{"id":944,"date":"2010-10-08T08:05:56","date_gmt":"2010-10-08T06:05:56","guid":{"rendered":"http:\/\/penszko.blog.polityka.pl\/?p=944"},"modified":"2010-10-08T16:18:47","modified_gmt":"2010-10-08T14:18:47","slug":"tropiac-kwadrat","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/blog.polityka.pl\/penszko\/2010\/10\/08\/tropiac-kwadrat\/","title":{"rendered":"Tropi\u0105c kwadrat"},"content":{"rendered":"

Na filmiku<\/a> w Youtube pan matematyk t\u0142umaczy, jak ustali\u0107, czy liczba jest kwadratem (a \u015bci\u015blej, \u017ce nim nie jest). Gdyby nie dobitny ton parominutowego wyk\u0142adziku, pewnie usn\u0105\u0142bym w po\u0142owie. Niestety, dowody matematyczne cz\u0119sto musz\u0105 by\u0107 bliskie \u0142opatologii, \u017ceby trafia\u0142y do najbardziej opornych.<\/p>\n

Zapewne dla wi\u0119kszo\u015bci wystarczy\u0142oby stwierdzenie: pot\u0119ga iloczynu r\u00f3wna jest iloczynowi pot\u0119g, a st\u0105d wniosek, \u017ce podnosz\u0105c do kwadratu jak\u0105\u015b liczb\u0119, r\u00f3wnocze\u015bnie podnosimy do kwadratu ka\u017cdy z czynnik\u00f3w pierwszych, na kt\u00f3re mo\u017cna j\u0105 roz\u0142o\u017cy\u0107. Czy wiedz\u0105c o tym mo\u017cna sprawdzi\u0107 „kwadratowo\u015b\u0107” liczby? Teoretycznie tak, ale rozk\u0142adania du\u017cej liczby na czynniki pierwsze „go\u0142ymi r\u0119kami” nikomu nie \u017cycz\u0119. W praktyce taki spos\u00f3b mo\u017ce by\u0107 przydatny tylko do wyeliminowania kwadratu przez sprawdzenie podzielno\u015bci podejrzanej liczby przez ma\u0142e liczby pierwsze i ich kwadraty. A zatem, je\u017celi liczba dzieli si\u0119 przez 2 (3, 5), a nie dzieli przez 4 (9, 25), to sio! Taki przyk\u0142ad (z tr\u00f3jk\u0105 i dziewi\u0105tk\u0105) jest we wspomnianym filmiku.<\/p>\n

Zabawa rozpocz\u0119ta w poprzednim wpisie polega na znalezieniu prostego sposobu ustalenia z prawdopodobie\u0144stwem bardzo bliskim pewno\u015bci (prawie 99 %), \u017ce jaka\u015b du\u017ca liczba jest kwadratem. Albo inaczej: na wyeliminowaniu wielkiej liczby z grona podejrzanych o „kwadratowo\u015b\u0107”. Przyjmijmy, \u017ce du\u017ca to taka, kt\u00f3ra nie mie\u015bci si\u0119 w okienku popularnego kalkulatora, czyli ponad 8-cyfrowa.<\/p>\n

Przypomn\u0119 dwa podstawowe „sita”.
\nLiczba nie jest kwadratem, je\u015bli:
\n1<\/strong>. nie ko\u0144czy si\u0119 jedn\u0105 z nast\u0119puj\u0105cych par:
\n00, 01, 04, 09, 16, 21, 24, 25, 29, 36, 41, 44, 49, 56, 61, 64, 69, 76, 81, 84, 89, 96.
\n2<\/strong>. jej ostateczna suma cyfr (jednocyfrowa suma sumy sumy… cyfr) nie r\u00f3wna si\u0119 1, 4, 7 lub 9.<\/p>\n

Trzecie i ostatnie sito jest nieco wi\u0119ksze, bo jakby potr\u00f3jne, ale proste w obs\u0142udze. Zademonstruj\u0119 jego dzia\u0142anie na przyk\u0142adzie 16-cyfrowej liczby z pocz\u0105tku poprzedniego wpisu\u00a0– 2 172 602 007 770 049.
\nNad grupami liczby pokawa\u0142kowanej od ko\u0144ca na 3-cyfrowe grupy stawiamy (tak\u017ce od ko\u0144ca) na przemian plusy i minusy:<\/p>\n

–\u00a0\u00a0\u00a0 +\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0–\u00a0\u00a0\u00a0 +\u00a0\u00a0 \u00a0 \u00a0–\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0 +
\n2 172 602 007 770 049<\/p>\n

Grupy traktujemy jak liczby poprzedzone umieszczonymi nad nimi znakami i zapisujemy ca\u0142o\u015b\u0107 w postaci sumy algebraicznej:<\/p>\n

–\u00a02 + 172\u00a0– 602 + 7\u00a0– 770 + 49 =\u00a0– 1374 + 228<\/p>\n

Je\u017celi bezwzgl\u0119dna warto\u015b\u0107 sumy liczb z minusami jest wi\u0119ksza ni\u017c z plusami, to dodajemy do plus\u00f3w 1001 tyle razy, a\u017c suma plus\u00f3w przekroczy bezwzgl\u0119dn\u0105 sum\u0119 minus\u00f3w, czyli w tym przypadku dwukrotnie i obliczamy wynik S<\/em><\/strong> (gdyby natomiast plusy przekracza\u0142y minusy o wi\u0119cej ni\u017c 1000, mo\u017cemy na podobnej zasadzie zmniejszy\u0107 je o odpowiedni\u0105 wielokrotno\u015b\u0107 1001):<\/p>\n

