{"id":241,"date":"2008-10-07T07:55:28","date_gmt":"2008-10-07T06:55:28","guid":{"rendered":"http:\/\/penszko.blog.polityka.pl\/?p=241"},"modified":"2010-10-25T15:46:01","modified_gmt":"2010-10-25T13:46:01","slug":"potega-poteg","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/blog.polityka.pl\/penszko\/2008\/10\/07\/potega-poteg\/","title":{"rendered":"Pot\u0119ga pot\u0119g"},"content":{"rendered":"<p>Zdaniem Gaussa matematyka jest kr\u00f3low\u0105 nauk, a kr\u00f3low\u0105 matematyki jest teoria liczb. Mo\u017cna mie\u0107 w\u0105tpliwo\u015bci do drugiej cz\u0119\u015bci tego stwierdzenia, ale wypada uzna\u0107, \u017ce\u00a0na dworze teorii liczb pierwsze\u0144stwo\u00a0nale\u017cy si\u0119\u00a0liczbom pierwszym, a o pot\u0119dze dworu decyduj\u0105 mi\u0119dzy innymi\u00a0pot\u0119gi. Spektakularnym przejawem pot\u0119gi pot\u0119g jest\u00a0cho\u0107by wielkie twierdzenie Fermata, a w ostatnich latach tak\u017ce twierdzenia zwi\u0105zane z ci\u0105giem pot\u0119gowym, czyli z\u0142o\u017conym z wszystkich liczb o wzorze og\u00f3lnym <strong>x^a<\/strong>, gdzie <strong>x<\/strong> i <strong>a<\/strong> to liczby ca\u0142kowite dodatnie oraz <strong>a<\/strong>\u00a0&gt;= 2. Oto pierwsza setka:<\/p>\n<p>1, 4, 8, 9, 16, 25, 27, <strong>32<\/strong>, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 125, <strong>128<\/strong>, 144, 169, 196, 216, 225, <strong>243<\/strong>, 256, 289, 324, 343, 361, 400, 441, 484, 512, 529, 576, 625, 676, 729, 784, 841, 900, 961, 1000, 1024, 1089, 1156, 1225, 1296, 1331, 1369, 1444, 1521, 1600, 1681, 1728, 1764, 1849, 1936, 2025, <strong>2048<\/strong>, 2116, <strong>2187<\/strong>, 2197, 2209, 2304, 2401, 2500, 2601, 2704, 2744, 2809, 2916, 3025, <strong>3125<\/strong>, 3136, 3249, 3364, 3375, 3481, 3600, 3721, 3844, 3969, 4096, 4225, 4356, 4489, 4624, 4761, 4900, 4913, 5041, 5184, 5329, 5476, 5625, 5776, 5832, 5929, 6084, 6241, 6400.<\/p>\n<p>Ci\u0105g jest oczywi\u015bcie zdominowany przez kwadraty i sze\u015bciany. Inne pot\u0119gi,\u00a0kt\u00f3rych wyk\u0142adniki nie s\u0105 wielokrotno\u015bci\u0105 2 ani 3,\u00a0tkwi\u0105 w nim jak rodzynki w cie\u015bcie (wyt\u0142uszczone). Matematycy od dawna pr\u00f3buj\u0105 doszukiwa\u0107 si\u0119 w tym nie ko\u0144cz\u0105cym si\u0119\u00a0ogonku r\u00f3\u017cnych prawid\u0142owo\u015bci, zwracaj\u0105c szczeg\u00f3ln\u0105 uwag\u0119 na r\u00f3\u017cnice mi\u0119dzy kolejnymi liczbami.<\/p>\n<p>W XVII wieku Fermat wysun\u0105\u0142 hipotez\u0119, \u017ce 25 i 27 to jedyna para kwadrat-sze\u015bcian r\u00f3\u017cni\u0105ca si\u0119 o 2, po czym wyzwa\u0142 dw\u00f3ch uczonych angielskich (John Wallis, Kenelm Digby) na pojedynek polegaj\u0105cy na znalezieniu dowodu twierdzenia sformu\u0142owanego nieco bardziej \u0142amig\u0142\u00f3wkowo: <em>26 jest jedyn\u0105 liczb\u0105 &#8222;wci\u015bni\u0119t\u0105&#8221; mi\u0119dzy kwadrat i sze\u015bcian<\/em>. Formalnie nale\u017ca\u0142o wykaza\u0107, \u017ce r\u00f3wnanie\u00a0y^2 = x^3\u00a0&#8211; 2 ma tylko jedno rozwi\u0105zanie dla liczb ca\u0142kowitych dodatnich: 5^2 = 3^3\u00a0&#8211; 2. Sprytny Fermat nie m\u00f3g\u0142 przegra\u0107, gdy\u017c trudny, wieloetapowy dow\u00f3d przygotowa\u0142 sobie wcze\u015bniej. Koniec ko\u0144c\u00f3w zapewni\u0142o mu to zwyci\u0119stwo, bo Anglicy poddali si\u0119.<\/p>\n<p>Czy s\u0142uszna jest tak\u017ce szersza hipoteza, \u017ce 26 to jedyna liczba wci\u015bni\u0119ta miedzy dwie pot\u0119gi? Nie ma co do tego pewno\u015bci i pewnie jeszcze d\u0142ugo nie b\u0119dzie. W roku 2002 rumu\u0144ski matematyk Pred Mih\u0103ilescu udowodni\u0142 bli\u017aniacz\u0105 hipotez\u0119 z roku 1844, zwan\u0105 przypuszczeniem Catalana: 8 i 9\u00a0to jedyna para pot\u0119g, kt\u00f3re s\u0105 do siebie przytulone, czyli niczego mi\u0119dzy nie nie wci\u015bni\u0119to, nic ich nie dzieli. Inaczej m\u00f3wi\u0105c: jedynym rozwi\u0105zaniem r\u00f3wnania x^a\u00a0&#8211; y^b = 1 jest 3^2\u00a0&#8211; 2^3 = 1.