{"id":10293,"date":"2026-06-20T11:25:33","date_gmt":"2026-06-20T10:25:33","guid":{"rendered":"https:\/\/blog.polityka.pl\/penszko\/?p=10293"},"modified":"2026-06-20T11:25:33","modified_gmt":"2026-06-20T10:25:33","slug":"collatzia","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/blog.polityka.pl\/penszko\/2026\/06\/20\/collatzia\/","title":{"rendered":"Collatzia"},"content":{"rendered":"\n

Lubi\u0119 \u017cartobliwe neologizmy, st\u0105d tytu\u0142owa kolacja<\/em>, okre\u015blaj\u0105ca og\u00f3\u0142 spraw zwi\u0105zanych z hipotez\u0105 Collatza, o kt\u00f3rej pisa\u0142em w majowym \u201e\u015awiecie Nauki\u201d. By\u0142o tam te\u017c zadanie zas\u0142uguj\u0105ce na bis po ma\u0142ej zmianie. Zacz\u0105\u0107 wypada jednak od przypomnienia hipotezy.
Dowoln\u0105 liczb\u0119 naturaln\u0105 dodatni\u0105 traktujemy na jeden z dw\u00f3ch sposob\u00f3w:
– je\u015bli jest parzysta, dzielimy j\u0105 przez 2;
– je\u015bli jest nieparzysta, mno\u017cymy j\u0105 przez 3 i dodajemy 1.
Otrzymany wynik i ka\u017cdy kolejny podlega takiej samej dwuwariantowej obr\u00f3bce. Okazuje si\u0119, \u017ce niezale\u017cnie od wyboru liczby startowej, zawsze dotrzemy do liczby 1, a \u015bci\u015blej wpadniemy w cykl [-1-4-2-] Ustali\u0142 to przed prawie 100 laty niemiecki matematyk Lothar Collatz, ale nie udowodni\u0142 i dot\u0105d nikt stwierdzenia Collatza w twierdzenie nie zmieni\u0142, ani te\u017c hipotezy nie obali\u0142. Tylko komputery mocno sk\u0142aniaj\u0105 si\u0119 ku twierdzeniu, bo sprawdzi\u0142y wszystkie liczby do 21-cyfrowych i zawsze dociera\u0142y do jedynki. Gwoli jasno\u015bci \u2013 oto ci\u0105g Collatza zaczynaj\u0105cy si\u0119 od mojej szcz\u0119\u015bliwej liczby 28:
28-14-7-22-11-34-17-52-26-13-40-20-10-5-16-8-4-2-1-4-
Teraz uog\u00f3lnienie:
Dowoln\u0105 liczb\u0119 ca\u0142kowit\u0105 dodatni\u0105 traktujemy na jeden z dw\u00f3ch sposob\u00f3w:
– je\u015bli jest podzielna przez a<\/em><\/strong>, dzielimy j\u0105 przez a<\/strong><\/em>;
– je\u015bli nie jest wielokrotno\u015bci\u0105 a<\/em><\/strong>, mno\u017cymy j\u0105 przez b<\/strong><\/em> i dodajemy c<\/em><\/strong>.
Dla ci\u0105gu Collatza a<\/em><\/strong>=2, b<\/strong><\/em>=3, c<\/em><\/strong>=1.
Zmiana przynajmniej jednej z tercetu liczb {a<\/em><\/strong>, b<\/strong><\/em>, c<\/em><\/strong>} na inn\u0105 liczb\u0119 ca\u0142kowit\u0105 dodatni\u0105 powoduje, \u017ce ci\u0105g Collatza traci specyficzn\u0105 kolacyjn\u0105<\/em> vel kolacjow\u0105<\/em> w\u0142asno\u015b\u0107 \u2013 nie wpada zawsze w taki sam cykl niezale\u017cnie od liczby startowej S<\/em><\/strong>, a nawet mo\u017ce by\u0107 niesko\u0144czony (stale rosn\u0105cy). Na przyk\u0142ad, je\u017celi a<\/strong><\/em>=2, b<\/em><\/strong>=3, c<\/strong>=5, p\u0119tle bywaj\u0105 r\u00f3\u017cne dla r\u00f3\u017cnych S<\/em><\/strong>:
[-1-8-4-2-], gdy S=2 lub 9;
[-5-20-10-] je\u015bli S=5;
[-19-62-31-98-49-152-76-38-], dla S=3, 6, 7, 11 i wielu innych.
Kolej na wspomniane zadanie, kt\u00f3re wydaje si\u0119 karko\u0142omne.
Prosz\u0119 znale\u017a\u0107 takie warto\u015bci a<\/em><\/strong> (najmniejsz\u0105 mo\u017cliw\u0105), b<\/strong><\/em> i c<\/em><\/strong>, aby oparty na tych warto\u015bciach ci\u0105g, po rozpocz\u0119ciu go od odpowiedniej liczby startowej S<\/em><\/strong>, wpada\u0142 w cykl z\u0142o\u017cony z liczby wyraz\u00f3w r\u00f3wnej znajduj\u0105cej si\u0119 w tym cyklu najmniejszej liczbie, kt\u00f3ra powinna by\u0107 wi\u0119ksza od 3. Podane wy\u017cej trzy cykle nie spe\u0142niaj\u0105 tych warunk\u00f3w: pierwszy jest 4-wyrazowy z jedynk\u0105, drugi 3-wyrazowy z najmniejsz\u0105 liczb\u0105 5, trzeci liczy 8 wyraz\u00f3w, z kt\u00f3rych najmniejszy to 19.<\/p>\n\n\n\n

