{"id":2125,"date":"2011-08-25T07:33:36","date_gmt":"2011-08-25T05:33:36","guid":{"rendered":"http:\/\/penszko.blog.polityka.pl\/?p=2125"},"modified":"2011-08-25T07:37:26","modified_gmt":"2011-08-25T05:37:26","slug":"dwie-loterie","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/blog.polityka.pl\/penszko\/2011\/08\/25\/dwie-loterie\/","title":{"rendered":"Dwie loterie"},"content":{"rendered":"

Dosta\u0142em do recenzji ksi\u0105\u017ck\u0119 wydan\u0105 przez szacowne Wydawnictwo Literackie i w zwi\u0105zku z tym poczu\u0142em si\u0119 troch\u0119 jak krytyk literacki. Dzie\u0142o (350 stron) dotyczy wprawdzie nauki \u015bcis\u0142ej – matematyki, ale podanej w bardzo przyst\u0119pnej, popularnej, rzek\u0142bym humanistycznej formie. Autorem jest kosmolog, fizyk i matematyk z Cambridge profesor John D. Barrow, znany ju\u017c polskiemu czytelnikowi z kilku pozycji (Pi razy drzwi<\/em>, Teorie wszystkiego…<\/em>, Pocz\u0105tek Wszech\u015bwiata<\/em>, Ksi\u0119ga niesko\u0144czono\u015bci<\/em>). Najnowsza\u00a0 –\u00a0 Jak wygra\u0107 na loterii? Czyli z matematyk\u0105 na co dzie\u0144<\/em> – jest zbiorem stu bardzo kr\u00f3tkich esej\u00f3w na temat matematycznych aspekt\u00f3w r\u00f3\u017cnych zjawisk, proces\u00f3w lub po prostu zdarze\u0144 – najcz\u0119\u015bciej takich, kt\u00f3re z r\u00f3\u017cnych wzgl\u0119d\u00f3w s\u0105 nam bliskie. Pisana ze swad\u0105, okraszona humorem, obfituje w ciekawostki, wi\u0119c wci\u0105ga, zw\u0142aszcza je\u015bli kto\u015b zapomnia\u0142, czego si\u0119 uczy\u0142 w szkole, bo sporo tekst\u00f3w dotyczy spraw elementarnych. Kr\u00f3tko m\u00f3wi\u0105c, to godne polecenia czytad\u0142o, zw\u0142aszcza dla laik\u00f3w, do konsumpcji na raty, bo ka\u017cdy tekst stanowi odr\u0119bn\u0105 ca\u0142o\u015b\u0107 na par\u0119 minut przyjemnego z po\u017cytecznym.
\nNie by\u0142bym oczywi\u015bcie sob\u0105, gdybym nie zapolowa\u0142 na b\u0142\u0119dy (to krzepi\u0105ce utwierdzi\u0107 si\u0119 w przekonaniu, \u017ce inni tak\u017ce je pope\u0142niaj\u0105), kt\u00f3re okaza\u0142o si\u0119 wyj\u0105tkowo owocne, bo na takiego pi\u0119trowego byka, jak tym razem, dot\u0105d nie trafi\u0142em.<\/p>\n

W trakcie wyja\u015bniania, na czym polega trudno\u015b\u0107 obliczeniowa, pojawia si\u0119 przyk\u0142ad (strona 98):<\/p>\n

we\u017amy na pocz\u0105tek co\u015b, co pozornie wydaje si\u0119 proste: znajd\u017amy dwie liczby pierwsze sk\u0142adaj\u0105ce si\u0119 na sum\u0119 389965026822507.<\/em><\/p>\n

W pierwszej chwili sprawa wydaje si\u0119 nie tylko prosta, ale wr\u0119cz trywialna, bo je\u015bli dwie liczby pierwsze maj\u0105 sk\u0142ada\u0107 si\u0119 na nieparzyst\u0105 sum\u0119, to jedna z nich musi by\u0107 dw\u00f3jk\u0105, ale wtedy druga nie b\u0119dzie liczb\u0105 pierwsz\u0105, bo na ko\u0144cu pojawi si\u0119 pi\u0105tka. Tymczasem w ksi\u0105\u017cce podane jest rozwi\u0105zanie: 5569 + 389965026819938<\/em>.<\/p>\n

