Ilobój?
Tradycyjne łamigłówki tekstowe bardzo rzadko goszczą w Łamiblogu. Pora nadrobić zaległości.
Trzej sportowcy – A, B i C – umówili się na rywalizację w nietypowym wieloboju lekkoatletycznym złożonym z kilku konkurencji. W każdej przyznawano x punktów za zajęcie pierwszego miejsca, y za drugie miejsce i z za trzecie. Oczywiście x>y>z to trzy liczby całkowite dodatnie. Po podsumowaniu wyników okazało się, że wygrał A, zdobywając 22 punkty, a B i C zajęli ex aequo drugie miejsce z rezultatami po 9 punktów. Ile było konkurencji i kto zajął drugie miejsce w rzucie kulą, jeśli lekkoatleta B wygrał maraton?
Komentarze z prawidłowym rozwiązaniem ujawniane są wieczorem w przeddzień kolejnego wpisu (z błędnym zwykle od razu). Wpisy pojawiają się co 7 dni.
Komentarze
Pięciobój
Drugi w rzucie kulą był C
A: 5+5+5+5+2=22
B: 1+1+1+1+5=9
C: 2+2+2+2+1=9
Konkurencji było 5. Poza maratonem, w pozostałych konkurencjach kolejność była zawsze taka sama. Wtedy również w rzucie kulą zawodnik C był drugi zdobywając 2 punkty.
Suma wszystkich punktów 22 + 9 + 9 = 40. W każdej konkurencji rozdaje się x + y + z punktów, więc jeśli n to liczba konkurencji, to n · (x + y + z) = 40.
Możliwe wartości n. Liczby x > y > z >= 1 dają co najmniej x + y + z = 3 + 2 + 1 = 6. Konkurencji było „kilka”, więc n >= 2. Dzielniki 40, które dają sumę punktów co najmniej 6, to:
n x + y + z
2 20
4 10
5 8
B wygrał maraton, więc ma co najmniej x punktów. W każdej z pozostałych n − 1 konkurencji dostał co najmniej z. Stąd x + (n − 1)·z = 9.
A nie wygrał maratonu. Dostał w nim co najwyżej y, a w pozostałych konkurencjach co najwyżej x. Stąd 22 = (n − 1)·x + y.
Sprawdzamy kolejne przypadki:
n = 2: z punktu 3 wynika x <= 8, więc A ma najwyżej x + y <= 8 + 7 = 15 = 22, co przy sumie 10 wymusza x = 7, y = 2, z = 1. Wtedy B ma 7 za maraton, a w pozostałych trzech konkurencjach musiałby zdobyć tylko 2 punkty. Minimum to jednak 3 · 1 = 3. Odpada.
n = 5, suma 8: możliwe są (5, 2, 1) i (4, 3, 1).
(4, 3, 1): A ma najwyżej 4·4 + 3 = 19 < 22. Odpada.
(5, 2, 1): A może mieć najwyżej 4·5 + 2 = 22, czyli dokładnie tyle, ile ma.
Skoro A osiąga prawie maksimum to musiał wygrać wszystkie 4 konkurencje poza maratonem, w którym byl drugi.
B ma 5 punktów za maraton, a na pozostałe 4 konkurencje zostają mu 4 punkty. Oznacza to, że we wszystkich czterech był trzeci. Zatem C był drugi we wszystkich konkurencjach poza maratonem i trzeci w maratonie.
Maraton B A C
Każda z 4 pozostałych (w tym pchnięcie kulą) A C B
Suma A = 22 B = 9 C = 9
W pchnięciu kulą II był C.
Konkurencji było 5 a drugie miejsce w rzucie kulą zajął zawodnik C
Punktacja miejsc: (x,y,z) = (5,2,1)
Przebieg zawodów ( z dokładnością do permutacji konkurencji ):
((5, 1, 2), (5, 1, 2), (5, 1, 2), (5, 1, 2), (2, 5, 1))
Maraton był ostatnią konkurencją a wszystkie pozostałe zakończyły się tą samą kolejnością na podjum, więc rzut kulą mógł być którąkolwiek z nich.
We wszystkich tych przypadkach drugie miejsce zdobywa zawodnik C.
Drugie miejsce w pchnięciu kulą zajął C – był on 4 razy drugi poza maratonem, w którym był ostatni. Konkurencji było 5, a punktacja: 5, 2, 1.
Konkurencji było 5, z punktacją 5, 2, 1.
C był drugi w rzucie kulą, podobnie jak w pozostałych konkurencjach, poza maratonem, gdzie zajął trzecie miejsce.
Wreszcie zadanie, które można rozwiązać w pamięci: jeśli wszystkich punktów zdobyto 40 (22+9+9), a minimalna możliwa suma punktów za każdą konkurencję wynosi 6 (1+2+3), to mamy albo 5 konkurencji i 8 punktów do podziału za każdą, albo 4 konkurencje i 10 punktów. 2 konkurencje i 20 punktów to wariant, który odpada, bo minimalna liczba punktów za zwycięstwo musiałaby być większa od 11, no ale jedną konkurencję wygrał ktoś, kto zdobył w sumie tylko 9. Jeśli za każdą konkurencję można zdobyć w sumie 8 punktów, to za zwycięstwo można zdobyć 4 (4+3+1 = 8) lub 5 (5+2+1 = 8). No ale 4 punkty za zwycięstwo nie wystarczą do zdobycia 22 punktów za wszystkie konkurencje. Jeśli tych punktów jest 5, to możliwy jest wariant 4×5+2. Zawodnik, który zdobył w sumie 9 punktów i wygrał jedną konkurencję, musi mieć rozkład 5+1+1+1+1. Zawodnik A musi mieć 2 punkty za konkurencję, którą wygrał B. W pozostałych konkurencjach kolejność jest A, C, B, a więc wszystkie drugie miejsca z tych czterech zajął C, i taka jest odpowiedź. Rozważmy jeszcze 4 konkurencje i sumę 10 punktów za każdą: wtedy nawet 5 za zwycięstwo to za mało, musiałoby być 6, 7 to z kolei za dużo, bo minimalny wariant dla B 7+1+1+1 dałby mu 10 punktów, a ma tylko 9. Jeśli 6, to co prawda 6+1+1+1 daje 9, ale za drugie miejsce musiałyby być 3 punkty, a wtedy A może mieć tylko 3 x 6 + 3 = 21, mamy więc sprzeczność, i cały wariant odpada. Zostaje jedno rozwiązanie: 5 konkurencji, podział punktów 5+2+1, wszystkie „dwójki” prócz jednej, tej za maraton, są dla C.
Było 5 konkurencji. Sportowiec C zajął drugie miejsce w rzucie kulą.
Konkurencji:5
Drugie miejsce w rzucie kulą:C
5 konkurencji, w pchnięciu kulą drugi był C