{"id":160,"date":"2008-01-03T00:22:55","date_gmt":"2008-01-02T23:22:55","guid":{"rendered":"http:\/\/penszko.blog.polityka.pl\/?p=160"},"modified":"2008-01-03T08:38:53","modified_gmt":"2008-01-03T07:38:53","slug":"kaprekar-2008","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/blog.polityka.pl\/penszko\/2008\/01\/03\/kaprekar-2008\/","title":{"rendered":"Kaprekar 2008"},"content":{"rendered":"

Okazuje si\u0119, \u017ce liczba 2008 ma w\u0142asno\u015b\u0107 absolutnie niezwyk\u0142\u0105, cho\u0107\u00a0nieco zakr\u0119con\u0105. Aby wyja\u015bni\u0107, w czym rzecz, przyda si\u0119 algorytmiczny wst\u0119p.<\/p>\n

(1) Napisz dowoln\u0105 liczb\u0119 czterocyfrow\u0105, byle nie z\u0142o\u017con\u0105 z czterech jednakowych cyfr (np. 5555)\u00a0lub trzech jednakowych i czwartej mniejszej lub wi\u0119kszej o 1 (np. 1011 albo 6676);
\n(2) cyfry, z kt\u00f3rych si\u0119 sk\u0142ada, ustaw najpierw w porz\u0105dku rosn\u0105cym, a potem malej\u0105cym, tworz\u0105c w ten spos\u00f3b dwie nowe liczby;
\n(3) odejmij mniejsz\u0105 liczb\u0119 od wi\u0119kszej;
\n(4) powt\u00f3rz etapy (2) i (3) z otrzyman\u0105 r\u00f3\u017cnic\u0105 i powtarzaj z ka\u017cd\u0105 nast\u0119pn\u0105 dot\u0105d, a\u017c r\u00f3\u017cnica si\u0119 „ustabilizuje”.<\/p>\n

Od jakiejkolwiek liczby by\u015bmy nie zacz\u0119li, zawsze najdalej po si\u00f3dmej operacji pojawi si\u0119 r\u00f3\u017cnica r\u00f3wna 6174, kt\u00f3ra w kolejnych odejmowaniach ju\u017c nie b\u0119dzie si\u0119 zmienia\u0107, poniewa\u017c 7641\u00a0– 1467 = 6174.<\/p>\n

Przyk\u0142ad dla liczby 1949 (siedem powt\u00f3rek):
\n9941\u00a0– 1499 = 8442
\n8442\u00a0– 2448 = 5994
\n9954\u00a0– 4995 = 5355
\n5553\u00a0– 3555 = 1998
\n9981\u00a0– 1899 = 8082
\n8820\u00a0– 288\u00a0\u00a0 = 8532
\n8532\u00a0– 2538 = 6174<\/p>\n

Ta osobliwa cecha liczb 4-cyfrowych sprawia, \u017ce 6174 jest bia\u0142ym krukiem, zwanym sta\u0142\u0105 Kaprekara\u00a0– od nazwiska hinduskiego matematyka, kt\u00f3ry odkry\u0142 j\u0105 w roku zaczynaj\u0105cym powy\u017cszy przyk\u0142ad.
\nZ czasem sta\u0142\u0105 Kaprekara zacz\u0119to nazywa\u0107 ka\u017cd\u0105 liczb\u0119 n-cyfrow\u0105, je\u015bli stanowi ona jedyny mo\u017cliwy fina\u0142 opisanego procesu, zwanego algorytmem Kaprekara, dla wszystkich liczb n-cyfrowych – opr\u00f3cz wyj\u0105tk\u00f3w analogicznych do wymienionych w (1). W systemie dziesi\u0119tnym jest jeszcze jedna taka sta\u0142a, „obs\u0142uguj\u0105ca” liczby trzycyfrowe\u00a0– 495. \u0141atwo sprawdzi\u0107, \u017ce spe\u0142nia ona warunek dostateczny, czyli przechodzi sama w siebie po jednorazowej obr\u00f3bce algorytmem (kroki 1-3): 954\u00a0– 459 = 495. Dla n innych ni\u017c 3 i 4 sta\u0142ych Kaprekara nie ma, bo zako\u0144czenie\u00a0stosowania algorytmu mo\u017ce by\u0107 r\u00f3\u017cne\u00a0– najcz\u0119\u015bciej powstaje p\u0119tla, czyli r\u00f3\u017cnice zaczynaj\u0105 si\u0119 cyklicznie powtarza\u0107. Czasem cykl oscyluje mi\u0119dzy dwiema warto\u015bciami, np. dla n =\u00a05 s\u0105 to 53955 i 59994 (95553\u00a0– 35559 = 59994; 99954\u00a0– 45999 = 53955).<\/p>\n

