{"id":4278,"date":"2012-11-21T00:11:25","date_gmt":"2012-11-20T23:11:25","guid":{"rendered":"http:\/\/penszko.blog.polityka.pl\/?p=4278"},"modified":"2012-11-22T21:12:30","modified_gmt":"2012-11-22T20:12:30","slug":"mordellstwo","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/blog.polityka.pl\/penszko\/2012\/11\/21\/mordellstwo\/","title":{"rendered":"Mordellstwo"},"content":{"rendered":"

0, 1, 8, 97336 (46^3) – to ci\u0105g rosn\u0105cy sze\u015bcian\u00f3w, w kt\u00f3rym suma ka\u017cdych dw\u00f3ch kolejnych wyraz\u00f3w jest kwadratem. Proponuj\u0105c w poprzednim wpisie zagadk\u0119, polegaj\u0105c\u0105 na wykazaniu, \u017ce to ca\u0142y<\/strong> ci\u0105g, czyli nast\u0119pnego wyrazu nie ma, zdecydowanie przegi\u0105\u0142em – przyznaj\u0119 si\u0119 ze skruch\u0105. W gruncie rzeczy taka „zagadka” sprowadza si\u0119 do udowodnienia, \u017ce tzw. r\u00f3wnanie Mordella – y<\/em>^2 = x<\/em>^3 + k<\/em> – ma dla k<\/em> = 97336 tylko jedno rozwi\u0105zanie w liczbach naturalnych (y<\/em> = 312, x<\/em> = 2).<\/p>\n

Nie ma, niestety, uniwersalnego sposobu dowodzenia, \u017ce r\u00f3wnanie Mordella nie ma rozwi\u0105za\u0144 albo ma ich okre\u015blon\u0105 liczb\u0119. Jest to stosunkowo proste tylko przy pewnych warto\u015bciach k<\/em>, dla kt\u00f3rych r\u00f3wnanie nie ma rozwi\u0105za\u0144 – zw\u0142aszcza w\u00f3wczas, gdy mo\u017cna okre\u015bli\u0107 parzysto\u015b\u0107 x<\/em> i y<\/em>. Nie tak trudno na przyk\u0142ad udowodni\u0107, \u017ce r\u00f3wnanie y<\/em>^2 = x<\/em>^3 + 97333 nie ma rozwi\u0105zania, zaczynaj\u0105c od za\u0142o\u017cenia, \u017ce y<\/em> jest nieparzyste. Takie za\u0142o\u017cenie prowadzi do sprzeczno\u015bci: x<\/em>^3=4 (mod8), czyli reszta z dzielenia sze\u015bcianu przez 8 nie mo\u017ce by\u0107 r\u00f3wna 4 (dlaczego?). St\u0105d wniosek, \u017ce je\u015bli rozwi\u0105zanie istnieje, to y<\/em> jest parzyste, a x<\/em> nieparzyste. Dalsza droga dowodzenia – w tym przypadku braku rozwi\u0105za\u0144 – nie jest wprawdzie lekka i prosta, ale dla absolwenta og\u00f3lniaka, kt\u00f3ry uwa\u017ca\u0142 na lekcjach matematyki – do przej\u015bcia.<\/p>\n

Natomiast w przypadku r\u00f3wnania y<\/em>^2 = x<\/em>^3 + 97336 sprawa jest na tyle skomplikowana, \u017ce najlepszym „dowodem” unikalno\u015bci podanego wy\u017cej rozwi\u0105zania (pomijam trywialne y<\/em> = 0, x<\/em> = -46) wydaje si\u0119 jednak skorzystanie z profesjonalnego kalkulatora, umo\u017cliwiaj\u0105cego znajdowanie liczb ca\u0142kowitych, stanowi\u0105cych rozwi\u0105zania r\u00f3wna\u0144 krzywych eliptycznych. Takim kalkulatorem jest np. australijska MAGMA<\/a>.<\/p>\n

Zaciekawi\u0142o mnie, czy ci\u0105g utworzony na takiej zasadzie, jak powy\u017cszy, mo\u017ce by\u0107 d\u0142u\u017cszy. W OEIS<\/a> takich ci\u0105g\u00f3w nie ma, wi\u0119c zacz\u0105\u0142em si\u0119 bawi\u0107 sze\u015bcianami i krzyw\u0105 Mordella, korzystaj\u0105c z MAGMY.
\nOto najd\u0142u\u017cszy ci\u0105g, jaki wystuka\u0142em:<\/p>\n

