{"id":3741,"date":"2012-06-15T00:57:51","date_gmt":"2012-06-14T22:57:51","guid":{"rendered":"http:\/\/penszko.blog.polityka.pl\/?p=3741"},"modified":"2012-06-15T00:57:51","modified_gmt":"2012-06-14T22:57:51","slug":"boisko-kwadratowe","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/blog.polityka.pl\/penszko\/2012\/06\/15\/boisko-kwadratowe\/","title":{"rendered":"Boisko kwadratowe"},"content":{"rendered":"<p>Ze wzgl\u0119du na Euro 2012 ostatnio cz\u0119\u015bciej ni\u017c zwykle gapi\u0119 si\u0119 w telewizor, ale mimo to starcza mi czasu na inne okazjonalne zaj\u0119cia, ot cho\u0107by na lektur\u0119 wydanej niedawno ksi\u0105\u017cki Iana Stewarta <em>Dlaczego prawda jest pi\u0119kna<\/em>. Mo\u017cna by s\u0105dzi\u0107, \u017ce to co\u015b filozoficznego, gdyby nie podtytu\u0142: <em>O symetrii w matematyce i fizyce<\/em>. Chodzi g\u0142\u00f3wnie o symetri\u0119 struktur matematycznych, a wi\u0119c poj\u0119cie znacznie szersze ni\u017c to, kt\u00f3rego dotyczy powiedzonko Tuwima &#8222;symetria: estetyka idiot\u00f3w&#8221;. Czytam poniek\u0105d zawodowo, bo w zwi\u0105zku z recenzj\u0105, ale z du\u017c\u0105 przyjemno\u015bci\u0105, poniewa\u017c jest to zdecydowanie inny profesor Stewart, ni\u017c ten, kt\u00f3rego znam z paru innych publikacji. Rzek\u0142bym: Stewart dla maluczkich, czyli w sam raz dla mnie. Poprzednio w powa\u017cnych (bo by\u0142y te\u017c typowo rekreacyjne), ale popularnonaukowych ksi\u0105\u017ckach tego autora (np. <em>Oswajanie niesko\u0144czono\u015bci<\/em> lub <em>St\u0105d do niesko\u0144czono\u015bci<\/em>) nie brakowa\u0142o fragment\u00f3w, z kt\u00f3rymi niezbyt oswojeni z matematyk\u0105 czytelnicy mogli mie\u0107 zgryz ze wzgl\u0119du na zawi\u0142e lub zwi\u0119z\u0142e opisy. Tym razem przeciwnie, jest szczeg\u00f3\u0142owo, jasno i zrozumiale &#8211; czasem do przesady i z przymru\u017ceniem oka, jak dla pierwszoklasisty (np. <em>5<sup>3<\/sup> oznacza pomno\u017cenie 5 przez siebie samo trzy razy, co daje 125, a x<sup>2<\/sup> oznacza x razy x, gdzie x jest symbolem nieznanej liczby<\/em>). Na razie przeczyta\u0142em mniej wi\u0119cej jedn\u0105 trzeci\u0105, ale nie przypuszczam, aby dalej co\u015b si\u0119 radykalnie zmieni\u0142o &#8211; mimo \u017ce czeka mnie m. in. spotkanie z mechanik\u0105 kwantow\u0105, teori\u0105 wzgl\u0119dno\u015bci i teori\u0105 strun &#8211; bo autor na pocz\u0105tku deklarowa\u0142, \u017ce b\u0119dzie o maluczkich pami\u0119ta\u0142, a zw\u0142aszcza o zasadzie: &#8222;zamieszczanie r\u00f3wna\u0144 obni\u017ca sprzeda\u017c dzie\u0142a o po\u0142ow\u0119&#8221;.<\/p>\n<p>W historycznej w\u0119dr\u00f3wce algebraicznej, rozpoczynaj\u0105cej dzie\u0142o, spor\u0105 cz\u0119\u015b\u0107 zajmuj\u0105 dokonania staro\u017cytnych i \u015bredniowiecznych uczonych. Z <em>Arytmetyki<\/em> Diofantosa profesor przytacza jedno zadanie, kt\u00f3re dzi\u015b r\u00f3wnie dobrze mo\u017cna by nazwa\u0107 \u0142amig\u0142\u00f3wk\u0105.<\/p>\n<p><em>Znajd\u017a trzy liczby<\/em> (a, b, c &#8211; ca\u0142kowite dodatnie) <em>takie, \u017ce ich suma i suma ka\u017cdych dw\u00f3ch z nich jest kwadratem<\/em>.<\/p>\n<p>W ksi\u0105\u017cce podana jest odpowied\u017a, ale brak oryginalnego, czyli starogreckiego sposobu rozwi\u0105zywania, kt\u00f3ry wydaje si\u0119 ca\u0142kiem sprytny, wi\u0119c go przytocz\u0119.<br \/>\nDiofantos za\u0142o\u017cy\u0142, \u017ce:<br \/>\na + b + c = (x + 1)<sup>2<\/sup> = x<sup>2<\/sup> + 2x + 1<br \/>\na potem dopasowa\u0142:<br \/>\n(I) a + b = x<sup>2<\/sup> oraz<br \/>\n(II) c = 2x + 1<br \/>\ni jeszcze za\u0142o\u017cy\u0142:<br \/>\n(III) b + c = (x &#8211; 1)<sup>2<\/sup><br \/>\nZ uk\u0142adu r\u00f3wna\u0144 I, II i III wynika:<br \/>\na + c = 6x + 1 i ta suma powinna by\u0107 kwadratem, co spe\u0142nione jest dla x = 0, 4, 8, 20, 28, 48, 60, 88, 104, &#8230;<br \/>\nGrek poda\u0142 jedn\u0105 odpowied\u017a &#8211; dla x = 20: a = 80, b = 320, c = 41 &#8211; czyli najmniejsz\u0105 z r\u00f3\u017cnymi liczbami.