{"id":4900,"date":"2013-07-17T09:10:54","date_gmt":"2013-07-17T07:10:54","guid":{"rendered":"http:\/\/penszko.blog.polityka.pl\/?p=4900"},"modified":"2013-07-17T09:10:54","modified_gmt":"2013-07-17T07:10:54","slug":"przez-osiem","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/blog.polityka.pl\/penszko\/2013\/07\/17\/przez-osiem\/","title":{"rendered":"Przez osiem"},"content":{"rendered":"<p>Ile jest liczb z\u0142o\u017conych z r\u00f3\u017cnych cyfr? A \u015bci\u015blej: ile jest r\u00f3\u017cnych liczb ca\u0142kowitych dodatnich, w kt\u00f3rych ka\u017cda cyfra jest inna?<br \/>\nTo zale\u017cy w jakim systemie liczbowym. W dw\u00f3jkowym tylko dwie &#8211; 1 i 10, w tr\u00f3jkowym dziesi\u0119\u0107 &#8211; 1, 2, 10, 12, 20, 21, 102, 120, 201, 210. Dalej kombinowa\u0107 jest nieco trudniej. W systemie dziesi\u0119tnym nale\u017ca\u0142oby najpierw policzy\u0107 oddzielnie liczby liczb <em>n<\/em>-cyfrowych dla\u00a0 ka\u017cdego <em>n<\/em> od 1 do 10, korzystaj\u0105c ze wzoru, kt\u00f3ry \u0142atwo wyprowadzi\u0107 &#8211; 9*9!\/(10-<em>n<\/em>)!, cho\u0107 dla ma\u0142ych <em>n<\/em> bez wzoru mo\u017cna si\u0119 obej\u015b\u0107. Otrzymaliby\u015bmy ci\u0105g:<\/p>\n<p>9, 81, 648, 4536, 27216, 136080, 544320, 1632960, 3265920, 3265920.<\/p>\n<p>Jak wynika ze wzoru, ka\u017cdy <em>n<\/em>-ty wyraz (opr\u00f3cz pierwszego) jest 11-<em>n<\/em> razy wi\u0119kszy od poprzedniego. W sumie liczb r\u00f3\u017cnocyfrowych jest wi\u0119c 8877690. To sporo, ale jednak tylko niespe\u0142na promil w obejmuj\u0105cym je zakresie (od 1 do 9876543210).<br \/>\nChyba najciekawsze w\u015br\u00f3d tych liczb s\u0105 tzw. liczby trwa\u0142e, czyli takie, kt\u00f3rych wielokrotno\u015bci s\u0105 ich anagramami (to okre\u015blenie dotyczy etymologicznie liter i s\u0142\u00f3w, ale wygodnie jest obj\u0105\u0107 nim tak\u017ce cyfry i liczby). Najmniejsze trwa\u0142e s\u0105 4-cyfrowe i jest ich siedem:<\/p>\n<p><strong>1035<\/strong> (*3=3105), <strong>1089<\/strong> (*9=9801), <strong>1359<\/strong> (*7=9513), <strong>1386<\/strong> (*6=8316), <strong>1782<\/strong> (*4=7128), <strong>2178<\/strong> (*4=8712), <strong>2475<\/strong> (*3=7425)<\/p>\n<p>Mno\u017cniki tworz\u0105ce anagramy wynosz\u0105 3, 4, 6, 7 i 9. Mno\u017cniki 2 i 5 pojawiaj\u0105 si\u0119 dopiero przy liczbach 6-cyfrowych &#8211; najmniejsze z nich to <strong>125874<\/strong> (*2=251748) i <strong>142857<\/strong> (*5=714285). Mno\u017cnik 8 daje anagram najp\u00f3\u017aniej.<br \/>\nProsz\u0119 znale\u017a\u0107 (&#8222;na piechot\u0119&#8221;) liczb\u0119 siedmiocyfrow\u0105 z\u0142o\u017con\u0105 z r\u00f3\u017cnych cyfr, w kt\u00f3rej wystarczy odpowiednio przestawi\u0107 cyfry, aby otrzyma\u0107 liczb\u0119 o\u015bmiokrotnie od niej wi\u0119ksz\u0105. Je\u015bli doda\u0107, \u017ce w liczbie tej nie wyst\u0119puj\u0105 cyfry 2, 7 i 9, to jej znalezienie metod\u0105 logmac (logika plus macanie \ud83d\ude42 ) b\u0119dzie szybsze ni\u017c napisanie programu, a przy odrobinie szcz\u0119\u015bcia znacznie szybsze.<\/p>\n<p><a href=\"\/wp-content\/uploads\/2013\/05\/Kom.jpg\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" class=\"alignnone size-large wp-image-4770\" title=\"Kom\" src=\"\/wp-content\/uploads\/2013\/05\/Kom-1024x27.jpg\" alt=\"\" width=\"620\" height=\"16\" srcset=\"\/penszko\/wp-content\/uploads\/2013\/05\/Kom-1024x27.jpg 1024w, \/penszko\/wp-content\/uploads\/2013\/05\/Kom-300x8.jpg 300w, \/penszko\/wp-content\/uploads\/2013\/05\/Kom-e1574337004355-768x20.jpg 768w, \/penszko\/wp-content\/uploads\/2013\/05\/Kom.jpg 1200w\" sizes=\"(max-width: 620px) 100vw, 620px\" \/><\/a><\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>Ile jest liczb z\u0142o\u017conych z r\u00f3\u017cnych cyfr? A \u015bci\u015blej: ile jest r\u00f3\u017cnych liczb ca\u0142kowitych dodatnich, w kt\u00f3rych ka\u017cda cyfra jest inna? To zale\u017cy w jakim systemie liczbowym. W dw\u00f3jkowym tylko dwie &#8211; 1 i 10, w tr\u00f3jkowym dziesi\u0119\u0107 &#8211; 1, 2, 10, 12, 20, 21, 102, 120, 201, 210. Dalej kombinowa\u0107 jest nieco trudniej. W [&hellip;]<\/p>\n","protected":false},"author":3,"featured_media":0,"comment_status":"open","ping_status":"open","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":{"footnotes":""},"categories":[1],"tags":[],"_links":{"self":[{"href":"https:\/\/blog.polityka.pl\/penszko\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/4900"}],"collection":[{"href":"https:\/\/blog.polityka.pl\/penszko\/wp-json\/wp\/v2\/posts"}],"about":[{"href":"https:\/\/blog.polityka.pl\/penszko\/wp-json\/wp\/v2\/types\/post"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/blog.polityka.pl\/penszko\/wp-json\/wp\/v2\/users\/3"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/blog.polityka.pl\/penszko\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=4900"}],"version-history":[{"count":6,"href":"https:\/\/blog.polityka.pl\/penszko\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/4900\/revisions"}],"predecessor-version":[{"id":4910,"href":"https:\/\/blog.polityka.pl\/penszko\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/4900\/revisions\/4910"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/blog.polityka.pl\/penszko\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=4900"}],"wp:term":[{"taxonomy":"category","embeddable":true,"href":"https:\/\/blog.polityka.pl\/penszko\/wp-json\/wp\/v2\/categories?post=4900"},{"taxonomy":"post_tag","embeddable":true,"href":"https:\/\/blog.polityka.pl\/penszko\/wp-json\/wp\/v2\/tags?post=4900"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}