10^3, 65^3, 260^3, 1040^3, 1456^3, 6358352^3, 12712337^3,…<\/p>\n

i prawdopodobnie to nie jest koniec, tylko \u017ce darmowa wersja MAGMY nie chce szuka\u0107 \u00f3smego wyrazu d\u0142u\u017cej ni\u017c 2 minuty. Mo\u017ce kto\u015b z komputerowc\u00f3w j\u0105 wyr\u0119czy :), cho\u0107 to zaj\u0119cie szalone, jak zreszt\u0105 wi\u0119kszo\u015b\u0107 poczyna\u0144 w teorii liczb, kt\u00f3ra w\u0142a\u015bciwie zaczyna si\u0119 od takich gigant\u00f3w (si\u00f3dmy wyraz zapisany w ca\u0142ej okaza\u0142o\u015bci sk\u0142ada si\u0119 z 22 cyfr, a suma sz\u00f3stego i si\u00f3dmego = 48077206969^2).
\nZanim w nast\u0119pnym wpisie powr\u00f3c\u0119 do „normalnych” \u0142amig\u0142\u00f3wek, na deser jeszcze jedna „ci\u0105gotka”.<\/p>\n

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 – to najd\u0142u\u017cszy rosn\u0105cy ci\u0105g arytmetyczny, w kt\u00f3rym ka\u017cda cyfra wyst\u0119puje tylko raz<\/strong><\/em>. Prosz\u0119 znale\u017a\u0107 najkr\u00f3tszy<\/strong> (nie mniej ni\u017c trzy wyrazy) rosn\u0105cy ci\u0105g arytmetyczny o takiej samej w\u0142asno\u015bci<\/em><\/strong>, w kt\u00f3rym r\u00f3\u017cnica mi\u0119dzy wyrazami b\u0119dzie najwi\u0119ksza<\/strong>.<\/p>\n

Komentarze z prawid\u0142owymi rozwi\u0105zaniami uwalniane s\u0105 wieczorem w przeddzie\u0144 kolejnego wpisu. Wpisy pojawiaj\u0105 si\u0119 co kilka dni.<\/sup><\/em><\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"

0, 1, 8, 97336 (46^3) – to ci\u0105g rosn\u0105cy sze\u015bcian\u00f3w, w kt\u00f3rym suma ka\u017cdych dw\u00f3ch kolejnych wyraz\u00f3w jest kwadratem. Proponuj\u0105c w poprzednim wpisie zagadk\u0119, polegaj\u0105c\u0105 na wykazaniu, \u017ce to ca\u0142y ci\u0105g, czyli nast\u0119pnego wyrazu nie ma, zdecydowanie przegi\u0105\u0142em – przyznaj\u0119 si\u0119 ze skruch\u0105. W gruncie rzeczy taka „zagadka” sprowadza si\u0119 do udowodnienia, \u017ce tzw. r\u00f3wnanie […]<\/p>\n","protected":false},"author":3,"featured_media":0,"comment_status":"open","ping_status":"open","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":{"footnotes":""},"categories":[1],"tags":[],"_links":{"self":[{"href":"https:\/\/blog.polityka.pl\/penszko\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/4278"}],"collection":[{"href":"https:\/\/blog.polityka.pl\/penszko\/wp-json\/wp\/v2\/posts"}],"about":[{"href":"https:\/\/blog.polityka.pl\/penszko\/wp-json\/wp\/v2\/types\/post"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/blog.polityka.pl\/penszko\/wp-json\/wp\/v2\/users\/3"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/blog.polityka.pl\/penszko\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=4278"}],"version-history":[{"count":29,"href":"https:\/\/blog.polityka.pl\/penszko\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/4278\/revisions"}],"predecessor-version":[{"id":4314,"href":"https:\/\/blog.polityka.pl\/penszko\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/4278\/revisions\/4314"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/blog.polityka.pl\/penszko\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=4278"}],"wp:term":[{"taxonomy":"category","embeddable":true,"href":"https:\/\/blog.polityka.pl\/penszko\/wp-json\/wp\/v2\/categories?post=4278"},{"taxonomy":"post_tag","embeddable":true,"href":"https:\/\/blog.polityka.pl\/penszko\/wp-json\/wp\/v2\/tags?post=4278"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}