Tak i wspak
Mamy rok 2016. Rok „odwrotny”, czyli 6102 będziemy witać za lat 6102-2016=4086. Już teraz zapraszam wszystkie bratnie duszyczki na sylwestra, a tymczasem, traktując sprawę czysto matematycznie, chciałbym uogólnić podany przykład, czyli zauważyć, że 4086 należy do liczb, które można przedstawić jako różnicę dwóch liczb 4-cyfrowych, z których jedna powstaje przez zapisanie wspak drugiej.
A pytanie brzmi: ile jest różnych liczb całkowitych dodatnich, które da się przedstawić w taki sposób (wytłuszczony tekst) jak 4086? Gwoli ścisłości wypada dodać, że w roli odjemnej odpadają liczby 4-cyfrowe kończące się zerem, bo ich „odwrócenie” jest 3-cyfrowe (to nie tablice rejestracyjne, więc zera na początku uznajemy za nieznaczące).
Piszemy o tym, co ważne i ciekawe
Życie po ekocydzie
Wysadzenie zapory w Nowej Kachowce wywołało najpoważniejszą katastrofę środowiskową nowożytnej Europy. I uruchomiło wielki przyrodniczy eksperyment.
Przy okazji nasuwa się pytanie o liczbę (liczby), którą można przedstawić w ten sposób największą liczbą różnych par liczb 4-cyfrowych całkowitych dodatnich. Na przykład 4086 to także różnica „odwrotnych” par 5101-1015 (najmniejsza) oraz 9985-5899 (największa), a w sumie takich „lustrzanych” par, dających różnicę 4086, jest 45.
Komentarze
Różnych liczb całkowitych dodatnich, które da się przedstawić w taki sposób jest 162.
Największą liczbą par (855) można przedstawić w ten sposób liczbę 0 (zero).
Zadanie dla wytrwałych:
Proszę znaleźć taką różnicę, która ma na końcu „1”.
Po namyśle postanowiłem nie wzniecać dysputy na temat dodatniości zera (moje przeoczenie), więc właściwe rozwiązanie to:
Różnych liczb całkowitych dodatnich, które da się przedstawić w taki sposób jest 161.
Największą liczbą par (405) można przedstawić w ten sposób liczbę 90.
(A zadanie dla wytrwałych to oczywiście propozycja dla tych, którzy nie muszą dogonić króliczka
142
72
Problem Apartado: brak rozwiązań
Wyszło mi 161 różnych różnic – powiedzmy +/- 2, bo mogłam się pomylić przy usuwaniu powtarzających się
Liczba 999 jest różnicą w 80 przypadkach.
Czyli odjemna i odjemnik muszą być czterocyfrowe, ale różnica może mieć mniej cyfr?
Tak
mp
jeśli różnice mogą być 1-, 2-, 3- i 4-cyfrowe:
161
81 [dla 90]
Pewne przemyślenia natury ogólnej skłaniają mnie do zmiany mojej wersji właściwej odpowiedzi.
Otóż:
Różnych liczb całkowitych dodatnich, które da się przedstawić w taki sposób jest 180.
Największą liczbą par (540) można przedstawić w ten sposób liczbę 999.
(W wyniku ostatnich przemyśleń zadanie dla wytrwałych zmieniło się w banalne, a więc właściwie to je niniejszym odwołuję)
Stoisz na powierzchni Ziemi, Idziesz milę na południe, milę na zachód i milę na północ. Okazuje się, że jesteś w tym samym miejscu, w którym zaczynałeś. Gdzie jesteś?
@apartado
Nie da się, ponieważ „odpadają liczby 4-cyfrowe kończące się zerem”.
161. Można znaleźć i policzyć wszystkie liczby, pisząc program, albo w excelu. Ale można i tak: jeśli cyframi są a, b, c i d, to nasza różnica wynosi 1000a+100b+10c+d–1000d-100c-10b-a = 999a+90b-90c-999d = 999(a-d)+90(b-c). Jeśli chodzi o różnice a – d, to zakładamy, że a jest nie mniejsze od d, i a i d są cyframi od 1 do 9 (zero odpada). Zostawmy na razie na boku przypadek a = d. Wtedy mamy możliwe różnice od 1 do 8, a więc 8. Możliwych różnic b i c jest od 0 do 9, a więc 10, plus 9 ujemnych, czyli 19. 8×19=152. Jeśli mamy natomiast a = d, to dochodzi tylko 9 różnic b i c od 1 do 9 (0 i ujemne nie, bo wtedy wynikiem odejmowania jest liczba całkowita, ale nie dodatnia), razem czyni 161.
Jeśli chodzi o dominantę, to w sytuacji, kiedy np. różnica a-d wynosi 1, takich różnic mamy aż 8 (9-8, 8-7, …, 2-1). Wtedy różnica b-c może być 0, czyli 10 przypadków. 8×10 daje 80. Różnicą wtedy jest 999 (np. 9778-8779). Ale jeśli różnica a-d będzie 0, to będzie 9 przypadków, a b-c 1 też w 9 (nie -1, bo chcemy dodatnią różnicę). 9×9 jest 81, czyli oczko wyżej, wtedy różnicą jest 90, np. 8658-8568. Na drugim biegunie (jeden raz) mamy sytuację a-d = 8 i b-c = 9, albo -9. Czyli 9901-1099, lub 9091-1909. W pierwszym przypadku dostajemy największą możliwą różnicę 8802.
@ccp
Ta zagadka ma też inną wersję:
Niedźwiedź stoi na powierzchni Ziemi. Idzie milę na południe, milę na zachód i milę na północ. Okazuje się, że jest w tym samym miejscu, w którym zaczynał. Jakiego koloru jest niedźwiedź?
