{"id":407,"date":"2009-04-01T07:47:13","date_gmt":"2009-04-01T06:47:13","guid":{"rendered":"http:\/\/penszko.blog.polityka.pl\/?p=407"},"modified":"2009-04-01T07:47:13","modified_gmt":"2009-04-01T06:47:13","slug":"pick-pick","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/blog.polityka.pl\/penszko\/2009\/04\/01\/pick-pick\/","title":{"rendered":"Pick, Pick…"},"content":{"rendered":"

Chocia\u017c rekreacje matematyczne i okolice zwiedzam od ponad 30 lat, publikuj\u0105c tu i \u00f3wdzie relacje z podr\u00f3\u017cy, wci\u0105\u017c s\u0105 regiony, kt\u00f3rych nie penetrowa\u0142em. I wcale nie chodzi o peryferie. Na przyk\u0142ad dopiero przed rokiem zaw\u0119drowa\u0142em na teren jednego z najbardziej rozrywkowych wzor\u00f3w matematycznych, kt\u00f3ry wygl\u0105da tak:
\nS<\/em> = w<\/em> + b<\/em>\/2\u00a0– 1
\nS\u0105dz\u0119, \u017ce niewiele os\u00f3b wie lub domy\u015bla si\u0119, o co chodzi, aczkolwiek tytu\u0142 wpisu jest du\u017c\u0105 podpowiedzi\u0105. Kr\u00f3tko i od pocz\u0105tku wyja\u015bni\u0119 w czym rzecz.<\/p>\n

Na kartce w kratk\u0119, czyli na siatce kwadratowej, rysujemy dowolny wielok\u0105t tak, aby jego wierzcho\u0142ki znajdowa\u0142y si\u0119 w w\u0119z\u0142ach siatki (matematycy nazywaj\u0105 takie w\u0119z\u0142y punktami kratowymi). Mo\u017ce on wygl\u0105da\u0107 na przyk\u0142ad tak:<\/p>\n

\u00a0\"\"<\/a><\/p>\n

Ot\u00f3\u017c aby okre\u015bli\u0107 jego pole (S<\/em>), wystarczy policzy\u0107, ile w\u0119z\u0142\u00f3w jest wewn\u0105trz wielok\u0105ta (w<\/em>) oraz ile znajduje si\u0119 na brzegu (b<\/em>) i podstawi\u0107 do podanego wzoru, czyli w tym konkretnym przypadku
\nS = 21 + 12 \/2\u00a0– 1 = 26
\nJednostk\u0105 jest oczywi\u015bcie powierzchnia elementarnego kwadracika siatki.<\/p>\n

Rozrywkowe, bo zaskakuj\u0105ce i zabawne jest to, \u017ce taki spos\u00f3b obliczania pola nie wi\u0105\u017ce si\u0119 z d\u0142ugo\u015bci\u0105 bok\u00f3w, podnoszeniem do kwadratu, ani nawet z k\u0105tami, tylko z… liczeniem kropek. Gdyby nie ta figlarna formu\u0142a, znana od roku 1899, o jej autorze, austriackim matematyku Georgu Picku, prawdopodobnie nikt by dzi\u015b nie pami\u0119ta\u0142. To, \u017ce razem ze swoim wzorem nie poszed\u0142 w zapomnienie zawdzi\u0119cza jednak przede wszystkim polskiemu matematykowi. Hugo Stainhaus znalaz\u0142 w bibliotecznych archiwach publikacj\u0119 naukow\u0105 z osobliwym wzorem, kt\u00f3ry przypomnia\u0142 w s\u0142ynnym Kalejdoskopie matematycznym<\/em>. Po wydaniu tej ksi\u0105\u017cki w roku 1950 w Stanach Zjednoczonych matematycy zwr\u00f3cili uwag\u0119 na formu\u0142\u0119 Picka nie ze wzgl\u0119du na jej rozrywkowo\u015b\u0107. Wprawdzie wi\u0105\u017ce si\u0119 ona z tzw. geometri\u0105 dyskretn\u0105 oraz geometryczn\u0105 teori\u0105 liczb Minkowskiego, ale najbardziej frapuj\u0105ce okaza\u0142o si\u0119 szukanie prostego dowodu. Jeden z nich, wyr\u00f3\u017cniaj\u0105cy si\u0119 pomys\u0142owo\u015bci\u0105 i oryginalno\u015bci\u0105, opisa\u0142em w marcowym \u015awiecie Nauki<\/em>. Tam\u017ce zamie\u015bci\u0142em zadanie konkursowe, kt\u00f3rego rozwi\u0105zywanie jest nieco \u0142atwiejsze po skorzystaniu z formu\u0142y Picka.<\/p>\n