–\u00a01374 + 228 +1001 +1001 = 856<\/p>\n

S<\/strong><\/em> nigdy nie przekroczy 1000, czyli b\u0119dzie \u0142atwe do dalszej „obr\u00f3bki”\u00a0– i o to chodzi.
\nTestowana liczba nie jest kwadratem, je\u015bli reszta z dzielenia S<\/strong><\/em> przez:
\n– 7 nie jest r\u00f3wna 0, 1, 2 lub 4;
\n– 11 nie jest r\u00f3wna 0, 1, 3, 4, 5 lub 9;
\n– 13 nie jest r\u00f3wna 0, 1, 3, 4, 9, 10 lub 12.<\/p>\n

Dziel\u0105c 856 przez 7 otrzymamy reszt\u0119 2, czyli podejrzenie pozostaje. Reszt\u0105 z dzielenia przez 11 jest 9, a wi\u0119c liczb\u0119 nadal mamy na sicie. Dopiero po podzieleniu przez 13 (reszta 11) uzyskujemy pewno\u015b\u0107, \u017ce 2 172 602 007 770 049 nie jest kwadratem.<\/p>\n

Wystarczy\u0142oby zmieni\u0107 ostatni\u0105 cyfr\u0119 (9), aby testowana 16-cyfrowa liczba sta\u0142a si\u0119 kwadratem. Gdybym zapyta\u0142, jaka cyfra powinna zast\u0105pi\u0107 dziewi\u0105tk\u0119, to zagadka by\u0142aby prosta i czysto rachunkowa\u00a0– z dw\u00f3ch mo\u017cliwych ko\u0144cowych par (41 i 44) tylko po wstawieniu tej pierwszej utworzona liczba 2 172 602 007 770 041 nie odpad\u0142aby w \u017cadnym z trzech test\u00f3w, poniewa\u017c jest kwadratem 46 611 179. Proponuj\u0119 wi\u0119c odrobin\u0119 trudniejsz\u0105 zabaw\u0119 zwi\u0105zan\u0105 z liczb\u0105 2 172 602 007 770 041.
\nStosuj\u0105c do tej liczby test ostatecznej sumy cyfr, mo\u017cna zauwa\u017cy\u0107, \u017ce ko\u0144cowa para, decyduj\u0105ca o „kwadratowo\u015bci”<\/strong> (41), r\u00f3wna jest sumie wszystkich pozosta\u0142ych cyfr<\/strong>. Prosz\u0119 znale\u017a\u0107 najmniejszy kwadrat o takiej samej w\u0142asno\u015bci.<\/em><\/p>\n

\u00a0Komentarze z prawid\u0142owymi<\/strong> rozwi\u0105zaniami uwalniane s\u0105 wieczorem w przeddzie\u0144 kolejnego wpisu. Wpisy pojawiaj\u0105 si\u0119 co 3-4 dni.<\/span><\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"

Na filmiku w Youtube pan matematyk t\u0142umaczy, jak ustali\u0107, czy liczba jest kwadratem (a \u015bci\u015blej, \u017ce nim nie jest). Gdyby nie dobitny ton parominutowego wyk\u0142adziku, pewnie usn\u0105\u0142bym w po\u0142owie. Niestety, dowody matematyczne cz\u0119sto musz\u0105 by\u0107 bliskie \u0142opatologii, \u017ceby trafia\u0142y do najbardziej opornych. Zapewne dla wi\u0119kszo\u015bci wystarczy\u0142oby stwierdzenie: pot\u0119ga iloczynu r\u00f3wna jest iloczynowi pot\u0119g, a st\u0105d […]<\/p>\n","protected":false},"author":3,"featured_media":0,"comment_status":"open","ping_status":"open","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":{"footnotes":""},"categories":[1],"tags":[],"_links":{"self":[{"href":"https:\/\/blog.polityka.pl\/penszko\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/944"}],"collection":[{"href":"https:\/\/blog.polityka.pl\/penszko\/wp-json\/wp\/v2\/posts"}],"about":[{"href":"https:\/\/blog.polityka.pl\/penszko\/wp-json\/wp\/v2\/types\/post"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/blog.polityka.pl\/penszko\/wp-json\/wp\/v2\/users\/3"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/blog.polityka.pl\/penszko\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=944"}],"version-history":[{"count":0,"href":"https:\/\/blog.polityka.pl\/penszko\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/944\/revisions"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/blog.polityka.pl\/penszko\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=944"}],"wp:term":[{"taxonomy":"category","embeddable":true,"href":"https:\/\/blog.polityka.pl\/penszko\/wp-json\/wp\/v2\/categories?post=944"},{"taxonomy":"post_tag","embeddable":true,"href":"https:\/\/blog.polityka.pl\/penszko\/wp-json\/wp\/v2\/tags?post=944"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}