@cpp
Jest nieskończenie wiele rozwiązań
Drobne usterki natury technicznej spowodowały, że w zamieszczonym przeze mnie rozwiązaniu znalazł się błąd.
Właściwa, ostateczna, jedynie słuszna odpowiedź to:
Różnych liczb całkowitych dodatnich, które da się przedstawić w taki sposób jest 180.
Największą liczbą par (90) można przedstawić w ten sposób liczbę 999.
„Ostateczna”, bo już zacząłem widzieć białe niedźwiedzie.
@cpp: Prócz rozwiązania klasycznego (biegun północny) możemy być na równoleżniku, którego każdy punkt leży 1 milę na północ od równoleżnika, który ma długość jednej mili usytuowanego tuż przy biegunie południowym czyli z bardzo dobrym przybliżeniem (zaniedbujemy znikomy wpływ krzywizny Ziemi) w odległości 1+1/2Pi mili od bieguna południowego. Ale to nie wszystko bo takich równoleżników wokół bieguna południowego mamy nieskończenie wiele gdyż odcinek przemierzany w kierunku zachodnim może być wielokrotnie obchodzonym w kółko równoleżnikiem położonym coraz bliżej bieguna. Ogólny wzór na odległość poszukiwanych równoleżników od bieguna południowego to 1+1/(2*k*Pi) gdzie k=1,2,3,…..
@OlaGM: W przypadku wersji z niedźwiedziem odpowiedź jest tylko jedna bo kolor niedźwiedzia w przypadku obu biegunów jest ten sam
Obu biegunów?
mp
Nooo, człowiek uczy się całe życie !!!! Nieświadom sprawy przyjąłem za pewnik, że białe niedźwiedzie występują na obu biegunach a tu proszę, tylko na północnym (przynajmniej wg Wikipedii). W ten sposób zagadka w wersji z niedźwiedziem zawęża nam horyzonty wyobraźni nie pozwalając odnaleźć „południowych”, trudniejszych, rozwiązań
Mam wrażenie, że ta „niedźwiedzia” wersja została spopularyzowana przez kogoś kto znał tylko to łatwiejsze rozwiązanie ale za to był dobry z biologii. 
161 liczb posiada przynajmniej jeden taki rozkład
liczba 90 posiada 81 takich rozkładów
Lista liczb posiadających największe ilości rozkładów:
90,81
180,72
270,63
360,54
729,56
819,64
909,72
999,80
1089,72
1179,64
1269,56
1818,56
1908,63
1998,70
2088,63
2178,56
2907,54
2997,60
3087,54
3996,50
Ile jest różnych różnic?
ABCD – DCBA = 999(A-D) + 90(B-C)
A>=D => A-D = 0, 1, …, 7 lub 8 – czyli 9 możliwości (1 przypadek A-D=0 oraz 8 pozostałych)
A-D=0 (1 przypadek) => B>C i B-C = 1, 2, …, 8 lub 9 – czyli 9 możliwości
A-D>0 (8 przypadków) => B-C = -9, -8, …, 8 lub 9 – czyli 19 możliwości
W sumie 1*9 + 8*19 = 9 + 152 = 161 możliwych różnic.
Pozostaje dodać, że jeśli 999X + 99Y = 999Z + 90V, gdzie liczby X, Y, Z, V są z zakresu od -9 do 9, to X = Z oraz Y = V. To oznacza, że każdy z tych 161 przypadków daje inny wynik.
Którą liczbę można przedstawić na najwięcej sposobów? Na ile sposobów?
Dla ustalonej różnicy A-D = X cyfry A i D możemy dobrać na 9-X sposobów (D=1 A=1+X, D=2 A=2+X, …, D=9-X A=(9-X)+X=9)
Dla ustalonej różnicy B-C = Y cyfry B i C możemy dobrać na 10-|Y| sposobów (np. dla Y=9 mamy tylko B=9 C=0, dla Y=8 są dwa sposoby: B=9 C=1, B=8 C=0, …, dla Y=0 mamy dziecięć możliwości: B=C=dowolna cyfra, dla Y ujemnego analogicznie jak dla dodatnich, tylko cyfry B i C zmieniają się miejscami).
Zatem jeśli A-D=0 (9 możliwych doborów cyfr A i D), to najlepiej przyjąć różnicę B-C=1 (9 możliwych doborów cyfr B i C). W sumie 81 razy.
Natomiast jeśli A-D>0 (co najwyżej 8 doborów cyfr A i D), wtedy najlepiej przyjąć różnicę B-C=0 (10 możliwych doborów cyfr B i C). W sumie mamy zatem co najwyżej 80 razy.
Zatem najwięcej razy pojawia się (81 razy) różnica dla A-D=0 i B-C=1, czyli ta różnica to 90. Występuje dla liczb postaci ABCA, przy czym B=C+1.
Druga najczęstsza różnica to 999 (80 razy) dla A-D=1 i B-C=0. Występuje dla liczb postaci ABBD, przy czym A=D+1.
Odpowiedzi:
161 możliwych różnic.
Najczęściej występuje różnica 90 (81 razy) oraz 999 (80 razy).
Różnych liczb całkowitych dodatnich, które da się przedstawić w taki sposób jest 162.
Największą liczbą różnych par liczb 4-cyfrowych całkowitych dodatnich można przedstawić liczbę 90 – 81 razy. Po jednym takim przedstawieniu mają liczby 7182 (9091-1909) i 8802 (9901-1099).
161 rozwiązań