{"id":2971,"date":"2012-01-14T00:47:14","date_gmt":"2012-01-13T23:47:14","guid":{"rendered":"http:\/\/penszko.blog.polityka.pl\/?p=2971"},"modified":"2012-01-14T00:59:24","modified_gmt":"2012-01-13T23:59:24","slug":"pentagram-bez-magii","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/blog.polityka.pl\/penszko\/2012\/01\/14\/pentagram-bez-magii\/","title":{"rendered":"Pentagram bez magii"},"content":{"rendered":"

Pod koniec XIX wieku Dudeney jako pierwszy si\u0119gn\u0105\u0142 gwiazd – magicznych i logicznych oczywi\u015bcie. Zacz\u0105\u0142 od pi\u0119cioramiennej, czyli od pi\u0119ciok\u0105ta gwia\u017adzistego zwanego te\u017c pentagramem:<\/p>\n

\"\"<\/a><\/p>\n

i wymy\u015bli\u0142 \u0142amig\u0142\u00f3wk\u0119, kt\u00f3ra po rzuceniu okiem na rysunek w\u0142a\u015bciwie wymy\u015bla si\u0119 sama:<\/strong><\/p>\n

Liczby od 1 do 10 wpisz do k\u00f3\u0142ek tak, aby suma czterech liczb na ka\u017cdym boku pi\u0119ciok\u0105ta by\u0142a jednakowa.<\/strong><\/p>\n

Arytmetycznie niby wszystko gra. Suma liczb = 55, ka\u017cda znajdzie si\u0119 na dw\u00f3ch bokach, czyli suma pi\u0119ciu sum wyniesie 110, a zatem na ka\u017cd\u0105 sum\u0119 czterech liczb przypadnie 22. Okaza\u0142o si\u0119 jednak, \u017ce zadanie by\u0142oby dobre, ale na prima aprilis, bowiem z kombinatorycznego punktu widzenia sprawa si\u0119 rypie. Kr\u00f3tko m\u00f3wi\u0105c, rozwi\u0105zania, czyli klasycznego pentagramu magicznego nie ma i nie tak \u0142atwo to udowodni\u0107, tzn. jest z tym troch\u0119 d\u0142ubaniny. Spr\u00f3bujmy przeprowadzi\u0107 taki dow\u00f3d mo\u017cliwie sprytnie i bezbole\u015bnie.<\/p>\n

Czw\u00f3rkowych zestaw\u00f3w wybranych z kompletu 1-10, kt\u00f3rych suma r\u00f3wna jest 22, mamy 18:<\/p>\n

(10,9,2,1) (10,8,3,1) (10,7,4,1) (10,7,3,2) (10,6,5,1) (10,6,4,2) (10,5,4,3) (9,8,4,1) (9,8,3,2) (9,7,5,1) (9,7,4,2) (9,6,5,2) (9,6,4,3) (8,7,6,1) (8,7,5,2) (8,7,4,3) (8,6,5,3) (7,6,5,4).<\/p>\n

Za\u0142\u00f3\u017cmy na wst\u0119pie, \u017ce na jakim\u015b boku znajdzie si\u0119 pierwsza czw\u00f3rka – (10,9,2,1). Wtedy za po\u015brednictwem 10 musia\u0142aby si\u0119 z ni\u0105 \u0142\u0105czy\u0107 czw\u00f3rka (10,5,4,3), bo inne czw\u00f3rki zawieraj\u0105 wykorzystan\u0105 ju\u017c liczb\u0119 1 lub 2. Niestety, w\u00f3wczas dziewi\u0105tki z pierwszej czw\u00f3rki nie da si\u0119 ju\u017c z niczym skrzy\u017cowa\u0107, bo wszystkie pozosta\u0142e kwartety z dziewi\u0105tk\u0105 zawieraj\u0105 albo jedn\u0105 liczb\u0119 z pierwszej czw\u00f3rki (1 lub 2) albo dwie z drugiej (3 i 4).<\/p>\n

Czy\u017cby koniec dowodu? Prawie, bo wypada\u0142oby jeszcze dowie\u015b\u0107, \u017ce za\u0142o\u017cenie wst\u0119pne w istocie nie jest za\u0142o\u017ceniem, tylko konieczno\u015bci\u0105, czyli czw\u00f3rka (10,9,2,1) musi si\u0119 znale\u017a\u0107 w gwie\u017adzie, je\u015bli mia\u0142oby istnie\u0107 rozwi\u0105zanie. Wbrew pozorom udowodnienie tego jest do\u015b\u0107 proste i kr\u00f3tkie, je\u017celi wpa\u015b\u0107 na pomys\u0142. Kto wpadnie?<\/p>\n

A mo\u017ce kto\u015b zaproponuje jaki\u015b inny w miar\u0119 prosty dow\u00f3d, \u017ce magiczny pi\u0119ciok\u0105t gwia\u017adzisty z liczbami od 1 do 10 nie istnieje.<\/p>\n

Komentarze z prawid\u0142owymi rozwi\u0105zaniami uwalniane s\u0105 wieczorem w przeddzie\u0144 kolejnego wpisu. Wpisy pojawiaj\u0105 si\u0119 co 3-4 dni.<\/em><\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"

Pod koniec XIX wieku Dudeney jako pierwszy si\u0119gn\u0105\u0142 gwiazd – magicznych i logicznych oczywi\u015bcie. Zacz\u0105\u0142 od pi\u0119cioramiennej, czyli od pi\u0119ciok\u0105ta gwia\u017adzistego zwanego te\u017c pentagramem: i wymy\u015bli\u0142 \u0142amig\u0142\u00f3wk\u0119, kt\u00f3ra po rzuceniu okiem na rysunek w\u0142a\u015bciwie wymy\u015bla si\u0119 sama: Liczby od 1 do 10 wpisz do k\u00f3\u0142ek tak, aby suma czterech liczb na ka\u017cdym boku pi\u0119ciok\u0105ta by\u0142a […]<\/p>\n","protected":false},"author":3,"featured_media":0,"comment_status":"open","ping_status":"open","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":{"footnotes":""},"categories":[1],"tags":[],"_links":{"self":[{"href":"https:\/\/blog.polityka.pl\/penszko\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/2971"}],"collection":[{"href":"https:\/\/blog.polityka.pl\/penszko\/wp-json\/wp\/v2\/posts"}],"about":[{"href":"https:\/\/blog.polityka.pl\/penszko\/wp-json\/wp\/v2\/types\/post"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/blog.polityka.pl\/penszko\/wp-json\/wp\/v2\/users\/3"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/blog.polityka.pl\/penszko\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=2971"}],"version-history":[{"count":19,"href":"https:\/\/blog.polityka.pl\/penszko\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/2971\/revisions"}],"predecessor-version":[{"id":2990,"href":"https:\/\/blog.polityka.pl\/penszko\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/2971\/revisions\/2990"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/blog.polityka.pl\/penszko\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=2971"}],"wp:term":[{"taxonomy":"category","embeddable":true,"href":"https:\/\/blog.polityka.pl\/penszko\/wp-json\/wp\/v2\/categories?post=2971"},{"taxonomy":"post_tag","embeddable":true,"href":"https:\/\/blog.polityka.pl\/penszko\/wp-json\/wp\/v2\/tags?post=2971"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}