{"id":10037,"date":"2025-10-05T08:11:58","date_gmt":"2025-10-05T07:11:58","guid":{"rendered":"https:\/\/blog.polityka.pl\/penszko\/?p=10037"},"modified":"2025-10-05T08:11:58","modified_gmt":"2025-10-05T07:11:58","slug":"p-sp","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/blog.polityka.pl\/penszko\/2025\/10\/05\/p-sp\/","title":{"rendered":"P + S(P)"},"content":{"rendered":"\n<p>W poprzednim wpisie opisana by\u0142a nast\u0119puj\u0105ca zabawa liczbowa:<br>Zaczynamy od dowolnej liczby z\u0142o\u017conej Z i tworzymy sum\u0119 S(1)= Z+sopfr(Z), gdzie sopfr(Z) jest sum\u0105 wszystkich (nie tylko r\u00f3\u017cnych) czynnik\u00f3w pierwszych Z; tak samo post\u0119pujemy z S(1) i z ka\u017cd\u0105 nast\u0119pn\u0105 sum\u0105 dot\u0105d, a\u017c suma ta oka\u017ce si\u0119 liczb\u0105 pierwsz\u0105, kt\u00f3ra finalizuje zabaw\u0119, czyli ko\u0144czy ci\u0105g liczb z\u0142o\u017conych. Koronne pytanie brzmia\u0142o: jak daleko uda si\u0119 Z-zajecha\u0107 przy ograniczeniu zakresu Z do 1000. Okaza\u0142o si\u0119, \u017ce ci\u0105g liczb z\u0142o\u017conych mo\u017ce liczy\u0107 maksymalnie 20 wyraz\u00f3w, je\u015bli Z=183: 183, 247, 279, 316, 309, 428, 539, 564, 618, 726, 753, 1007, 1079, 1175, 1232, 1258, 1314, 1395, 1437, 1919. Nast\u0119pny wyraz (1919+101+19=2039) jest ju\u017c liczb\u0105 pierwsz\u0105. A totalnie z problemem rozprawi\u0142 si\u0119 jarek1962, poszerzaj\u0105c zakres Z najpierw do miliona (w ci\u0105gu s\u0105 w\u00f3wczas maksymalnie 123 liczby z\u0142o\u017cone, gdy na pocz\u0105tku jest 153633), a potem si\u0119gaj\u0105c miliard\u00f3w (szczeg\u00f3\u0142y w komentarzach).<br>Tym razem chodzi o zabaw\u0119 cz\u0119\u015bciowo odwrotn\u0105, bo od liczby pierwszej P si\u0119 zaczynaj\u0105c\u0105. Ta pierwsza P i ka\u017cda nast\u0119pna poddawana jest prostej \u201eobr\u00f3bce\u201d \u2013 tworzony jest ci\u0105g, w kt\u00f3rym ka\u017cdy kolejny wyraz jest sum\u0105 poprzedniego wyrazu i sumy jego cyfr, czyli P(n)=P(n-1)+S[P(n-1)]. Tak si\u0119 dzieje dot\u0105d, a\u017c pojawi si\u0119 ko\u0144cz\u0105ca ci\u0105g liczba z\u0142o\u017cona.<br>Dla jednocyfrowych P ci\u0105g si\u0119 w og\u00f3le nie zaczyna. Zacz\u0105\u0142em wi\u0119c od 11 i do\u015b\u0107 d\u0142ugo wyci\u0105ga\u0142em ci\u0105gi, dziwi\u0105c si\u0119, \u017ce \u017caden nie chce przekroczy\u0107 trzech wyraz\u00f3w. Dopiero startuj\u0105cy od 277 si\u0119gn\u0105\u0142 kwartetu: 277, 293, 307, 317. Potem bardzo d\u0142ugo nie by\u0142o 5-wyrazowego. Przez chwil\u0119 zastanawia\u0142em si\u0119 nawet nad mo\u017cliwo\u015bci\u0105 znalezienia dowodu, \u017ce cztery wyrazy to maksimum. Dopiero 1559 stanowi\u0142o prze\u0142om, cho\u0107 zaczyna drugi ci\u0105g tak\u017ce 4-wyrazowy: 1559, 1579, 1601, 1609. Maj\u0105c dwie odleg\u0142e liczby startowe ci\u0105g\u00f3w-kwartet\u00f3w skorzysta\u0142em z OEIS i tu trafi\u0142em na seri\u0119 ci\u0105g\u00f3w autorstwa znanego mi sk\u0105din\u0105d holenderskiego liczbomana Patricka de Geesta \u2013 od A048523 do A048527. Ka\u017cdy ci\u0105g obejmuje liczby pierwsze, kt\u00f3re zaczynaj\u0105 ci\u0105gi n-wyrazowe, dla 1&lt;n&lt;7. Dla n=6 na starcie jest ponad p\u00f3\u0142milionowa pierwszo\u015b\u0107: 516493, 516521, 516541, 516563, 516589, 516623; dopiero si\u00f3dmy wyraz (516646) jest liczb\u0105 z\u0142o\u017con\u0105.