{"id":601,"date":"2009-10-25T08:57:14","date_gmt":"2009-10-25T06:57:14","guid":{"rendered":"http:\/\/penszko.blog.polityka.pl\/?p=601"},"modified":"2009-11-15T09:38:28","modified_gmt":"2009-11-15T07:38:28","slug":"ciag-2d","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/blog.polityka.pl\/penszko\/2009\/10\/25\/ciag-2d\/","title":{"rendered":"Ci\u0105g 2D"},"content":{"rendered":"

Na stronach po\u015bwi\u0119conych matematyce rekreacyjnej trafiam czasem na \u0142amig\u0142\u00f3wki, kt\u00f3re nazywam rasowymi. To te, z napocz\u0119ciem kt\u00f3rych mam problem. Nie wiem, jak je ugry\u017a\u0107, cho\u0107 s\u0105 zrozumia\u0142e i w pierwszej chwili wydaje si\u0119, \u017ce k\u0142opotu nie b\u0119dzie. Takie zadania uwa\u017cam za pi\u0119ciogwiazdkowe, poniewa\u017c najwa\u017cniejsze to znale\u017a\u0107 na nie spos\u00f3b, czyli wpa\u015b\u0107 na pomys\u0142. Nie zawsze si\u0119 to udaje, bo czasem wiedzy nie staje, czyli nie zna si\u0119 jakiego\u015b twierdzenia, a cz\u0119\u015bciej metody, za\u015b \u017ceby samemu j\u0105 odkry\u0107, nie staje intelektu.
\nRasowo\u015b\u0107 jest cech\u0105 wzgl\u0119dn\u0105\u00a0– zgryz miewa nie ka\u017cdy, a poza tym ten, kto ma, przy nast\u0119pnym podobnym zadaniu ju\u017c mie\u0107 nie b\u0119dzie. Mo\u017cna by jednak uzna\u0107 za \u0142amig\u0142\u00f3wki bezwzgl\u0119dnie rasowe te, kt\u00f3re stawiaj\u0105 „pomys\u0142owy” op\u00f3r wi\u0119kszo\u015bci rozwi\u0105zuj\u0105cych.<\/p>\n

Ostatnio na \u0142amig\u0142\u00f3wkowym forum<\/a> Gazety Wyborczej pojawi\u0142o si\u0119 ma\u0142o znane zadanie sprzed wielu lat (pierwszy opublikowa\u0142 je chyba Ross Honsberger w ksi\u0105\u017cce Ingenuity in Mathematics<\/em>), kt\u00f3re zaliczy\u0142bym do rasowych, cho\u0107 ju\u017c nie dla mnie.<\/p>\n

\"\"<\/a><\/p>\n

Do tabeli wpisany jest ci\u0105g liczb ca\u0142kowitych dodatnich\u00a0– rz\u0119dami uko\u015bnymi, zgodnie ze wskazaniem strza\u0142ki. Nale\u017cy utworzy\u0107 wz\u00f3r na warto\u015b\u0107 liczby w kolumnie k i w wierszu w. Inaczej m\u00f3wi\u0105c, chodzi o napisanie wzoru na wyraz og\u00f3lny ci\u0105gu dwuwymiarowego a(w,k). Na forum gazetowym podane jest rozwi\u0105zanie, ale o najwa\u017cniejszym, czyli o sposobie doj\u015bcia do niego, nie wspomniano.<\/p>\n

Z zadaniem trudno si\u0119 upora\u0107, nie znaj\u0105c metody tworzenia wzoru na ci\u0105g, gdy znamy jego pocz\u0105tkowy fragment. Pozwol\u0119 sobie zatem przedstawi\u0107 stosowan\u0105 w takich przypadkach praktyczn\u0105 metod\u0119 r\u00f3\u017cnic sko\u0144czonych. W odniesieniu do ci\u0105g\u00f3w nie wygl\u0105da ona tak „strasznie<\/a>” jak w Wikipedii. Przeciwnie, jest raczej rozrywkowa.<\/p>\n

We\u017amy ci\u0105g z g\u0142\u00f3wnej przek\u0105tnej tabeli na powy\u017cszym rysunku, czyli:
\n1, 5, 13, 25, 41, 61, 85, …
\nTworzymy ci\u0105g r\u00f3\u017cnic mi\u0119dzy jego kolejnymi wyrazami, potem ci\u0105g r\u00f3\u017cnic mi\u0119dzy r\u00f3\u017cnicami, nast\u0119pnie ci\u0105g r\u00f3\u017cnic mi\u0119dzy r\u00f3\u017cnicami mi\u0119dzy r\u00f3\u017cnicami itd.\u00a0– dot\u0105d, a\u017c pojawi\u0105 si\u0119 zera.<\/p>\n

1___5___13___25___41___61
\n__4___8____12___16__ 20___ (pierwsze r\u00f3\u017cnice)
\n____4____4____4____4______ (drugie r\u00f3\u017cnice)
\n______0_____0___ 0_________ (trzecie r\u00f3\u017cnice)<\/p>\n

