{"id":8386,"date":"2021-02-20T09:37:06","date_gmt":"2021-02-20T08:37:06","guid":{"rendered":"http:\/\/penszko.blog.polityka.pl\/?p=8386"},"modified":"2021-02-20T18:36:43","modified_gmt":"2021-02-20T17:36:43","slug":"kwadratowo-3","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/blog.polityka.pl\/penszko\/2021\/02\/20\/kwadratowo-3\/","title":{"rendered":"Kwadratowo"},"content":{"rendered":"\n<p> W komentarzach pod poprzednim wpisem programi\u015bci goszcz\u0105cy w \u0141amiblogu ustalili, \u017ce para liczb naturalnych (287, 287) jest jedyn\u0105 tak\u0105, \u017ce wyniki czterech podstawowych dzia\u0142a\u0144 na tej parze s\u0105 liczbami naturalnymi nieujemnymi, sk\u0142adaj\u0105cymi si\u0119 \u0142\u0105cznie z dziesi\u0119ciu r\u00f3\u017cnych cyfr. A konkretnie: suma <em>S<\/em>=287+287=<strong>574<\/strong>, r\u00f3\u017cnica <em>D<\/em>=287\u2013287=<strong>0<\/strong>, iloczyn <em>P<\/em>=287\u00d7287=<strong>82369<\/strong>, iloraz <em>Q<\/em>=287:287=<strong>1<\/strong>.<br> Zadania polegaj\u0105ce na szukaniu pary liczb spe\u0142niaj\u0105cych okre\u015blone warunki, ale oczywi\u015bcie obliczeniowo znacznie prostsze ni\u017c powy\u017csze, kojarz\u0105 mi si\u0119 ze szko\u0142\u0105. W wi\u0119kszo\u015bci z nich kluczem do rozwi\u0105zania s\u0105 wyniki dw\u00f3ch dzia\u0142a\u0144 mi\u0119dzy szukanymi liczbami \u2013 zwykle dodawania i mno\u017cenia. Rozwi\u0105zywanie sprowadza si\u0119 do u\u0142o\u017cenia r\u00f3wnania drugiego stopnia, cho\u0107 co sprytniejsi uczniowie rozk\u0142adaj\u0105 iloczyn na czynniki pierwsze i z tych czynnik\u00f3w sk\u0142adaj\u0105 tak\u0105 mno\u017cn\u0105 i mno\u017cnik, kt\u00f3re by\u0142yby r\u00f3wnocze\u015bnie sk\u0142adnikami dodawania z podan\u0105 sum\u0105. Na przyk\u0142ad w zadaniu z podr\u0119cznika dla liceum nale\u017cy znale\u017a\u0107 dwie liczby, kt\u00f3rych suma r\u00f3wna jest 22, a iloczyn 105. Formalnie poprawne, a ze szkolnego punktu widzenia wr\u0119cz obowi\u0105zkowe jest u\u0142o\u017cenie r\u00f3wnania, obliczenie wyr\u00f3\u017cnika itd. Ale pro\u015bciej roz\u0142o\u017cy\u0107 105 na czynniki pierwsze (3\u00d75\u00d77) i zauwa\u017cy\u0107, \u017ce 3\u00d75+7=15+7=22. Tylko \u017ce za taki spos\u00f3b rozwi\u0105zania mo\u017cna dosta\u0107 pa\u0142\u0119.<br> Wracaj\u0105c do znacznie trudniejszych przypadk\u00f3w, proponuj\u0119 wariacj\u0119 na temat sprzed tygodnia. Prosz\u0119 spr\u00f3bowa\u0107 znale\u017a\u0107 par\u0119 takich <strong><em>r\u00f3\u017cnych<\/em><\/strong> liczb ca\u0142kowitych dodatnich, kt\u00f3rych suma, r\u00f3\u017cnica, iloczyn i iloraz s\u0105 kwadratami. Wyr\u00f3\u017cni\u0142em <strong><em>r\u00f3\u017cnych<\/em><\/strong>, bo o pary bli\u017aniacze \u2013 w rodzaju powy\u017cszej (287, 287) \u2013 bardzo \u0142atwo: ka\u017cda z\u0142o\u017cona z dwu jednakowych po\u0142\u00f3wek kwadratu spe\u0142nia warunki zadania. Na przyk\u0142ad (18, 18) \u2013 <em>S<\/em>=36, <em>D<\/em>=0, <em>P<\/em>=324, <em>Q<\/em>=1. Szczerze pisz\u0105c, pr\u00f3bowa\u0142em szuka\u0107 takich par, wspomagaj\u0105c si\u0119 nieudolnie komputerem, ale bezskutecznie. Znalaz\u0142em sporo par daj\u0105cych trzy wyniki-kwadraty, ale jednego