{"id":9058,"date":"2023-02-25T12:43:29","date_gmt":"2023-02-25T11:43:29","guid":{"rendered":"http:\/\/penszko.blog.polityka.pl\/?p=9058"},"modified":"2023-02-25T12:43:29","modified_gmt":"2023-02-25T11:43:29","slug":"problem-49","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/blog.polityka.pl\/penszko\/2023\/02\/25\/problem-49\/","title":{"rendered":"Problem 49"},"content":{"rendered":"\n<p> W moim \u0142amig\u0142\u00f3wkowym \u015bwiatku pojawiaj\u0105 si\u0119 czasem \u2013 zwykle przypadkowo przy okazji innego tematu \u2013 problemy, a w\u0142a\u015bciwie problemiki lub pytania, kt\u00f3re trudno nazwa\u0107 \u0142amig\u0142\u00f3wkami, ale kt\u00f3re chodz\u0105 po g\u0142owie i trudno si\u0119 od nich uwolni\u0107. Oto przyk\u0142ad takiego drobiazgu: czy 49 jest jedynym kwadratem, kt\u00f3ry pozostaje kwadratem zar\u00f3wno po usuni\u0119ciu pierwszej cyfry, jak i po usuni\u0119ciu ostatniej? W encyklopedii OEIS jest ci\u0105g kwadrat\u00f3w, kt\u00f3re nie trac\u0105 kwadratowo\u015bci po r\u00f3wnoczesnym usuni\u0119ciu cyfr pierwszej i ostatniej (<a href=\"https:\/\/oeis.org\/A077355\">A077355<\/a>, przyk\u0142ady \u2013 196, 8649, 77841) \u2013 ale to oczywi\u015bcie, wbrew pozorom, co\u015b prawie ca\u0142kiem innego. Wprawdzie w r\u00f3\u017cnych numberopediach pojawia si\u0119 liczba 49 ze wzgl\u0119du na jej osobliwe w\u0142asno\u015bci, ale inne \u2013 na przyk\u0142ad jako najmniejsza konkatenacja (zlepek) dw\u00f3ch kwadrat\u00f3w albo najwi\u0119kszy kwadrat liczby pierwszej <em><strong>p<\/strong><\/em>, kt\u00f3ry jest wi\u0119kszy od iloczynu wszystkich liczb pierwszych mniejszych od <em><strong>p<\/strong><\/em> (49 &gt; 2*<em>3*<\/em>5=30). To, \u017ce nigdzie nie ma wzmianki o podw\u00f3jnie \u201eobciachowej\u201d jedynaczce 49 mog\u0142oby sugerowa\u0107, \u017ce nie jest ona jedynaczk\u0105. Mo\u017cna jednak do\u015b\u0107 \u0142atwo dowie\u015b\u0107, \u017ce jednak jest. W jaki spos\u00f3b?<br> A przy okazji inne, bardziej \u201enormalne\u201d zadanie na temat.<br> Zapisa\u0142em 49 kolejnych liczb naturalnych \u2013 od 1 do 49. Wykre\u015bli\u0142em dwie z nich, a zamiast nich do zbioru dopisa\u0142em ich r\u00f3\u017cnic\u0119 (nieujemn\u0105, czyli modu\u0142 r\u00f3\u017cnicy). Tak\u0105 operacj\u0119 powt\u00f3rzy\u0142em 48 razy, a\u017c pozosta\u0142a jedna liczba. Jaka, je\u015bli liczb\u0119 t\u0119 mo\u017cna utworzy\u0107 z dw\u00f3ch r\u00f3\u017cnych cyfr spo\u015br\u00f3d czterech, nie wyst\u0119puj\u0105cych w poni\u017cszym zapisie mno\u017cenia \u2013 oczywi\u015bcie po jego rozszyfrowaniu? W zapisie ujawniono czw\u00f3rki i dziewi\u0105tki, ale niekoniecznie wszystkie.<\/p>\n\n\n\n<figure class=\"wp-block-image\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" width=\"284\" height=\"300\" src=\"\/wp-content\/uploads\/2023\/02\/P49-284x300.jpg\" alt=\"\" class=\"wp-image-9059\" srcset=\"\/penszko\/wp-content\/uploads\/2023\/02\/P49-284x300.jpg 284w, \/penszko\/wp-content\/uploads\/2023\/02\/P49-768x812.jpg 768w, \/penszko\/wp-content\/uploads\/2023\/02\/P49-969x1024.jpg 969w, \/penszko\/wp-content\/uploads\/2023\/02\/P49.jpg 2000w\" sizes=\"(max-width: 284px) 100vw, 284px\" \/><\/figure>\n\n\n\n<p><em>Komentarze z&nbsp;prawid\u0142owym rozwi\u0105zaniem ujawniane s\u0105 wieczorem w&nbsp;przeddzie\u0144 kolejnego wpisu (z b\u0142\u0119dnym zwykle od razu). Wpisy pojawiaj\u0105 si\u0119 co 7 dni.<\/em><\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>W moim \u0142amig\u0142\u00f3wkowym \u015bwiatku pojawiaj\u0105 si\u0119 czasem \u2013 zwykle przypadkowo przy okazji innego tematu \u2013 problemy, a w\u0142a\u015bciwie problemiki lub pytania, kt\u00f3re trudno nazwa\u0107 \u0142amig\u0142\u00f3wkami, ale kt\u00f3re chodz\u0105 po g\u0142owie i trudno si\u0119 od nich uwolni\u0107. Oto przyk\u0142ad takiego drobiazgu: czy 49 jest jedynym kwadratem, kt\u00f3ry pozostaje kwadratem zar\u00f3wno po usuni\u0119ciu pierwszej cyfry, jak i [&hellip;]<\/p>\n","protected":false},"author":3,"featured_media":0,"comment_status":"open","ping_status":"closed","sticky":true,"template":"","format":"standard","meta":{"footnotes":""},"categories":[1],"tags":[],"_links":{"self":[{"href":"https:\/\/blog.polityka.pl\/penszko\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/9058"}],"collection":[{"href":"https:\/\/blog.polityka.pl\/penszko\/wp-json\/wp\/v2\/posts"}],"about":[{"href":"https:\/\/blog.polityka.pl\/penszko\/wp-json\/wp\/v2\/types\/post"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/blog.polityka.pl\/penszko\/wp-json\/wp\/v2\/users\/3"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/blog.polityka.pl\/penszko\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=9058"}],"version-history":[{"count":5,"href":"https:\/\/blog.polityka.pl\/penszko\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/9058\/revisions"}],"predecessor-version":[{"id":9089,"href":"https:\/\/blog.polityka.pl\/penszko\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/9058\/revisions\/9089"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/blog.polityka.pl\/penszko\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=9058"}],"wp:term":[{"taxonomy":"category","embeddable":true,"href":"https:\/\/blog.polityka.pl\/penszko\/wp-json\/wp\/v2\/categories?post=9058"},{"taxonomy":"post_tag","embeddable":true,"href":"https:\/\/blog.polityka.pl\/penszko\/wp-json\/wp\/v2\/tags?post=9058"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}