Pora na unikalno\u015b\u0107 liczby 2008. Ot\u00f3\u017c jest ona tak\u017ce sta\u0142\u0105 Kaprekara, czyli bia\u0142ym krukiem –\u00a0dla n = 7 w tr\u00f3jkowym systemie liczbowym. Aby pokaza\u0107, \u017ce w tym wypadku warunek dostateczny jest spe\u0142niony, nale\u017ca\u0142oby najpierw 2008 „utr\u00f3jkowi\u0107”. Wi\u0119kszo\u015b\u0107 redaktor\u00f3w Polityki<\/em> mia\u0142aby z tym problem, ale dla czytelnik\u00f3w \u0141amibloga to\u00a0oczywi\u015bcie pestka, wi\u0119c nie b\u0119d\u0119 wyja\u015bnia\u0142, dlaczego dziesi\u0119tne 2008 r\u00f3wne jest tr\u00f3jkowemu 2202101. Odejmowanie w systemie tr\u00f3jkowym (2221100\u00a0– 11222) chyba te\u017c nie sprawi\u0142oby Pa\u0144stwu k\u0142opotu. R\u00f3\u017cnica\u00a0wynosi 2202101, co potwierdza, \u017ce zapewne mamy do czynienia ze sta\u0142\u0105 Kaprekara. Aby mie\u0107 pewno\u015b\u0107, wypada\u0142oby sprawdzi\u0107 algorytmicznie prawie wszystkie liczby siedmiocyfrowe (liczbomaniacy ju\u017c to zrobili).<\/p>\n

Znam jeszcze dwie sta\u0142e Kaprekara w systemie tr\u00f3jkowym: mniejsz\u0105 – 5-cyfrow\u0105 i wi\u0119ksz\u0105 – 8-cyfrow\u0105. Obie, zapisane w systemie dziesi\u0119tnym, wyst\u0119puj\u0105 w poni\u017cszej \u0142amig\u0142\u00f3wce\u00a0– stanowi\u0105 czynniki mno\u017cenia, kt\u00f3re nale\u017cy rozszyfrowa\u0107.
\nCyfry w zapisie dzia\u0142ania zast\u0105piono kwadracikami. Oznaczone na zielono stanowi\u0105 klucz do rozwi\u0105zania, s\u0105 bowiem „tegoroczne”, czyli ka\u017cdy zas\u0142ania cyfr\u0119 0, 2 lub 8.<\/p>\n

\"Kapre_1.JPG\"<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"

Okazuje si\u0119, \u017ce liczba 2008 ma w\u0142asno\u015b\u0107 absolutnie niezwyk\u0142\u0105, cho\u0107\u00a0nieco zakr\u0119con\u0105. Aby wyja\u015bni\u0107, w czym rzecz, przyda si\u0119 algorytmiczny wst\u0119p. (1) Napisz dowoln\u0105 liczb\u0119 czterocyfrow\u0105, byle nie z\u0142o\u017con\u0105 z czterech jednakowych cyfr (np. 5555)\u00a0lub trzech jednakowych i czwartej mniejszej lub wi\u0119kszej o 1 (np. 1011 albo 6676); (2) cyfry, z kt\u00f3rych si\u0119 sk\u0142ada, ustaw najpierw […]<\/p>\n","protected":false},"author":3,"featured_media":0,"comment_status":"open","ping_status":"open","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":{"footnotes":""},"categories":[1],"tags":[],"_links":{"self":[{"href":"https:\/\/blog.polityka.pl\/penszko\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/160"}],"collection":[{"href":"https:\/\/blog.polityka.pl\/penszko\/wp-json\/wp\/v2\/posts"}],"about":[{"href":"https:\/\/blog.polityka.pl\/penszko\/wp-json\/wp\/v2\/types\/post"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/blog.polityka.pl\/penszko\/wp-json\/wp\/v2\/users\/3"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/blog.polityka.pl\/penszko\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=160"}],"version-history":[{"count":0,"href":"https:\/\/blog.polityka.pl\/penszko\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/160\/revisions"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/blog.polityka.pl\/penszko\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=160"}],"wp:term":[{"taxonomy":"category","embeddable":true,"href":"https:\/\/blog.polityka.pl\/penszko\/wp-json\/wp\/v2\/categories?post=160"},{"taxonomy":"post_tag","embeddable":true,"href":"https:\/\/blog.polityka.pl\/penszko\/wp-json\/wp\/v2\/tags?post=160"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}