<br>Czy kto\u015b z programist\u00f3w pokusi si\u0119 o kontynuacj\u0119 poszukiwa\u0144 Patricka, czyli znalezienie liczby pierwszej rozpoczynaj\u0105cej 7-wyrazowy ci\u0105g liczb pierwszych tworzonych w opisany spos\u00f3b?<br>Natomiast \u201epiechurom\u201d proponuj\u0119 pe\u0142en pierwszo\u015bci s\u0142upkowy zapis mno\u017cenia szkieletowego, w kt\u00f3rym wszystkie cyfry zast\u0105piono kratkami:<\/p>\n\n\n\n<figure class=\"wp-block-image size-full\"><a href=\"\/penszko\/wp-content\/uploads\/2025\/09\/P.jpg\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" width=\"1000\" height=\"940\" src=\"\/penszko\/wp-content\/uploads\/2025\/09\/P.jpg\" alt=\"\" class=\"wp-image-10045\"\/><\/a><\/figure>\n\n\n\n<p>Mimo, \u017ce \u017cadna cyfra nie jest ujawniona, zadanie nie wydaje mi si\u0119 zbyt trudne, zw\u0142aszcza, \u017ce ma wi\u0119cej ni\u017c jedno rozwi\u0105zanie; wiadomo tylko, \u017ce wszystkie pi\u0119\u0107 liczb, wyst\u0119puj\u0105cych w zapisie, to liczby pierwsze \u2013 ale dwie dolne (\u017c\u00f3\u0142tawe kratki) s\u0105\u2026 zapisane wspak. Dla wygody za\u0142\u0105czam komplet 2-cyfrowych liczb pierwszych; \u0142atwo zauwa\u017cy\u0107, \u017ce trzy z nich ( a nie cztery) powinny trafi\u0107 do mno\u017cenia.<\/p>\n\n\n\n<p><em>Komentarze z&nbsp;prawid\u0142owym rozwi\u0105zaniem ujawniane s\u0105 wieczorem w&nbsp;przeddzie\u0144 kolejnego wpisu (z b\u0142\u0119dnym zwykle od razu). Wpisy pojawiaj\u0105 si\u0119 co 7 dni.<\/em><\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>W poprzednim wpisie opisana by\u0142a nast\u0119puj\u0105ca zabawa liczbowa:Zaczynamy od dowolnej liczby z\u0142o\u017conej Z i tworzymy sum\u0119 S(1)= Z+sopfr(Z), gdzie sopfr(Z) jest sum\u0105 wszystkich (nie tylko r\u00f3\u017cnych) czynnik\u00f3w pierwszych Z; tak samo post\u0119pujemy z S(1) i z ka\u017cd\u0105 nast\u0119pn\u0105 sum\u0105 dot\u0105d, a\u017c suma ta oka\u017ce si\u0119 liczb\u0105 pierwsz\u0105, kt\u00f3ra finalizuje zabaw\u0119, czyli ko\u0144czy ci\u0105g liczb z\u0142o\u017conych. [&hellip;]<\/p>\n","protected":false},"author":3,"featured_media":0,"comment_status":"open","ping_status":"closed","sticky":true,"template":"","format":"standard","meta":{"footnotes":""},"categories":[1],"tags":[],"_links":{"self":[{"href":"https:\/\/blog.polityka.pl\/penszko\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/10037"}],"collection":[{"href":"https:\/\/blog.polityka.pl\/penszko\/wp-json\/wp\/v2\/posts"}],"about":[{"href":"https:\/\/blog.polityka.pl\/penszko\/wp-json\/wp\/v2\/types\/post"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/blog.polityka.pl\/penszko\/wp-json\/wp\/v2\/users\/3"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/blog.polityka.pl\/penszko\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=10037"}],"version-history":[{"count":14,"href":"https:\/\/blog.polityka.pl\/penszko\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/10037\/revisions"}],"predecessor-version":[{"id":10053,"href":"https:\/\/blog.polityka.pl\/penszko\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/10037\/revisions\/10053"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/blog.polityka.pl\/penszko\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=10037"}],"wp:term":[{"taxonomy":"category","embeddable":true,"href":"https:\/\/blog.polityka.pl\/penszko\/wp-json\/wp\/v2\/categories?post=10037"},{"taxonomy":"post_tag","embeddable":true,"href":"https:\/\/blog.polityka.pl\/penszko\/wp-json\/wp\/v2\/tags?post=10037"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}