{"id":610,"date":"2009-11-06T08:45:28","date_gmt":"2009-11-06T06:45:28","guid":{"rendered":"http:\/\/penszko.blog.polityka.pl\/?p=610"},"modified":"2009-11-15T09:42:08","modified_gmt":"2009-11-15T07:42:08","slug":"modulo","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/blog.polityka.pl\/penszko\/2009\/11\/06\/modulo\/","title":{"rendered":"Modulo"},"content":{"rendered":"

Po kr\u00f3tkiej wycieczce do Turcji\u00a0powracam do tr\u00f3jk\u0105t\u00f3w liczbowych. To obiekty\u00a0ma\u0142o znane, poza tr\u00f3jk\u0105tem Pascala, a ciekawe. Przygotowa\u0142em artyku\u0142 o tych cudakach do \u015awiata nauki;<\/em> \u015bci\u015blej – o niekt\u00f3rych z nich, pozosta\u0142e przemycam do \u0141amiblogu.<\/p>\n

Mo\u017cna powiedzie\u0107, \u017ce tr\u00f3jk\u0105ty liczbowe s\u0105 r\u00f3wnoboczne, bo na ka\u017cdym boku znajduje si\u0119 tyle samo liczb, za\u015b\u00a0wszystkie tworz\u0105ce tr\u00f3jk\u0105t tkwi\u0105 w nim jak punkty w graficznym przedstawieniu liczb tr\u00f3jk\u0105tnych.<\/p>\n

\u00a0\"\"<\/a><\/p>\n

Liczba liczb w tr\u00f3jk\u0105tach liczbowych jest wi\u0119c zawsze liczb\u0105 tr\u00f3jk\u0105tn\u0105. Ka\u017cdy tworzy si\u0119 albo od wierzcho\u0142ka, jak tr\u00f3jk\u0105t Pascala, albo od podstawy, jak tr\u00f3jk\u0105t r\u00f3\u017cnicowy lub modularny. O r\u00f3\u017cnicowych ju\u017c troch\u0119 pisa\u0142em\u00a0– tu<\/a> i tu<\/a>. O modularnych by\u0142o przedpoprzednio, a cdn. teraz. Przypomn\u0119, \u017ce tworzy si\u0119 je, wpisuj\u0105c nad parami liczb ich sumy, ale niekt\u00f3re sumy, np. dwucyfrowe, zapisywane s\u0105 modulo x<\/em>, czyli s\u0105 pomniejszane o x<\/em>. Przedpoprzednio x<\/em> r\u00f3wna\u0142o si\u0119 9, wi\u0119c np. zamiast 15 sum\u0105 by\u0142o 6. Inaczej m\u00f3wi\u0105c, sum\u0105 by\u0142a suma\u00a0cyfr sumy:).<\/p>\n

Ciekawe zadanie wi\u0105\u017ce si\u0119 z tr\u00f3jk\u0105tami modularnymi z\u0142o\u017conymi z t<\/em> liczb, w kt\u00f3rych modulo t<\/em> zapisywane s\u0105 wszystkie sumy wi\u0119ksze od t<\/em>, czyli w tym przypadku s\u0105 pomniejszane o t<\/em> (z definicji:\u00a0„a<\/em> modulo n<\/em>”\u00a0oznacza reszt\u0119 z dzielenia a<\/em> przez n<\/em>). Zatem \u017cadna z tworz\u0105cych tr\u00f3jk\u0105t t<\/em> liczb nie b\u0119dzie wi\u0119ksza od t<\/em>. Oto dwa przyk\u0142ady dla t<\/em> = 6; sumy zapisane modulo 6 s\u0105 niebieskie.<\/p>\n