Gdyby ju\u017c pierwsze r\u00f3\u017cnice by\u0142y zerowe, to wz\u00f3r nie zawiera\u0142by zmiennych, czyli mia\u0142by og\u00f3ln\u0105 posta\u0107:
\na(n) = c, gdzie c jest jak\u0105\u015b sta\u0142\u0105.
\nPrzyk\u0142ad: c = 5; ci\u0105g\u00a0– 5, 5, 5, 5…
\nPrzy zerowym ci\u0105gu drugich r\u00f3\u017cnic wz\u00f3r wygl\u0105da\u0142by tak:
\na(n)= bn + c (b i c to sta\u0142e).
\nPrzyk\u0142ad: b = 2, c = 3; ci\u0105g\u00a0– 5, 7, 9, 11.
\nGdy\u00a0– jak w naszym przypadku\u00a0– zerowe s\u0105 trzecie r\u00f3\u017cnice, to wz\u00f3r b\u0119dzie mia\u0142 posta\u0107:
\na(n) = an^2 + bn + c.
\nWarto zwr\u00f3ci\u0107 uwag\u0119, \u017ce stopie\u0144 wielomianu jest zawsze o jeden mniejszy od numeru rz\u0119du, w kt\u00f3rym pojawi\u0142y si\u0119 r\u00f3\u017cnice zerowe.
\nWracaj\u0105c do naszego przyk\u0142adu, korzystamy z ostatniego wzoru, aby obliczy\u0107 sta\u0142e a, b, c. W tym celu kolejno podstawiamy pod n warto\u015bci 1, 2, 3; w ka\u017cdym przypadku wynik powinien by\u0107 r\u00f3wny odpowiedniemu wyrazowi ci\u0105gu, czyli:
\nJe\u015bli n = 1, to a(n) = 1, czyli a + b + c = 1
\nJe\u015bli n = 2, to a(n) = 5, czyli a + 2b + 4c = 5
\nJe\u015bli n = 3, to a(n) = 13, czyli a + 3b + 9c = 13
\nZ uk\u0142adu trzech r\u00f3wna\u0144 z trzema niewiadomymi obliczamy warto\u015bci a, b, c: a = 1, b = -2, c = 2. Podstawiaj\u0105c je do og\u00f3lnego wzoru otrzymujemy wz\u00f3r na nasz ci\u0105g:
\na(n) = 2n(n\u00a0– 1) + 1.<\/p>\n

Znaj\u0105c metod\u0119, mo\u017cna przyst\u0105pi\u0107 do rozwi\u0105zywania zadania, tworz\u0105c najpierw wz\u00f3r na pewien ci\u0105g, a potem, dedukuj\u0105c, dotrze\u0107 do celu.<\/p>\n

Na forum pojawi\u0142o si\u0119 pytanie o wsp\u00f3\u0142rz\u0119dne w i k liczby 2009. Jak dot\u0105d pozostaje bez odpowiedzi. Mo\u017ce kto\u015b z Pa\u0144stwa spr\u00f3buje jej udzieli\u0107.<\/p>\n

A gdyby to zadanie by\u0142o dla kogo\u015b za proste, proponuj\u0119 zastanowi\u0107 si\u0119 nad podobnym, kt\u00f3re r\u00f3\u017cni si\u0119 od powy\u017cszego tylko sposobem rozmieszczania liczb w diagramie\u00a0– te\u017c rz\u0119dami uko\u015bnymi, ale „w\u0119\u017cykiem”. P\u00f3ki co dla mnie jest to twardy „pomys\u0142owy” orzech do zgryzienia, czyli \u0142amig\u0142\u00f3wka rasowa.<\/p>\n

Komentarze z prawid\u0142owymi<\/strong> rozwi\u0105zaniami uwalniane s\u0105 wieczorem w przeddzie\u0144 kolejnego wpisu. Wpisy pojawiaj\u0105 si\u0119 co 3 dni.<\/span><\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"

Na stronach po\u015bwi\u0119conych matematyce rekreacyjnej trafiam czasem na \u0142amig\u0142\u00f3wki, kt\u00f3re nazywam rasowymi. To te, z napocz\u0119ciem kt\u00f3rych mam problem. Nie wiem, jak je ugry\u017a\u0107, cho\u0107 s\u0105 zrozumia\u0142e i w pierwszej chwili wydaje si\u0119, \u017ce k\u0142opotu nie b\u0119dzie. Takie zadania uwa\u017cam za pi\u0119ciogwiazdkowe, poniewa\u017c najwa\u017cniejsze to znale\u017a\u0107 na nie spos\u00f3b, czyli wpa\u015b\u0107 na pomys\u0142. Nie zawsze […]<\/p>\n","protected":false},"author":3,"featured_media":0,"comment_status":"open","ping_status":"open","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":{"footnotes":""},"categories":[1],"tags":[],"_links":{"self":[{"href":"https:\/\/blog.polityka.pl\/penszko\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/601"}],"collection":[{"href":"https:\/\/blog.polityka.pl\/penszko\/wp-json\/wp\/v2\/posts"}],"about":[{"href":"https:\/\/blog.polityka.pl\/penszko\/wp-json\/wp\/v2\/types\/post"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/blog.polityka.pl\/penszko\/wp-json\/wp\/v2\/users\/3"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/blog.polityka.pl\/penszko\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=601"}],"version-history":[{"count":0,"href":"https:\/\/blog.polityka.pl\/penszko\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/601\/revisions"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/blog.polityka.pl\/penszko\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=601"}],"wp:term":[{"taxonomy":"category","embeddable":true,"href":"https:\/\/blog.polityka.pl\/penszko\/wp-json\/wp\/v2\/categories?post=601"},{"taxonomy":"post_tag","embeddable":true,"href":"https:\/\/blog.polityka.pl\/penszko\/wp-json\/wp\/v2\/tags?post=601"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}