![\"\"](\"\/wp-content\/uploads\/2011\/10\/Ck_1.jpg\" "\\"Ck_1\\"")
<\/a><\/p>\nCo to ma wsp\u00f3lnego z ci\u0105giem pi\u015bni\u0119\u0107 Kurczaka Ma\u0142ego z wpisu poprzedniego?
\nPI, PIIP, PIIPIPPI, PIIPIPPIIPPIPIIP,…<\/p>\n
Najpierw przywr\u00f3\u0107my ci\u0105gowi form\u0119 matematyczn\u0105, czyli binarn\u0105, zast\u0119puj\u0105c litery P zerami, a litery I jedynkami:
\n01, 0110, 01101001, 0110100110010110,…
\nA teraz „powi\u0119kszamy” (lupa lub luneta) pierwszy wyraz i zauwa\u017camy (prosz\u0119 uruchomi\u0107 wyobra\u017ani\u0119), \u017ce w istocie zero jest par\u0105 01, a jedynka par\u0105 10 – tak powstaje drugi wyraz. Nast\u0119pnie przybli\u017camy drugi wyraz i dostrzegamy to samo – zera zmieniaj\u0105 si\u0119 w zero-jedynki, a jedynki w jedynko-zera i mamy trzeci wyraz. Najazd kamery na trzeci wyraz powoduje analogiczny efekt – pojawia si\u0119 czwarty wyraz itd.
\nMo\u017cna te\u017c inaczej. Oddalamy si\u0119 od jakiego\u015b d\u0142ugiego, np. 1024-cyfrowego wyrazu i „tracimy z oczu” cyfry na miejscach parzystych (za\u0142\u00f3\u017cmy, \u017ce s\u0105 mniejsze). Co zobaczymy? Oczywi\u015bcie poprzedni wyraz.
\nJest jeszcze kilka innych, ju\u017c niefraktalnych sposob\u00f3w tworzenia kolejnych wyraz\u00f3w tego osobliwego ci\u0105gu. Najpopularniejszy polega na tym, \u017ce ka\u017cdy kolejny wyraz powstaje przez dopisanie do poprzedniego „negatywu” jego kopii (zera zast\u0105pione s\u0105 jedynkami, a jedynki zerami).
\nWreszcie spos\u00f3b, na kt\u00f3ry zwr\u00f3ci\u0142o uwag\u0119 kilku komentator\u00f3w, zaczynaj\u0105cy si\u0119 od ci\u0105gu, kt\u00f3ry jest dziesi\u0119tnym odpowiednikiem binarnego:
\n01, 0123, 01234567, 0123456789(10)(11)(12)(13)(14)(15),…
\nAby otrzyma\u0107 nasz ci\u0105g binarny, wystarczy ka\u017cd\u0105 liczb\u0119 (0, 1, 2, 3,…10, 11, 12…) w wyrazie zast\u0105pi\u0107:
\n– zerem, je\u015bli liczba jedynek w jej zapisie dw\u00f3jkowym jest parzysta,
\n– jedynk\u0105, je\u015bli liczba jedynek jest nieparzysta.<\/p>\n
Bardzo trudno by\u0142o dostrzec zwi\u0105zek mi\u0119dzy ci\u0105giem binarnym a dziesi\u0119tnym, ale umo\u017cliwia\u0142o to zastosowanie najprostszego sposobu uporania si\u0119 z zadaniem. Wystarczy\u0142o liczb\u0119 988 (odpowiada jej 2011 litera w ci\u0105gu pi\u015bni\u0119\u0107) zapisa\u0107 w systemie dw\u00f3jkowym i policzy\u0107 jedynki w zapisie. Kolejne zadanie wi\u0105\u017ce si\u0119 z ca\u0142kiem innym ci\u0105giem. Nie b\u0119dzie to wprawdzie dobrze znany ci\u0105g Fibonacciego, ale zaczn\u0119 od niego: Prosz\u0119 znale\u017a\u0107 ci\u0105g rosn\u0105cy z\u0142o\u017cony z kwadrat\u00f3w liczb naturalnych, zaczynaj\u0105cy si\u0119 od jak najmniejszego kwadratu, w kt\u00f3rym suma ka\u017cdej pary kolejnych liczb jest kwadratem.<\/strong><\/p>\n
\nKto za\u015b odkry\u0142 spos\u00f3b tworzenia ci\u0105gu przez dopisywanie negatyw\u00f3w kopii wyraz\u00f3w, ten mia\u0142 d\u0142u\u017csz\u0105 drog\u0119 do celu. Oznaczaj\u0105c d(n) jako n-t\u0105 liter\u0119 w wyrazie z\u0142o\u017conym z 1024 znak\u00f3w nale\u017ca\u0142o zauwa\u017cy\u0107, \u017ce d(1)=0, d(2)=1, d(4)=0, d(8)=1, d(16)=0, czyli og\u00f3lnie d(2^k )= k(mod2). Je\u015bli za\u015b n nie jest pot\u0119g\u0105 dw\u00f3jki to d(n) = 1 – d(n-2^t), gdzie 2^t jest najwi\u0119ksz\u0105 pot\u0119g\u0105 dw\u00f3jki mniejsz\u0105 od n.
\nZatem d(989) = 1 – d(989-512) = 1 – d(477) = 1 – (1 – d(477-256) = d(221) = 1 – d(221-128) = 1 – d(93) = 1 – (1 – d(93-64) = d(29) = 1 – d(29-16) = 1 – d(13) = 1 – (1 – d(13-8)= d(5) = 1 – d(5-4)= 1 – d(1) = 1 – 0 = 1, czyli 2011 liter\u0105 jest I.
\nTaki spos\u00f3b, cho\u0107 w bardziej zwi\u0119z\u0142ej formie, przedstawi\u0142 w komentarzu m. in. uch<\/strong>.
\nWiele innych ciekawych informacji dotycz\u0105cych tego niezwyk\u0142ego ci\u0105gu mo\u017cna znale\u017a\u0107 np. w angielskiej Wikipedii pod has\u0142em „Thue-Morse sequence<\/a>„.<\/p>\n
\n0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89,…
\nTo wariant podstawowy, klasyczny, ale w zasadzie ka\u017cdy ci\u0105g utworzony na identycznej zasadzie – ka\u017cdy nast\u0119pny wyraz (od trzeciego) jest sum\u0105 dw\u00f3ch poprzednich – zaczynaj\u0105cy si\u0119 od dw\u00f3ch dowolnych liczb, jest ci\u0105giem Fibonacciego albo przynajmniej jego wariantem.
\nCzy istnieje ci\u0105g Fibonacciego z\u0142o\u017cony wy\u0142\u0105cznie z kwadrat\u00f3w liczb naturalnych? Nie i \u0142atwo to udowodni\u0107. W takim razie z\u0142agodzimy warunki:<\/p>\n