<\/p>\n<p>Po wzmiankach o dowodach ekstremalnie trudnych pora na zadanie pot\u0119gowe ekstremalnie rozrywkowe.<\/p>\n<p><em>Z okazji nieokr\u0105g\u0142ej n-tej rocznicy szale\u0144stwa pewien zwariowany matematyk wyda\u0142 bankiet, na kt\u00f3ry zaprosi\u0142 n znajomych. Program bankietu obfitowa\u0142 w odjazdowe pomys\u0142y, a wst\u0119p mieli tylko ci, kt\u00f3rzy na zaproszeniu wpisali liczb\u0119 r\u00f3wn\u0105 n^15 obliczon\u0105&#8230; r\u0119cznie. Liczenie &#8222;na piechot\u0119&#8221; mia\u0142o by\u0107 wykonane w obecno\u015bci notariusza i po\u015bwiadczone przez niego stemplem i podpisem umieszczonymi na zaproszeniu pod wynikiem. Wbrew pozorom rachowanie nie by\u0142o zbyt \u017cmudne. Wystarczy\u0142o wykona\u0107 pi\u0119\u0107 dzia\u0142a\u0144: n x n, n^2 x n^2, n^4 x n^4, n^8 x n^8, n^16 : n. Na bankiecie by\u0142o wi\u0119c t\u0142umnie, a szalonego matematyka zirytowa\u0142 nadmiar go\u015bci i postanowi\u0142 radykalnie zaostrzy\u0107 kryteria wst\u0119pu w kolejnym roku. Zarz\u0105dzi\u0142, aby na zaproszeniu pojawi\u0142a si\u0119 liczba (n+1)^1000. Normalniejsi koledzy z trudem mu wyperswadowali, \u017ce w takiej sytuacji na bankiet nie dostanie si\u0119 nikt, cho\u0107by dlatego, \u017ce &#8222;wej\u015bci\u00f3wka&#8221; b\u0119dzie d\u0142ugim zwojem zapisanym cyframi, a sprawdzenie, czy liczba jest w\u0142a\u015bciwa, zajmie wi\u0119cej czasu, ni\u017c bankiet. Zaproponowali, aby na zaproszeniu wpisywa\u0107 liczb\u0119 okre\u015blaj\u0105c\u0105, ile co najmniej dzia\u0142a\u0144 nale\u017cy wykona\u0107, aby obliczy\u0107 warto\u015b\u0107 (n+1)^1000. Zwariowany matematyk przysta\u0142 na to<\/em>.<\/p>\n<p>Jak\u0105 liczb\u0119 wpisaliby Pa\u0144stwo, aby mie\u0107 zapewnione bankietowanie?<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>Zdaniem Gaussa matematyka jest kr\u00f3low\u0105 nauk, a kr\u00f3low\u0105 matematyki jest teoria liczb. Mo\u017cna mie\u0107 w\u0105tpliwo\u015bci do drugiej cz\u0119\u015bci tego stwierdzenia, ale wypada uzna\u0107, \u017ce\u00a0na dworze teorii liczb pierwsze\u0144stwo\u00a0nale\u017cy si\u0119\u00a0liczbom pierwszym, a o pot\u0119dze dworu decyduj\u0105 mi\u0119dzy innymi\u00a0pot\u0119gi. Spektakularnym przejawem pot\u0119gi pot\u0119g jest\u00a0cho\u0107by wielkie twierdzenie Fermata, a w ostatnich latach tak\u017ce twierdzenia zwi\u0105zane z ci\u0105giem pot\u0119gowym, [&hellip;]<\/p>\n","protected":false},"author":3,"featured_media":0,"comment_status":"open","ping_status":"open","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":{"footnotes":""},"categories":[1],"tags":[],"_links":{"self":[{"href":"https:\/\/blog.polityka.pl\/penszko\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/241"}],"collection":[{"href":"https:\/\/blog.polityka.pl\/penszko\/wp-json\/wp\/v2\/posts"}],"about":[{"href":"https:\/\/blog.polityka.pl\/penszko\/wp-json\/wp\/v2\/types\/post"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/blog.polityka.pl\/penszko\/wp-json\/wp\/v2\/users\/3"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/blog.polityka.pl\/penszko\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=241"}],"version-history":[{"count":0,"href":"https:\/\/blog.polityka.pl\/penszko\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/241\/revisions"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/blog.polityka.pl\/penszko\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=241"}],"wp:term":[{"taxonomy":"category","embeddable":true,"href":"https:\/\/blog.polityka.pl\/penszko\/wp-json\/wp\/v2\/categories?post=241"},{"taxonomy":"post_tag","embeddable":true,"href":"https:\/\/blog.polityka.pl\/penszko\/wp-json\/wp\/v2\/tags?post=241"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}