P\u0142ytk\u0119 6 x 6 podzielon\u0105 liniami na 36 kratek, nale\u017cy rozci\u0105\u0107 na 8 tr\u00f3jk\u0105t\u00f3w r\u00f3\u017cnej wielko\u015bci – od 1 do 8. Wierzcho\u0142ki tr\u00f3jk\u0105t\u00f3w powinny znale\u017a\u0107 si\u0119 w w\u0119z\u0142ach siatki (w\u0119z\u0142y i linie s\u0105 tak\u017ce na brzegach p\u0142ytki)<\/em>.<\/p>\n

\u00a0\"\"<\/a><\/p>\n

Zadanie ma wiele rozwi\u0105za\u0144, ale nawet jedno nie tak \u0142atwo znale\u017a\u0107. Bardzo twardym orzechem wydaje si\u0119 natomiast odkrycie unikalnego rozwi\u0105zania\u00a0– z czterema tr\u00f3jk\u0105tami uko\u015bnymi<\/em>. Tr\u00f3jk\u0105t uko\u015bny<\/em> to taki, kt\u00f3rego \u017caden bok nie pokrywa si\u0119 z liniami siatki. Konkurs nie polega\u0142 na znalezieniu tego unikatu, bo uzna\u0142em, \u017ce by\u0142oby to za trudne. Czy rzeczywi\u015bcie jest to a\u017c tak twardy orzech?<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"

Chocia\u017c rekreacje matematyczne i okolice zwiedzam od ponad 30 lat, publikuj\u0105c tu i \u00f3wdzie relacje z podr\u00f3\u017cy, wci\u0105\u017c s\u0105 regiony, kt\u00f3rych nie penetrowa\u0142em. I wcale nie chodzi o peryferie. Na przyk\u0142ad dopiero przed rokiem zaw\u0119drowa\u0142em na teren jednego z najbardziej rozrywkowych wzor\u00f3w matematycznych, kt\u00f3ry wygl\u0105da tak: S = w + b\/2\u00a0– 1 S\u0105dz\u0119, \u017ce niewiele […]<\/p>\n","protected":false},"author":3,"featured_media":0,"comment_status":"open","ping_status":"open","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":{"footnotes":""},"categories":[1],"tags":[],"_links":{"self":[{"href":"https:\/\/blog.polityka.pl\/penszko\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/407"}],"collection":[{"href":"https:\/\/blog.polityka.pl\/penszko\/wp-json\/wp\/v2\/posts"}],"about":[{"href":"https:\/\/blog.polityka.pl\/penszko\/wp-json\/wp\/v2\/types\/post"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/blog.polityka.pl\/penszko\/wp-json\/wp\/v2\/users\/3"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/blog.polityka.pl\/penszko\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=407"}],"version-history":[{"count":0,"href":"https:\/\/blog.polityka.pl\/penszko\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/407\/revisions"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/blog.polityka.pl\/penszko\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=407"}],"wp:term":[{"taxonomy":"category","embeddable":true,"href":"https:\/\/blog.polityka.pl\/penszko\/wp-json\/wp\/v2\/categories?post=407"},{"taxonomy":"post_tag","embeddable":true,"href":"https:\/\/blog.polityka.pl\/penszko\/wp-json\/wp\/v2\/tags?post=407"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}