{"id":8103,"date":"2020-07-18T08:45:12","date_gmt":"2020-07-18T07:45:12","guid":{"rendered":"http:\/\/penszko.blog.polityka.pl\/?p=8103"},"modified":"2020-07-18T08:45:12","modified_gmt":"2020-07-18T07:45:12","slug":"skad-blad","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/blog.polityka.pl\/penszko\/2020\/07\/18\/skad-blad\/","title":{"rendered":"Sk\u0105d b\u0142\u0105d?"},"content":{"rendered":"\n<p> W roku 1738 Euler wykaza\u0142, \u017ce istnieje tylko jedna para kolejnych liczb naturalnych dodatnich takich, \u017ce jedna z nich jest kwadratem, a druga sze\u015bcianem. Inaczej m\u00f3wi\u0105c, udowodni\u0142, \u017ce r\u00f3wnanie<br> y<sup>2<\/sup> = x<sup>3 <\/sup>\u00b1 1<br> b\u0119d\u0105ce szczeg\u00f3lnym przypadkiem p\u00f3\u017aniejszej hipotezy Catalana (od roku 2002 twierdzenia Mih\u0103ilescu) dla liczb ca\u0142kowitych x>0 i y>0 ma tylko jedno rozwi\u0105zanie.<br> W\u0142a\u015bciwie dowody by\u0142y dwa \u2013 ka\u017cdy dotyczy\u0142 \u201epo\u0142owy\u201d powy\u017cszego r\u00f3wnania. Uporanie si\u0119 z wariantem  y<sup>2<\/sup> = x<sup>3 <\/sup>+ 1 jest do\u015b\u0107 proste, cho\u0107 nieelementarne. Natomiast w przypadku r\u00f3wnania  y<sup>2<\/sup> = x<sup>3 <\/sup> \u2013 1 dow\u00f3d Eulera by\u0142 bardziej skomplikowany i nieefektywny, bo prowadzi\u0142 do wniosku: rozwi\u0105zania brak (x=1, y=0 pomijamy). W nast\u0119pnych latach, a w\u0142a\u015bciwie wiekach, niekt\u00f3rzy teoretycy liczb uznali, \u017ce warto szuka\u0107 dowodu bardziej eleganckiego, korzystaj\u0105cego z metod matematyki elementarnej. Przed niespe\u0142na p\u00f3\u0142wieczem pojawi\u0142 si\u0119 zaskakuj\u0105co prosty i sprytny dow\u00f3d dotycz\u0105cy efektywnego wariantu  y<sup>2<\/sup> = x<sup>3 <\/sup>+ 1, ale \u2013 jak si\u0119 poniewczasie okaza\u0142o \u2013 nieco u\u0142omny. Oto on.<br> Przekszta\u0142camy praw\u0105 stron\u0119 r\u00f3wnania:<br> y<sup>2<\/sup> = x<sup>3 <\/sup>+ 1 = (x +1)(x<sup>2<\/sup> \u2013 x + 1) = (x + 1)<sup>2<\/sup>[x \u2013 2 + 3\/(x+1)]<br> Skoro x i y maj\u0105 by\u0107 liczbami ca\u0142kowitymi dodatnimi, to tak\u0105 liczb\u0105 musi by\u0107 tak\u017ce wyra\u017cenie 3\/(x+1), a to jest mo\u017cliwe tylko dla x=2. W\u00f3wczas lewa strona r\u00f3wnania b\u0119dzie r\u00f3wna 9, a wi\u0119c tyle wynosi  y<sup>2<\/sup>, czyli y=3.<br> Wynik (x=2, y=3) jest oczywi\u015bcie poprawny, ale egzamin polegaj\u0105cy na przeprowadzeniu dowodu nie zosta\u0142 zaliczony. Wskazanie b\u0142\u0119du w dowodzie nie jest \u0142atwe, ale mo\u017ce kto\u015b z Pa\u0144stwa trafi w sedno.<\/p>\n\n\n\n<p><em>Komentarze z&nbsp;prawid\u0142owym rozwi\u0105zaniem ujawniane s\u0105 wieczorem w&nbsp;przeddzie\u0144 kolejnego wpisu (z b\u0142\u0119dnym zwykle od razu). Wpisy pojawiaj\u0105 si\u0119 co 7 dni.<\/em><\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>W roku 1738 Euler wykaza\u0142, \u017ce istnieje tylko jedna para kolejnych liczb naturalnych dodatnich takich, \u017ce jedna z nich jest kwadratem, a druga sze\u015bcianem. Inaczej m\u00f3wi\u0105c, udowodni\u0142, \u017ce r\u00f3wnanie y2 = x3 \u00b1 1 b\u0119d\u0105ce szczeg\u00f3lnym przypadkiem p\u00f3\u017aniejszej hipotezy Catalana (od roku 2002 twierdzenia Mih\u0103ilescu) dla liczb ca\u0142kowitych x>0 i y>0 ma tylko jedno rozwi\u0105zanie. [&hellip;]<\/p>\n","protected":false},"author":3,"featured_media":0,"comment_status":"open","ping_status":"closed","sticky":true,"template":"","format":"standard","meta":{"footnotes":""},"categories":[1],"tags":[],"_links":{"self":[{"href":"https:\/\/blog.polityka.pl\/penszko\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/8103"}],"collection":[{"href":"https:\/\/blog.polityka.pl\/penszko\/wp-json\/wp\/v2\/posts"}],"about":[{"href":"https:\/\/blog.polityka.pl\/penszko\/wp-json\/wp\/v2\/types\/post"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/blog.polityka.pl\/penszko\/wp-json\/wp\/v2\/users\/3"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/blog.polityka.pl\/penszko\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=8103"}],"version-history":[{"count":8,"href":"https:\/\/blog.polityka.pl\/penszko\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/8103\/revisions"}],"predecessor-version":[{"id":8111,"href":"https:\/\/blog.polityka.pl\/penszko\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/8103\/revisions\/8111"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/blog.polityka.pl\/penszko\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=8103"}],"wp:term":[{"taxonomy":"category","embeddable":true,"href":"https:\/\/blog.polityka.pl\/penszko\/wp-json\/wp\/v2\/categories?post=8103"},{"taxonomy":"post_tag","embeddable":true,"href":"https:\/\/blog.polityka.pl\/penszko\/wp-json\/wp\/v2\/tags?post=8103"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}