\n5, 6, 7, 8, 9, 10
\nwybrano dwie takie, \u017ce:
\n– r\u00f3\u017cnica ich kwadrat\u00f3w jest sze\u015bcianem,
\n– r\u00f3\u017cnica ich sze\u015bcian\u00f3w jest kwadratem.
\nJakie to liczby?<\/em><\/p>\n
Zadanie jest prost\u0105 wyliczank\u0105 i ciekawostk\u0105 liczbowo-retoryczn\u0105 (sformu\u0142owanie dw\u00f3ch warunk\u00f3w kojarzy si\u0119 z anastrof\u0105). Jak s\u0142usznie zauwa\u017cy\u0142 Micha\u0142, drugiego warunku mog\u0142oby nie by\u0107, ale wtedy nie by\u0142oby ciekawostki. Do niej w\u0142a\u015bnie nawi\u0105za\u0142 Esteon, sugeruj\u0105c przerobienie pestki na orzech:
\n„Ciekawe, na ile to zadanie jest rozwi\u0105zywalne w pe\u0142nej og\u00f3lno\u015bci, tj. w liczbach naturalnych”.<\/p>\n
Chodzi\u0142oby wi\u0119c o szukanie par liczb, kt\u00f3rych kwadraty r\u00f3\u017cni\u0105 si\u0119 o sze\u015bcian, a sze\u015bciany o kwadrat, czyli wzorowo:<\/p>\n
x^2 – y^2 = a^3
\nx^3 – y^3 = b^2<\/p>\n
Mamy wi\u0119c uk\u0142ad dw\u00f3ch r\u00f3wna\u0144 diofantycznych trzeciego stopnia z czterema niewiadomymi, kt\u00f3ry jest ciekawy, ale jednak – \u017ce tak powiem – rozrywkowy inaczej. Mo\u017cna by pr\u00f3bowa\u0107 przekszta\u0142ca\u0107 r\u00f3wnania, aby doj\u015b\u0107 do czego\u015b „strawnego”, zaczynaj\u0105c np. od wzor\u00f3w skr\u00f3conego mno\u017cenia:<\/p>\n
(x – y)(x + y) = a^3
\n(x – y)(x^2 + xy + y^2) = b^2<\/p>\n
Dalsza obr\u00f3bka by\u0142aby jednak tak \u017cmudna, wymagaj\u0105ca wprowadzania tylu podstawie\u0144 i prowadz\u0105ca do tak kobylastych wzor\u00f3w, \u017ce ja dzi\u0119kuj\u0119. Pro\u015bciej i skuteczniej zatrudni\u0107 komputer. Drug\u0105 pestk\u0119 – tym razem z wpisu z 10 sierpnia – sam zmieni\u0142em w orzech. W \u0142atwym wcieleniu brzmia\u0142a tak:
\nNajmniejsza para – (I)[10, 6] – jest rozwi\u0105zaniem pestki. Dalej mamy niesko\u0144czony ci\u0105g takich par. Oto cztery kolejne:
\n(II)[640, 384],\u00a0 (III)[7290, 4374],\u00a0 (IV)[8954, 5687],\u00a0 (V)[70434, 64350], …
\nDalszych nie znam. Gdyby kto\u015b pozna\u0142, wdzi\u0119czny b\u0119d\u0119 za podzielenie si\u0119 odkryciem. A przy okazji pro\u015bba o odpowied\u017a na pytanie o jeszcze jedn\u0105 potencjaln\u0105 ciekawostk\u0119:
\nSuma i<\/strong>\/lub<\/strong> r\u00f3\u017cnica liczb tworz\u0105cych ka\u017cd\u0105 z pi\u0119ciu pierwszych par jest kwadratem (dla pierwszych trzech par jest „i<\/strong>„, dla dw\u00f3ch nast\u0119pnych – „lub<\/strong>„). Czy ta w\u0142asno\u015b\u0107 jest regu\u0142\u0105 dla wszystkich par?<\/p>\n
\nJe\u015bli do k\u00f3\u0142ek wpisa\u0107 dziewi\u0119\u0107 r\u00f3\u017cnych cyfr (od 1 do 9) tak, aby suma czterech liczb na ka\u017cdym boku tr\u00f3jk\u0105ta wynosi\u0142a 17, to jakie cyfry znajd\u0105 si\u0119 w naro\u017cnych k\u00f3\u0142kach?<\/em><\/p>\n
![\"\"](\"\/wp-content\/uploads\/2011\/07\/PnO_1.jpg\" "\\"PnO_1\\"")
<\/a><\/p>\n