Komentarze z prawid\u0142owym rozwi\u0105zaniem ujawniane s\u0105 wieczorem w przeddzie\u0144 kolejnego wpisu (z b\u0142\u0119dnym zwykle od razu). Wpisy pojawiaj\u0105 si\u0119 co 7 dni.<\/em><\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"

Lubi\u0119 \u017cartobliwe neologizmy, st\u0105d tytu\u0142owa kolacja, okre\u015blaj\u0105ca og\u00f3\u0142 spraw zwi\u0105zanych z hipotez\u0105 Collatza, o kt\u00f3rej pisa\u0142em w majowym \u201e\u015awiecie Nauki\u201d. By\u0142o tam te\u017c zadanie zas\u0142uguj\u0105ce na bis po ma\u0142ej zmianie. Zacz\u0105\u0107 wypada jednak od przypomnienia hipotezy.Dowoln\u0105 liczb\u0119 naturaln\u0105 dodatni\u0105 traktujemy na jeden z dw\u00f3ch sposob\u00f3w:– je\u015bli jest parzysta, dzielimy j\u0105 przez 2;– je\u015bli jest nieparzysta, […]<\/p>\n","protected":false},"author":3,"featured_media":0,"comment_status":"open","ping_status":"closed","sticky":true,"template":"","format":"standard","meta":{"footnotes":""},"categories":[1],"tags":[],"_links":{"self":[{"href":"https:\/\/blog.polityka.pl\/penszko\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/10293"}],"collection":[{"href":"https:\/\/blog.polityka.pl\/penszko\/wp-json\/wp\/v2\/posts"}],"about":[{"href":"https:\/\/blog.polityka.pl\/penszko\/wp-json\/wp\/v2\/types\/post"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/blog.polityka.pl\/penszko\/wp-json\/wp\/v2\/users\/3"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/blog.polityka.pl\/penszko\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=10293"}],"version-history":[{"count":6,"href":"https:\/\/blog.polityka.pl\/penszko\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/10293\/revisions"}],"predecessor-version":[{"id":10299,"href":"https:\/\/blog.polityka.pl\/penszko\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/10293\/revisions\/10299"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/blog.polityka.pl\/penszko\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=10293"}],"wp:term":[{"taxonomy":"category","embeddable":true,"href":"https:\/\/blog.polityka.pl\/penszko\/wp-json\/wp\/v2\/categories?post=10293"},{"taxonomy":"post_tag","embeddable":true,"href":"https:\/\/blog.polityka.pl\/penszko\/wp-json\/wp\/v2\/tags?post=10293"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}