przez wi\u0119kszo\u015b\u0107 z nas uznawany za owoc, poniewa\u017c w dzieci\u0144stwie nie kojarzy\u0142 nam si\u0119 z jab\u0142kiem. Jak widzimy, poj\u0119cie owocu rozszerzamy w\u0142a\u015bciwie poprzez rozumowanie per analogiam<\/em>, dosy\u0107 zawodne, dlatego r\u00f3\u017cne osoby mog\u0105 postrzega\u0107 jako owoce r\u00f3\u017cne klasy obiekt\u00f3w. Jeszcze bardziej nieostre mog\u0105 by\u0107 poj\u0119cia takie jak czerwony, bezpieczny, osoba czy te\u017c wygra\u0107 wojn\u0119 b\u0105d\u017a wybory.<\/p>\n\n\n\n

Kolejny raz przekonujemy si\u0119, \u017ce stare przys\u0142owie „kto pyta, nie b\u0142\u0105dzi\u201d samo wprowadza w b\u0142\u0105d. Na wiele pyta\u0144 po prostu nie ma sensownej odpowiedzi.<\/p>\n\n\n\n

Marcin Nowak<\/strong><\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"

W mediach cz\u0119sto pojawiaj\u0105 si\u0119 kierowane do ekspert\u00f3w pytania typu: kto wygrywa wojn\u0119 w Ukrainie, kto wygra\u0142 wybory, czy szczepionki s\u0105 bezpieczne, nie m\u00f3wi\u0105c ju\u017c o trwaj\u0105cej od lat debacie na temat aborcji. Publiczno\u015b\u0107 domaga si\u0119 odpowiedzi, najlepiej prostych: tak\/nie. A je\u015bli odpowiedzi nie ma?<\/p>\n","protected":false},"author":1,"featured_media":9380,"comment_status":"open","ping_status":"closed","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":{"footnotes":""},"categories":[241,69,55,1,53],"tags":[1132,1133,620,1131],"_links":{"self":[{"href":"https:\/\/blog.polityka.pl\/naukowy\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/9369"}],"collection":[{"href":"https:\/\/blog.polityka.pl\/naukowy\/wp-json\/wp\/v2\/posts"}],"about":[{"href":"https:\/\/blog.polityka.pl\/naukowy\/wp-json\/wp\/v2\/types\/post"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/blog.polityka.pl\/naukowy\/wp-json\/wp\/v2\/users\/1"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/blog.polityka.pl\/naukowy\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=9369"}],"version-history":[{"count":5,"href":"https:\/\/blog.polityka.pl\/naukowy\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/9369\/revisions"}],"predecessor-version":[{"id":9382,"href":"https:\/\/blog.polityka.pl\/naukowy\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/9369\/revisions\/9382"}],"wp:featuredmedia":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/blog.polityka.pl\/naukowy\/wp-json\/wp\/v2\/media\/9380"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/blog.polityka.pl\/naukowy\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=9369"}],"wp:term":[{"taxonomy":"category","embeddable":true,"href":"https:\/\/blog.polityka.pl\/naukowy\/wp-json\/wp\/v2\/categories?post=9369"},{"taxonomy":"post_tag","embeddable":true,"href":"https:\/\/blog.polityka.pl\/naukowy\/wp-json\/wp\/v2\/tags?post=9369"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}