{"id":385,"date":"2009-03-08T09:30:42","date_gmt":"2009-03-08T08:30:42","guid":{"rendered":"http:\/\/penszko.blog.polityka.pl\/?p=385"},"modified":"2009-06-30T15:57:48","modified_gmt":"2009-06-30T13:57:48","slug":"okresowo-i-nie","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/blog.polityka.pl\/penszko\/2009\/03\/08\/okresowo-i-nie\/","title":{"rendered":"Okresowo i nie"},"content":{"rendered":"

Tak sobie my\u015bl\u0119, czy nie by\u0142oby sensownie zast\u0105pi\u0107 Dzie\u0144 Pierwiastka Kwadratowego, o kt\u00f3rym wspomina\u0142em w poprzednim wpisie, Dniem Pierwiastka w og\u00f3le,\u00a0a wi\u0119c\u00a0bez podawania stopnia. Okazji do \u015bwi\u0119towania by\u0142oby w\u00f3wczas nieco wi\u0119cej, czyli w ci\u0105gu wieku tuzin, a wszak to liczba o d\u0142ugiej tradycji, podstawa rozpowszechnionego\u00a0niegdy\u015b dwunastkowego systemu liczbowego, do dzi\u015b zreszt\u0105 stosowanego w rachubie czasu. Nie zamierzam oczywi\u015bcie robi\u0107 konkurencji panu Gordonowi, ale nie omieszkam mu przy okazji zasugerowa\u0107.<\/p>\n

Tymczasem postanowi\u0142em posta\u0107 jeszcze chwil\u0119 na drugim stopniu schodk\u00f3w. Okre\u015blenie „schodki” jest o tyle uzasadnione, \u017ce kojarzy si\u0119 z\u00a0cokolwiek rozrywkowym sposobem zapisu pierwiastk\u00f3w kwadratowych (z liczb ca\u0142kowitych, kt\u00f3re nie s\u0105 kwadratami), odkrytym przez Lagrange’a przed 230 laty. \u015aci\u015blej chodzi\u00a0o zapis ich cz\u0119\u015bci u\u0142amkowej w postaci niesko\u0144czonego u\u0142amka \u0142a\u0144cuchowego. Dla sqrt2 wygl\u0105da to tak:<\/p>\n

\"\"<\/a><\/p>\n

Wi\u0119cej odwr\u00f3conych r\u00f3\u017cnych<\/strong> schodk\u00f3w\u00a0pojawia si\u0119\u00a0np. dla sqrt78:<\/p>\n

\"\"<\/a><\/p>\n

Najciekawsze jest to, \u017ce ci\u0105g czerwonych liczb jest zawsze okresowy. Dla sqrt2 okres jest jednoelementowy, czyli ci\u0105g jest sta\u0142y, a dla sqrt78 sk\u0142ada si\u0119 z czterech liczb [1,4,1,16,….]. Bywaj\u0105 jednak znacznie d\u0142u\u017csze okresy, na przyk\u0142ad 102-cyfrowy dla sqrt2566.<\/p>\n

Dla odmiany w przypadku innych zagadnie\u0144 zwi\u0105zanych z pierwiastkami kwadratowymi zaskoczeniem mo\u017ce by\u0107\u00a0– przynajmniej w pierwszej chwili\u00a0– brak okresowo\u015bci.<\/p>\n

Z okazji Dnia Pierwiastka Kwadratowego ch\u0142opiec otrzyma\u0142 skarbonk\u0119 i postanowi\u0142 zasila\u0107 j\u0105 codziennie kwot\u0105 sqrt2 euro. Poniewa\u017c o tak\u0105 kwot\u0119 nie\u0142atwo, wi\u0119c zdecydowa\u0142, \u017ce b\u0119dzie\u00a0wrzuca\u0142 ka\u017cdego n-tego dnia an <\/sub><\/span>euro\u00a0– a konkretnie tak\u0105 monet\u0119, aby suma zebrana w ci\u0105gu n kolejnych dni, poczynaj\u0105c od n=1, by\u0142a jak najbli\u017csza warto\u015bci n*sqrt2. W skarbonce pojawia\u0142y si\u0119 wi\u0119c wy\u0142\u0105cznie monety o warto\u015bci 1 i 2 euro. Zacz\u0119\u0142o si\u0119 od a1<\/sub>=1, a dalej by\u0142o: a2<\/sub>=2, a3<\/sub>=1, a4<\/sub>=2, a5<\/sub>=1…. <\/span>
\nProsz\u0119 udowodni\u0107, \u017ce ci\u0105g warto\u015bci kolejno wrzucanych monet\u00a0b\u0119dzie – wbrew pozorom – nieokresowy<\/strong>.<\/em><\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"

Tak sobie my\u015bl\u0119, czy nie by\u0142oby sensownie zast\u0105pi\u0107 Dzie\u0144 Pierwiastka Kwadratowego, o kt\u00f3rym wspomina\u0142em w poprzednim wpisie, Dniem Pierwiastka w og\u00f3le,\u00a0a wi\u0119c\u00a0bez podawania stopnia. Okazji do \u015bwi\u0119towania by\u0142oby w\u00f3wczas nieco wi\u0119cej, czyli w ci\u0105gu wieku tuzin, a wszak to liczba o d\u0142ugiej tradycji, podstawa rozpowszechnionego\u00a0niegdy\u015b dwunastkowego systemu liczbowego, do dzi\u015b zreszt\u0105 stosowanego w rachubie czasu. […]<\/p>\n","protected":false},"author":3,"featured_media":0,"comment_status":"open","ping_status":"open","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":{"footnotes":""},"categories":[1],"tags":[],"_links":{"self":[{"href":"https:\/\/blog.polityka.pl\/penszko\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/385"}],"collection":[{"href":"https:\/\/blog.polityka.pl\/penszko\/wp-json\/wp\/v2\/posts"}],"about":[{"href":"https:\/\/blog.polityka.pl\/penszko\/wp-json\/wp\/v2\/types\/post"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/blog.polityka.pl\/penszko\/wp-json\/wp\/v2\/users\/3"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/blog.polityka.pl\/penszko\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=385"}],"version-history":[{"count":0,"href":"https:\/\/blog.polityka.pl\/penszko\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/385\/revisions"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/blog.polityka.pl\/penszko\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=385"}],"wp:term":[{"taxonomy":"category","embeddable":true,"href":"https:\/\/blog.polityka.pl\/penszko\/wp-json\/wp\/v2\/categories?post=385"},{"taxonomy":"post_tag","embeddable":true,"href":"https:\/\/blog.polityka.pl\/penszko\/wp-json\/wp\/v2\/tags?post=385"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}