zawsze brakowa\u0142o, zwykle sumy lub r\u00f3\u017cnicy. Na przyk\u0142ad: dla (3, 12) <em>S<\/em>=15, a dla (5, 20) <em>D<\/em>=15 \u2013 w obu przypadkach pozosta\u0142e trzy wyniki to kwadraty. Je\u015bli natomiast, korzystaj\u0105c z tr\u00f3jek pitagorejskich dobra\u0107 tak\u0105 par\u0119, aby kwadratami by\u0142a suma i r\u00f3\u017cnica, np. (5, 4), (13, 12), (17, 8),&#8230; itd., to jest k\u0142opot z &#8222;ukwadratowieniem&#8221; iloczynu, a zw\u0142aszcza ilorazu. Mam wi\u0119c w\u0105tpliwo\u015bci czy czterokwadratowe r\u00f3\u017cnoliczbowe pary w og\u00f3le istniej\u0105. A je\u015bli tak w\u0142a\u015bnie jest, to mo\u017ce komu\u015b uda si\u0119 to nieistnienie udowodni\u0107.<br> PS mo\u017cliwy jest te\u017c og\u00f3lniejszy wariant: cztery wyniki powinny by\u0107 dowolnymi pot\u0119gami (oczywi\u015bcie opr\u00f3cz pierwszej).<\/p>\n\n\n\n<p><em>Komentarze z&nbsp;prawid\u0142owym rozwi\u0105zaniem ujawniane s\u0105 wieczorem w&nbsp;przeddzie\u0144 kolejnego wpisu (z b\u0142\u0119dnym zwykle od razu). Wpisy pojawiaj\u0105 si\u0119 co 7 dni.<\/em><\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>W komentarzach pod poprzednim wpisem programi\u015bci goszcz\u0105cy w \u0141amiblogu ustalili, \u017ce para liczb naturalnych (287, 287) jest jedyn\u0105 tak\u0105, \u017ce wyniki czterech podstawowych dzia\u0142a\u0144 na tej parze s\u0105 liczbami naturalnymi nieujemnymi, sk\u0142adaj\u0105cymi si\u0119 \u0142\u0105cznie z dziesi\u0119ciu r\u00f3\u017cnych cyfr. A konkretnie: suma S=287+287=574, r\u00f3\u017cnica D=287\u2013287=0, iloczyn P=287\u00d7287=82369, iloraz Q=287:287=1. Zadania polegaj\u0105ce na szukaniu pary liczb spe\u0142niaj\u0105cych [&hellip;]<\/p>\n","protected":false},"author":3,"featured_media":0,"comment_status":"open","ping_status":"closed","sticky":true,"template":"","format":"standard","meta":{"footnotes":""},"categories":[1],"tags":[],"_links":{"self":[{"href":"https:\/\/blog.polityka.pl\/penszko\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/8386"}],"collection":[{"href":"https:\/\/blog.polityka.pl\/penszko\/wp-json\/wp\/v2\/posts"}],"about":[{"href":"https:\/\/blog.polityka.pl\/penszko\/wp-json\/wp\/v2\/types\/post"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/blog.polityka.pl\/penszko\/wp-json\/wp\/v2\/users\/3"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/blog.polityka.pl\/penszko\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=8386"}],"version-history":[{"count":5,"href":"https:\/\/blog.polityka.pl\/penszko\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/8386\/revisions"}],"predecessor-version":[{"id":8391,"href":"https:\/\/blog.polityka.pl\/penszko\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/8386\/revisions\/8391"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/blog.polityka.pl\/penszko\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=8386"}],"wp:term":[{"taxonomy":"category","embeddable":true,"href":"https:\/\/blog.polityka.pl\/penszko\/wp-json\/wp\/v2\/categories?post=8386"},{"taxonomy":"post_tag","embeddable":true,"href":"https:\/\/blog.polityka.pl\/penszko\/wp-json\/wp\/v2\/tags?post=8386"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}