{"id":5379,"date":"2014-01-07T10:34:46","date_gmt":"2014-01-07T09:34:46","guid":{"rendered":"http:\/\/penszko.blog.polityka.pl\/?p=5379"},"modified":"2014-01-07T10:34:46","modified_gmt":"2014-01-07T09:34:46","slug":"rok-tri-rok-fi","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/blog.polityka.pl\/penszko\/2014\/01\/07\/rok-tri-rok-fi\/","title":{"rendered":"Rok Tri-, rok Fi-"},"content":{"rendered":"

W bodaj najs\u0142ynniejszym ci\u0105gu matematycznym – Fibonacciego, ka\u017cdy wyraz (opr\u00f3cz pary pocz\u0105tkowych jedynek) jest sum\u0105 dwu poprzednich wyraz\u00f3w:
\n1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597,…
\nJego mniej znany kuzyn, ci\u0105g Tribonacciego, do trzeciego wyrazu wygl\u0105da tak samo, a dalej ka\u017cdy wyraz jest sum\u0105 trzech poprzednich:
\n1, 1, 2, 4, 7, 13, 24, 44, 81, 149, 274, 504, 927, 1705,…
\n(jak wida\u0107 preferuj\u0119 dawny zapis bez zer na pocz\u0105tku, kt\u00f3re wskoczy\u0142y do ci\u0105g\u00f3w – moim zdaniem niepotrzebnie – w latach 70.).<\/p>\n

Stosunek dwu kolejnych wyraz\u00f3w ci\u0105gu Fibonacciego – F<\/em>(n<\/em>+1)\/F<\/em>(n<\/em>) – zmierza, wraz ze wzrostem n<\/em>, do tzw. z\u0142otej liczby fi<\/em>, kt\u00f3ra jest podstaw\u0105 z\u0142otego podzia\u0142u.
\nfi<\/em> = (1+sqrt5)\/2 = 1,61803…
\nLiczba fi<\/em> jest tak\u017ce pierwiastkiem wielomianu x<\/em>^2 – x<\/em> – 1. Je\u015bli wielomian ten potraktowa\u0107 jako wz\u00f3r na ci\u0105g: a(n) = n<\/em>^2 – n<\/em> – 1, to dla n <\/em>= 1, 2, 3… powstanie ci\u0105g wielomianowy<\/strong> Fibonacciego:
\n-1, 1, 5, 11, 19, 29, 41, 55, 71, 89, 109, 131, 155, 181, 209,…<\/p>\n

Analogicznie stosunek dwu kolejnych wyraz\u00f3w ci\u0105gu Tribonacciego zmierza do sta\u0142ej Tribonacciego r\u00f3wnej 1,83929…, kt\u00f3ra jest te\u017c pierwiastkiem wielomianu x<\/em>^3 – x<\/em>^2 – x<\/em> – 1.
\nCi\u0105g wielomianowy<\/strong> Tribonacciego ro\u015bnie oczywi\u015bcie znacznie szybciej ni\u017c odpowiedni ci\u0105g Fibonacciego, a jego trzynastym wyrazem jest – FANFARY!!! – 2014<\/strong>, czyli:
\n13^3 – 13^2 – 13^1 – 13^0 = 2014<\/strong><\/p>\n

W klasycznych ci\u0105gach Fibonacciego i Tribonacciego liczba 2014 nie pojawia si\u0119, ale w „wariacjach na temat” i owszem. Wariacje polegaj\u0105 w przypadku ci\u0105gu Fibonacciego na zadaniu dowolnej pary wyraz\u00f3w pocz\u0105tkowych. Chodzi przy tym o wyb\u00f3r takiej pary, aby 2014 pojawi\u0142o si\u0119 jak najp\u00f3\u017aniej. Trywialnym wariantem jest ci\u0105g, w kt\u00f3rym bie\u017c\u0105cy rok wyst\u0119puje natychmiast, np. 1<\/strong>, 2013<\/strong>, 2014,… Mo\u017cna jednak ulokowa\u0107 go znacznie lepiej – na dziesi\u0105tym miejscu: 2<\/strong>, 58<\/strong>, 60, 118, 178, 296, 474, 770, 1244, 2014,… Ale mo\u017ce by\u0107 jeszcze lepiej, czyli dalej – jakimi dwoma liczbami (ca\u0142kowitymi, dodatnimi) b\u0119dzie si\u0119 w\u00f3wczas zaczyna\u0142 ci\u0105g?<\/p>\n

\"\"<\/a><\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"

W bodaj najs\u0142ynniejszym ci\u0105gu matematycznym – Fibonacciego, ka\u017cdy wyraz (opr\u00f3cz pary pocz\u0105tkowych jedynek) jest sum\u0105 dwu poprzednich wyraz\u00f3w: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597,… Jego mniej znany kuzyn, ci\u0105g Tribonacciego, do trzeciego wyrazu wygl\u0105da tak samo, a dalej ka\u017cdy wyraz jest sum\u0105 trzech poprzednich: […]<\/p>\n","protected":false},"author":3,"featured_media":0,"comment_status":"open","ping_status":"open","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":{"footnotes":""},"categories":[1],"tags":[],"_links":{"self":[{"href":"https:\/\/blog.polityka.pl\/penszko\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/5379"}],"collection":[{"href":"https:\/\/blog.polityka.pl\/penszko\/wp-json\/wp\/v2\/posts"}],"about":[{"href":"https:\/\/blog.polityka.pl\/penszko\/wp-json\/wp\/v2\/types\/post"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/blog.polityka.pl\/penszko\/wp-json\/wp\/v2\/users\/3"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/blog.polityka.pl\/penszko\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=5379"}],"version-history":[{"count":19,"href":"https:\/\/blog.polityka.pl\/penszko\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/5379\/revisions"}],"predecessor-version":[{"id":5398,"href":"https:\/\/blog.polityka.pl\/penszko\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/5379\/revisions\/5398"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/blog.polityka.pl\/penszko\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=5379"}],"wp:term":[{"taxonomy":"category","embeddable":true,"href":"https:\/\/blog.polityka.pl\/penszko\/wp-json\/wp\/v2\/categories?post=5379"},{"taxonomy":"post_tag","embeddable":true,"href":"https:\/\/blog.polityka.pl\/penszko\/wp-json\/wp\/v2\/tags?post=5379"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}