\u00a0\"\"<\/a><\/p>\n

Drugi przyk\u0142ad jest jedynym<\/span>\u00a0 jednym z dw\u00f3ch dla t<\/em> = 6 rozwi\u0105za\u0144niem<\/span> nast\u0119puj\u0105cego „zakr\u0119conego” problemu: czy dla ka\u017cdego t<\/em> (3, 6, 10, 15, 21,…) istnieje tr\u00f3jk\u0105t bez powt\u00f3rek, czyli z\u0142o\u017cony z wszystkich liczb od 1 do t<\/em>?<\/strong>
\nDla t<\/em> = 6 szukanie rozwi\u0105zania jest proste, bo pr\u00f3bowanie i b\u0142\u0105dzenie trwa kr\u00f3tko. Wystarczy zauwa\u017cy\u0107, \u017ce w wierzcho\u0142ku zawsze b\u0119dzie t<\/em> (gdyby by\u0142o ni\u017cej, to jaka\u015b liczba pojawi\u0142aby si\u0119 dwukrotnie), a potem dopasowywa\u0107 kolejno liczby w drugim i trzecim rz\u0119dzie.
\nA czy istnieje rozwi\u0105zanie dla t<\/em> = 10? Odpowiedzie\u0107 na to pytanie, czyli znale\u017a\u0107 (lub nie) tr\u00f3jk\u0105t, to jedno. Drugie i ciekawsze wydaje si\u0119 znalezienie pomys\u0142u na cho\u0107 troch\u0119 szybsze i sprytniejsze rozwi\u0105zywanie ni\u017c mozolna metoda pr\u00f3b i b\u0142\u0119d\u00f3w lub odpowiadaj\u0105cy jej komputerowy backtracking.<\/p>\n

Komentarze z prawid\u0142owymi<\/strong> rozwi\u0105zaniami uwalniane s\u0105 wieczorem w przeddzie\u0144 kolejnego wpisu. Wpisy pojawiaj\u0105 si\u0119 co 3 dni.<\/span><\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"

Po kr\u00f3tkiej wycieczce do Turcji\u00a0powracam do tr\u00f3jk\u0105t\u00f3w liczbowych. To obiekty\u00a0ma\u0142o znane, poza tr\u00f3jk\u0105tem Pascala, a ciekawe. Przygotowa\u0142em artyku\u0142 o tych cudakach do \u015awiata nauki; \u015bci\u015blej – o niekt\u00f3rych z nich, pozosta\u0142e przemycam do \u0141amiblogu. Mo\u017cna powiedzie\u0107, \u017ce tr\u00f3jk\u0105ty liczbowe s\u0105 r\u00f3wnoboczne, bo na ka\u017cdym boku znajduje si\u0119 tyle samo liczb, za\u015b\u00a0wszystkie tworz\u0105ce tr\u00f3jk\u0105t tkwi\u0105 w […]<\/p>\n","protected":false},"author":3,"featured_media":0,"comment_status":"open","ping_status":"open","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":{"footnotes":""},"categories":[1],"tags":[],"_links":{"self":[{"href":"https:\/\/blog.polityka.pl\/penszko\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/610"}],"collection":[{"href":"https:\/\/blog.polityka.pl\/penszko\/wp-json\/wp\/v2\/posts"}],"about":[{"href":"https:\/\/blog.polityka.pl\/penszko\/wp-json\/wp\/v2\/types\/post"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/blog.polityka.pl\/penszko\/wp-json\/wp\/v2\/users\/3"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/blog.polityka.pl\/penszko\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=610"}],"version-history":[{"count":0,"href":"https:\/\/blog.polityka.pl\/penszko\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/610\/revisions"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/blog.polityka.pl\/penszko\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=610"}],"wp:term":[{"taxonomy":"category","embeddable":true,"href":"https:\/\/blog.polityka.pl\/penszko\/wp-json\/wp\/v2\/categories?post=610"},{"taxonomy":"post_tag","embeddable":true,"href":"https:\/\/blog.polityka.pl\/penszko\/wp-json\/wp\/v2\/tags?post=610"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}