Gdy zobaczy\u0142em gigantyczn\u0105 parzyst\u0105 liczb\u0119 pierwsz\u0105 natychmiast zajrza\u0142em do angielskiego orygina\u0142u, a tam… nie ma ani takiego zadania, ani tym bardziej rozwi\u0105zania. Sk\u0105d si\u0119 wzi\u0119\u0142o w polskim przek\u0142adzie\u00a0 – oto zagadka.<\/p>\n

Komu nieobca jest hipoteza Goldbacha, a zw\u0142aszcza zwi\u0105zane z ni\u0105 ciekawostki, ten zapewne sam szybko skoryguje b\u0142\u0105d. Dla pozosta\u0142ych kr\u00f3tkie wyja\u015bnienie.<\/p>\n

Ka\u017cda liczba naturalna parzysta 2n>2 jest sum\u0105 dw\u00f3ch liczb pierwszych p i q<\/strong> – tak brzmi wspomniana hipoteza. Na przyk\u0142ad 12 mo\u017cna rozbi\u0107, czyli przedstawi\u0107 jako sum\u0119 p i q na jeden spos\u00f3b (5 + 7), ale ka\u017cde 2n>12 – na co najmniej dwa sposoby. Liczb\u0119 68 da si\u0119 podzieli\u0107 na dwa sposoby (7 + 61 i 31 + 37), ale ka\u017cde 2n>68 – na co najmniej trzy sposoby. 128 – na trzy sposoby (19 + 109, 31 + 97, 61 + 67), ale je\u015bli 2n>128, to b\u0119d\u0105 przynajmniej cztery sposoby itd. Jak wida\u0107 liczba rozbi\u0107 (podzia\u0142\u00f3w, partycji) ro\u015bnie wraz ze wzrostem liczby 2n, cho\u0107 nie jest to ci\u0105g monotoniczny, czyli trafiaj\u0105 si\u0119 w nim g\u00f3rki i do\u0142ki. Na przyk\u0142ad, cho\u0107 68 dzieli si\u0119 tylko na dwa sposoby, to 60 – na sze\u015b\u0107 sposob\u00f3w.<\/p>\n

Nazwijmy podzia\u0142em ekstremalnym danej liczby 2n tak\u0105 partycj\u0119, w kt\u00f3rej r\u00f3\u017cnica (q – p) jest najwi\u0119ksza (q>p), czyli p jest najmniejsze (pmin<\/sub>). Ci\u0105g pmin <\/sub>dla kolejnych 2n jest ci\u0105giem „skacz\u0105cym”, ale osi\u0105ga maksimum, kt\u00f3rego jak dot\u0105d nie przeskoczy\u0142 (sprawdzono przy u\u017cyciu komputera dla wszystkich 2n<12\u00d71017<\/sup>). To maksimum wynosi 5569 dla 2n = 389965026819938. Inaczej m\u00f3wi\u0105c, tej d\u0142ugiej liczby nie mo\u017cna przedstawi\u0107 w postaci sumy dw\u00f3ch liczb pierwszych, z kt\u00f3rych mniejsza b\u0119dzie mniejsza od 5569.
\nI ju\u017c jeste\u015bmy blisko poprawki. Zadanie-polecenie w ksi\u0105\u017cce powinno brzmie\u0107 tak:<\/p>\n

we\u017amy na pocz\u0105tek co\u015b, co pozornie wydaje si\u0119 proste: znajd\u017amy dwie liczby pierwsze\u00a0 sk\u0142adaj\u0105ce si\u0119 na sum\u0119 389965026819938, ale takie, mi\u0119dzy kt\u00f3rymi r\u00f3\u017cnica b\u0119dzie najwi\u0119ksza<\/em> (wcale nie wydaje mi si\u0119 to pozornie proste).<\/p>\n

