{"id":894,"date":"2010-08-07T08:39:30","date_gmt":"2010-08-07T07:39:30","guid":{"rendered":"http:\/\/penszko.blog.polityka.pl\/?p=894"},"modified":"2010-08-07T08:39:30","modified_gmt":"2010-08-07T07:39:30","slug":"powrot-olowkow","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/blog.polityka.pl\/penszko\/2010\/08\/07\/powrot-olowkow\/","title":{"rendered":"Powr\u00f3t o\u0142\u00f3wk\u00f3w"},"content":{"rendered":"

Trzy\u00a0wpisy temu pad\u0142o pytanie:
\njak rozmie\u015bci\u0107 sze\u015b\u0107 o\u0142\u00f3wk\u00f3w<\/strong>, aby ka\u017cdy dotyka\u0142 pi\u0119ciu<\/strong> (albo inaczej: aby styka\u0142y si\u0119 ka\u017cde dwa)?
\nTu\u017c po nim by\u0142o drugie:
\njak rozmie\u015bci\u0107 siedem o\u0142\u00f3wk\u00f3w<\/strong>, aby ka\u017cdy dotyka\u0142 sze\u015bciu<\/strong>?
\nWarto u\u015bci\u015bli\u0107, \u017ce o\u0142\u00f3wki s\u0105 po to, aby zadanie „trafi\u0142o pod strzechy”\u00a0– w domy\u015ble chodzi o walce.<\/p>\n

Mi\u0142o\u015bnikom matematyki rekreacyjnej znana jest odpowied\u017a na pierwsze pytanie, rzec by mo\u017cna, Gardnerowska, czyli uk\u0142ad taki, jak na poni\u017cszym rysunku, zamieszczony w Scientific American<\/em> w 1957 roku (ale znany wcze\u015bniej), a potem pojawiaj\u0105cy si\u0119 w ksi\u0105\u017ckach Martina Gardnera.<\/p>\n

\"\"<\/a><\/p>\n

Gardnerowsk\u0105 mo\u017cna nazwa\u0107 tak\u017ce odpowied\u017a na drugie pytanie, kt\u00f3ra by\u0142a nowo\u015bci\u0105 nades\u0142an\u0105 w\u00f3wczas przez kilkunastu czytelnik\u00f3w:<\/p>\n

\"\"<\/a><\/p>\n

Warto zauwa\u017cy\u0107, \u017ce obie konstrukcje nie s\u0105 bezwarunkowe. Je\u015bli za\u0142o\u017cymy, \u017ce grubo\u015b\u0107 walc\u00f3w jest jednakowa,\u00a0 to ich d\u0142ugo\u015b\u0107 (tak\u017ce jednakowa)\u00a0b\u0119dzie w obu przypadkach ograniczona z do\u0142u. Dla sze\u015bciu walc\u00f3w powinna by\u0107\u00a0mniej wi\u0119cej\u00a05-krotnie wi\u0119ksza od grubo\u015bci\u00a0(dok\u0142adnej wielokrotno\u015bci nie znam); dla siedmiu\u00a0– przynajmniej 7\/2*sqrt3 razy wi\u0119ksza. Kluczowe znaczenie maj\u0105 oczywi\u015bcie punkty styku walc\u00f3w, le\u017c\u0105cych w dw\u00f3ch warstwach. Trudno narysowa\u0107 „prze\u0142omowy” uk\u0142ad sze\u015bciu walc\u00f3w, \u0142atwiej siedmiu:<\/p>\n

\"\"<\/a><\/p>\n

Po minimalnym skr\u00f3ceniu walc\u00f3w wewn\u0119trzne lub zewn\u0119trzne punkty styku, oznaczone czerwonymi kropkami, „rozjad\u0105 si\u0119”.<\/p>\n

