{"id":4263,"date":"2012-11-16T00:33:31","date_gmt":"2012-11-15T23:33:31","guid":{"rendered":"http:\/\/penszko.blog.polityka.pl\/?p=4263"},"modified":"2012-11-16T00:33:31","modified_gmt":"2012-11-15T23:33:31","slug":"milion-dalej","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/blog.polityka.pl\/penszko\/2012\/11\/16\/milion-dalej\/","title":{"rendered":"Milion dalej"},"content":{"rendered":"

Poci\u0105gn\u0119 temat ci\u0105gu z poprzedniego wpisu, kt\u00f3ry zaczyna si\u0119 od 1, 8,…, a dalej trafia – je\u015bli szcz\u0119\u015bcie dopisze – w milion. Dzi\u0119kuj\u0119 za liczne komentarze z wzorami na ci\u0105g, kt\u00f3ry zalicza milion ju\u017c trzecim lub niewiele dalszym wyrazem (przyznam, \u017ce mam k\u0142opot z wyr\u00f3\u017cnieniem\u00a0 kt\u00f3rego\u015b wzoru, bo maj\u0105 urok i te silnie matematyczne i te zabawne, ale gdybym musia\u0142 wskaza\u0107 jeden, to wybra\u0142bym rekurencyjny koberta), a tymczasem powr\u00f3c\u0119 do takich, kt\u00f3re miliona nie zaliczaj\u0105.<\/p>\n

Za\u0142\u00f3\u017cmy, \u017ce by\u0142by to ci\u0105g Fibonacciego, czyli zaczynaj\u0105c od trzeciego wyrazu ka\u017cdy nast\u0119pny stanowi\u0142by sum\u0119 dwu poprzednich:
\n1, 8, 9,17, 26, 43, 69,…
\nTen ci\u0105g, co \u0142atwo sprawdzi\u0107 w OEIS (A022098<\/a>), omija milion.<\/p>\n

Spr\u00f3bujmy inaczej. Suma dw\u00f3ch pierwszych wyraz\u00f3w jest kwadratem, a r\u00f3wnocze\u015bnie mi\u0119dzy tymi wyrazami jest dok\u0142adnie jeden kwadrat. Rozci\u0105gnijmy t\u0119 w\u0142asno\u015b\u0107 na ka\u017cd\u0105 par\u0119 kolejnych wyraz\u00f3w rosn\u0105cego ci\u0105gu. Otrzymamy:
\n1, 8, 17, 32, 49, 72, 97,… (A077221<\/a>)
\nW tym ci\u0105gu tak\u017ce nie ma miliona.<\/p>\n

Jeszcze nieco inaczej: ci\u0105g jest rosn\u0105cy, ka\u017cdy jego wyraz jest sze\u015bcianem, a suma ka\u017cdej pary kolejnych wyraz\u00f3w jest kwadratem. Nie\u0142atwo znale\u017a\u0107 trzeci wyraz takiego ci\u0105gu:
\n1, 8, 97336,
\na czwartego szuka\u0107 nie warto. I tu zagadka: prosz\u0119 uzasadni\u0107 – wskaza\u0107 odpowiednie twierdzenie lub wz\u00f3r, teori\u0119 itp. – \u017ce trzeci wyraz tego ci\u0105gu jest ostatnim.<\/p>\n

Wracaj\u0105c do miliona, istnieje ci\u0105g kryptarytmetyczny, zaczynaj\u0105cy si\u0119 od:
\nJEDEN, OSIEM, MILION,…
\nInaczej m\u00f3wi\u0105c, litery nale\u017cy zast\u0105pi\u0107 cyframi tak, aby powsta\u0142e liczby tworzy\u0142y ci\u0105g arytmetyczny. Zadanie sprowadza si\u0119 do rozwi\u0105zania nietypowego, ze wzgl\u0119du na r\u00f3\u017cne znaki dzia\u0142a\u0144, kryptarytmu:
\nOSIEM + OSIEM – JEDEN = MILION
\nMo\u017cna to rozwi\u0105za\u0107 na piechot\u0119, cho\u0107 jest troch\u0119 \u017cmudne. Natomiast do programist\u00f3w adresuj\u0119 znacznie twardszy orzech:
\nW zaczynaj\u0105cym si\u0119 od JEDEN, OSIEM,… ci\u0105gu arytmetyczno-kryptarytmetycznym MILION mo\u017ce by\u0107 na odleg\u0142ej pozycji. Na przyk\u0142ad na sto sz\u00f3stej – w\u00f3wczas JEDEN = 64043, OSIEM = 72149, czyli r\u00f3\u017cnica ci\u0105gu wynosi 8106, za\u015b MILION jest sto sz\u00f3stym wyrazem r\u00f3wnym 915173.
\nNa jakiej najdalszej<\/strong> pozycji mo\u017ce znale\u017a\u0107 si\u0119 MILION i jaka liczba b\u0119dzie mu w\u00f3wczas odpowiada\u0107?<\/p>\n

Komentarze z prawid\u0142owymi rozwi\u0105zaniami uwalniane s\u0105 wieczorem w przeddzie\u0144 kolejnego wpisu. Wpisy pojawiaj\u0105 si\u0119 co kilka dni.<\/sup><\/em><\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"

Poci\u0105gn\u0119 temat ci\u0105gu z poprzedniego wpisu, kt\u00f3ry zaczyna si\u0119 od 1, 8,…, a dalej trafia – je\u015bli szcz\u0119\u015bcie dopisze – w milion. Dzi\u0119kuj\u0119 za liczne komentarze z wzorami na ci\u0105g, kt\u00f3ry zalicza milion ju\u017c trzecim lub niewiele dalszym wyrazem (przyznam, \u017ce mam k\u0142opot z wyr\u00f3\u017cnieniem\u00a0 kt\u00f3rego\u015b wzoru, bo maj\u0105 urok i te silnie matematyczne i […]<\/p>\n","protected":false},"author":3,"featured_media":0,"comment_status":"open","ping_status":"open","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":{"footnotes":""},"categories":[1],"tags":[],"_links":{"self":[{"href":"https:\/\/blog.polityka.pl\/penszko\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/4263"}],"collection":[{"href":"https:\/\/blog.polityka.pl\/penszko\/wp-json\/wp\/v2\/posts"}],"about":[{"href":"https:\/\/blog.polityka.pl\/penszko\/wp-json\/wp\/v2\/types\/post"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/blog.polityka.pl\/penszko\/wp-json\/wp\/v2\/users\/3"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/blog.polityka.pl\/penszko\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=4263"}],"version-history":[{"count":13,"href":"https:\/\/blog.polityka.pl\/penszko\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/4263\/revisions"}],"predecessor-version":[{"id":4277,"href":"https:\/\/blog.polityka.pl\/penszko\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/4263\/revisions\/4277"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/blog.polityka.pl\/penszko\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=4263"}],"wp:term":[{"taxonomy":"category","embeddable":true,"href":"https:\/\/blog.polityka.pl\/penszko\/wp-json\/wp\/v2\/categories?post=4263"},{"taxonomy":"post_tag","embeddable":true,"href":"https:\/\/blog.polityka.pl\/penszko\/wp-json\/wp\/v2\/tags?post=4263"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}