Rozwi\u0105zanie: 5569 + 389965026814369.
\nGdyby kto\u015b mia\u0142 w\u0105tpliwo\u015bci, mo\u017ce skorzysta\u0107 z testera liczb pierwszych<\/a>.<\/p>\n

Na koniec wr\u00f3\u0107my do loterii, nie zapominaj\u0105c o liczbach pierwszych. \u015aci\u015blej, chodzi o gr\u0119 liczbow\u0105 typu Lotto i typowy kupon:<\/p>\n

\"\"<\/a><\/p>\n

Zasady tak\u017ce s\u0105 typowe – graj\u0105cy skre\u015bla sze\u015b\u0107 liczb.
\nPanowie A, B i C maj\u0105 ustalone, og\u00f3lne sposoby gry.
\nA skre\u015bla najpierw cztery mniejsze liczby, a potem dwie wi\u0119ksze, ale takie, kt\u00f3rych suma r\u00f3wna jest sumie czterech mniejszych.
\nB uwa\u017ca, aby w \u017cadnym wierszu, ani w \u017cadnej kolumnie nie znalaz\u0142a si\u0119 wi\u0119cej ni\u017c jedna skre\u015blona liczba.
\nC skre\u015bla tylko liczby pierwsze.
\nCzy jest mo\u017cliwe, aby wszyscy trzej trafili sz\u00f3stk\u0119 w tym samym losowaniu, czyli aby ka\u017cdy z nich skre\u015bli\u0142 jednakowe liczby? Je\u015bli tak, to jakie?<\/p>\n

Komentarze z prawid\u0142owymi<\/strong> rozwi\u0105zaniami uwalniane s\u0105 wieczorem w przeddzie\u0144 kolejnego wpisu. Wpisy pojawiaj\u0105 si\u0119 co 3-4 dni.<\/sub><\/em><\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"

Dosta\u0142em do recenzji ksi\u0105\u017ck\u0119 wydan\u0105 przez szacowne Wydawnictwo Literackie i w zwi\u0105zku z tym poczu\u0142em si\u0119 troch\u0119 jak krytyk literacki. Dzie\u0142o (350 stron) dotyczy wprawdzie nauki \u015bcis\u0142ej – matematyki, ale podanej w bardzo przyst\u0119pnej, popularnej, rzek\u0142bym humanistycznej formie. Autorem jest kosmolog, fizyk i matematyk z Cambridge profesor John D. Barrow, znany ju\u017c polskiemu czytelnikowi z […]<\/p>\n","protected":false},"author":3,"featured_media":0,"comment_status":"open","ping_status":"open","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":{"footnotes":""},"categories":[1],"tags":[],"_links":{"self":[{"href":"https:\/\/blog.polityka.pl\/penszko\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/2125"}],"collection":[{"href":"https:\/\/blog.polityka.pl\/penszko\/wp-json\/wp\/v2\/posts"}],"about":[{"href":"https:\/\/blog.polityka.pl\/penszko\/wp-json\/wp\/v2\/types\/post"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/blog.polityka.pl\/penszko\/wp-json\/wp\/v2\/users\/3"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/blog.polityka.pl\/penszko\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=2125"}],"version-history":[{"count":12,"href":"https:\/\/blog.polityka.pl\/penszko\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/2125\/revisions"}],"predecessor-version":[{"id":2145,"href":"https:\/\/blog.polityka.pl\/penszko\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/2125\/revisions\/2145"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/blog.polityka.pl\/penszko\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=2125"}],"wp:term":[{"taxonomy":"category","embeddable":true,"href":"https:\/\/blog.polityka.pl\/penszko\/wp-json\/wp\/v2\/categories?post=2125"},{"taxonomy":"post_tag","embeddable":true,"href":"https:\/\/blog.polityka.pl\/penszko\/wp-json\/wp\/v2\/tags?post=2125"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}