Dla sze\u015bciu walc\u00f3w Gardnerowski uk\u0142ad\u00a0nie jest jedynym rozwi\u0105zaniem. W roku 1968 angielski matematyk John Edensor Littlewood „poprawi\u0142” zadanie, pytaj\u0105c o najwi\u0119ksz\u0105 liczb\u0119 jednakowych walc\u00f3w, ale niesko\u0144czonych, stykaj\u0105cych si\u0119 ka\u017cdy z ka\u017cdym. Inaczej m\u00f3wi\u0105c, chodzi o o\u0142\u00f3wki o d\u0142ugo\u015bci obustronnie nieograniczonej, czyli powierzchnie walcowe (walce nie maj\u0105 podstaw, a zatem punkty styku mog\u0105 by\u0107 tylko na powierzchniach bocznych). Problem ma kilka rozwi\u0105za\u0144 dla sze\u015bciu walc\u00f3w i wszystkie one s\u0105 oczywi\u015bcie tak\u017ce rozwi\u0105zaniami dla „sko\u0144czonych” o\u0142\u00f3wk\u00f3w. Co ciekawe, jest w\u015br\u00f3d nich rozwi\u0105zanie, kt\u00f3re ma jeden stopie\u0144 swobody, a to sugeruje, \u017ce mo\u017cliwe by\u0142oby „totalne sparowanie” tak\u017ce siedmiu powierzchni walcowych. Niestety, dot\u0105d nikomu si\u0119 to nie uda\u0142o. Znany jest dow\u00f3d ograniczaj\u0105cy liczb\u0119 walc\u00f3w w uk\u0142adzie, z kt\u00f3rego wynika, \u017ce nie mo\u017ce ich by\u0107 wi\u0119cej ni\u017c… 24. Tak wysoko umieszczona poprzeczka \u015bwiadczy o trudno\u015bci dowodzenia na styku geometrii, kombinatoryki i topologii.<\/p>\n

Wr\u00f3\u0107my do o\u0142\u00f3wk\u00f3w sko\u0144czonych.
\nZapewne przed laty Martin Gardner oniemia\u0142by z wra\u017cenia, gdyby jaki\u015b czytelnik nades\u0142a\u0142 rysunek o\u015bmiu o\u0142\u00f3wk\u00f3w u\u0142o\u017conych tak, \u017ce ka\u017cdy dotyka\u0142by siedmiu pozosta\u0142ych. Jest to bowiem mo\u017cliwe i wcale nie takie trudne, je\u015bli pami\u0119ta\u0107, \u017ce konstrukcje nie s\u0105 bezwarunkowe. M\u00f3wi\u0105c wprost, w tym przypadku d\u0142ugo\u015bci o\u0142\u00f3wk\u00f3w nie b\u0119d\u0105 jednakowe, cho\u0107 r\u00f3\u017cni\u0105ce si\u0119\u00a0nieznacznie.
\nCzy kto\u015b z Pa\u0144stwa poradzi sobie z \u00f3semk\u0105?<\/p>\n

Komentarze z prawid\u0142owymi<\/strong> rozwi\u0105zaniami uwalniane s\u0105 wieczorem w przeddzie\u0144 kolejnego wpisu. Wpisy pojawiaj\u0105 si\u0119 co 3-4 dni.<\/span><\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"

Trzy\u00a0wpisy temu pad\u0142o pytanie: jak rozmie\u015bci\u0107 sze\u015b\u0107 o\u0142\u00f3wk\u00f3w, aby ka\u017cdy dotyka\u0142 pi\u0119ciu (albo inaczej: aby styka\u0142y si\u0119 ka\u017cde dwa)? Tu\u017c po nim by\u0142o drugie: jak rozmie\u015bci\u0107 siedem o\u0142\u00f3wk\u00f3w, aby ka\u017cdy dotyka\u0142 sze\u015bciu? Warto u\u015bci\u015bli\u0107, \u017ce o\u0142\u00f3wki s\u0105 po to, aby zadanie „trafi\u0142o pod strzechy”\u00a0– w domy\u015ble chodzi o walce. Mi\u0142o\u015bnikom matematyki rekreacyjnej znana jest odpowied\u017a […]<\/p>\n","protected":false},"author":3,"featured_media":0,"comment_status":"open","ping_status":"open","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":{"footnotes":""},"categories":[1],"tags":[],"_links":{"self":[{"href":"https:\/\/blog.polityka.pl\/penszko\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/894"}],"collection":[{"href":"https:\/\/blog.polityka.pl\/penszko\/wp-json\/wp\/v2\/posts"}],"about":[{"href":"https:\/\/blog.polityka.pl\/penszko\/wp-json\/wp\/v2\/types\/post"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/blog.polityka.pl\/penszko\/wp-json\/wp\/v2\/users\/3"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/blog.polityka.pl\/penszko\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=894"}],"version-history":[{"count":0,"href":"https:\/\/blog.polityka.pl\/penszko\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/894\/revisions"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/blog.polityka.pl\/penszko\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=894"}],"wp:term":[{"taxonomy":"category","embeddable":true,"href":"https:\/\/blog.polityka.pl\/penszko\/wp-json\/wp\/v2\/categories?post=894"},{"taxonomy":"post_tag","embeddable":true,"href":"https:\/\/blog.polityka.pl\/penszko\/wp-json\/wp\/v2\/tags?post=894"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}