<\/p>\n<p>W wydanej przed ponad p\u00f3\u0142wieczem <em>Elementarnej teorii liczb<\/em> profesor Wac\u0142aw Sierpi\u0144ski nawi\u0105za\u0142 do tego zadania, przypominaj\u0105c problem doskona\u0142ego prostopad\u0142o\u015bcianu (zwanego te\u017c doskona\u0142\u0105 cegie\u0142k\u0105 Eulera), kt\u00f3ry sprowadza si\u0119 do pytania: czy same liczby a, b i c w rozwi\u0105zaniu mog\u0105 by\u0107 kwadratami? Odpowied\u017a nie jest znana do dzi\u015b. Inaczej m\u00f3wi\u0105c, nie wiadomo, czy istnieje prostopad\u0142o\u015bcian, kt\u00f3rego wszystkie podstawowe wymiary (d\u0142ugo\u015bci kraw\u0119dzi, przek\u0105tnych bok\u00f3w i przek\u0105tnej prostopad\u0142o\u015bcianu) wyra\u017ca\u0142yby si\u0119 liczbami ca\u0142kowitymi. Wiadomo natomiast, \u017ce je\u015bli pomin\u0105\u0107 warunek, aby kwadratem by\u0142a suma wszystkich trzech liczb, to rozwi\u0105za\u0144 b\u0119dzie niesko\u0144czenie wiele.<\/p>\n<p>Na koniec, pozostaj\u0105c przy kwadratach, powr\u00f3c\u0119 do futbolu.<\/p>\n<p>Na planecie Melmac boisko do pi\u0142ki no\u017cnej ma kszta\u0142t sze\u015bciok\u0105ta z jednakowymi k\u0105tami, r\u00f3wnymi 120 stopni. D\u0142ugo\u015bci bok\u00f3w wyra\u017caj\u0105 si\u0119 r\u00f3\u017cnymi liczbami metr\u00f3w, a ka\u017cda r\u00f3wna jest kwadratowi liczby ca\u0142kowitej. Ile wynosi obw\u00f3d boiska, je\u015bli jest on mniejszy ni\u017c p\u00f3\u0142 kilometra?<\/p>\n<p>Zadanie jest nieproste, ale nie trac\u0119 nadziei, \u017ce kto\u015b nawet narysuje to boisko o kuriozalnym kszta\u0142cie, na kt\u00f3rym grywa\u0142 <a href=\"http:\/\/pl.wikipedia.org\/wiki\/Alf_%28serial_telewizyjny%29\" target=\"_blank\">Gordon Shumway<\/a>.<\/p>\n<p><em><sup>Komentarze z prawid\u0142owymi rozwi\u0105zaniami uwalniane s\u0105 wieczorem w przeddzie\u0144 kolejnego wpisu. Wpisy pojawiaj\u0105 si\u0119 co kilka dni.<\/sup><\/em><\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>Ze wzgl\u0119du na Euro 2012 ostatnio cz\u0119\u015bciej ni\u017c zwykle gapi\u0119 si\u0119 w telewizor, ale mimo to starcza mi czasu na inne okazjonalne zaj\u0119cia, ot cho\u0107by na lektur\u0119 wydanej niedawno ksi\u0105\u017cki Iana Stewarta Dlaczego prawda jest pi\u0119kna. Mo\u017cna by s\u0105dzi\u0107, \u017ce to co\u015b filozoficznego, gdyby nie podtytu\u0142: O symetrii w matematyce i fizyce. Chodzi g\u0142\u00f3wnie o [&hellip;]<\/p>\n","protected":false},"author":3,"featured_media":0,"comment_status":"open","ping_status":"open","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":{"footnotes":""},"categories":[1],"tags":[],"_links":{"self":[{"href":"https:\/\/blog.polityka.pl\/penszko\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/3741"}],"collection":[{"href":"https:\/\/blog.polityka.pl\/penszko\/wp-json\/wp\/v2\/posts"}],"about":[{"href":"https:\/\/blog.polityka.pl\/penszko\/wp-json\/wp\/v2\/types\/post"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/blog.polityka.pl\/penszko\/wp-json\/wp\/v2\/users\/3"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/blog.polityka.pl\/penszko\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=3741"}],"version-history":[{"count":24,"href":"https:\/\/blog.polityka.pl\/penszko\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/3741\/revisions"}],"predecessor-version":[{"id":3765,"href":"https:\/\/blog.polityka.pl\/penszko\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/3741\/revisions\/3765"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/blog.polityka.pl\/penszko\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=3741"}],"wp:term":[{"taxonomy":"category","embeddable":true,"href":"https:\/\/blog.polityka.pl\/penszko\/wp-json\/wp\/v2\/categories?post=3741"},{"taxonomy":"post_tag","embeddable":true,"href":"https:\/\/blog.polityka.pl\/penszko\/wp-json\/wp\/v2\/tags?post=3741"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}