Pućki bis
Sądziłem, że ktoś z Szanownych Komentatorów ujawni kulisy zadania zamieszczonego w poprzednim wpisie. Ponieważ tak się nie stało, postanowiłem samemu podać źródło. Ogólny problem jest zapewne mało znany, skoro nikt o nim nie wspomniał.
Zadanie o pućkach sprowadzone do abstrakcji brzmiałoby np. tak:
Zbiór składa się z nieskończenie wielu liczb 6, 9 i 20. Jaka jest największa liczba naturalna, nie będąca sumą liczb z tego zbioru?
Aby sprowadzić to zadanie do postaci ogólnej, należałoby zamiast „6, 9 i 20” wstawić „x1, x2, x3,…, xn„. Ponadto wypadałoby dodać, że wszystkie n różnych liczb należących do zbioru nie może mieć wspólnego dzielnika. W przeciwnym wypadku zadanie traci sens (na przykład, korzystając ze zbioru liczb parzystych nie sposób utworzyć żadnej sumy nieparzystej).
Rozwiązywanie jest – w konkretnym przypadku – szukaniem tzw. liczby Frobeniusa (od nazwiska matematyka niemieckiego z przełomu XIX i XX w.).
Ze zbiorem, w którym występują tylko dwie różne względnie pierwsze liczby – x1 i x2 (np. 9 i 20), od dawna (1884 r.) wiadomo jak sobie radzić w prosty sposób. Wystarczy skorzystać ze wzoru:
F = x1x2 – x1 – x2
A zatem jeżeli x1 = 9 i x2 = 20, to F = 151, czyli dysponując dziewiątkami i dwudziestkami nie sposób utworzyć sumy równej 151, a na każdą większą sposób się znajdzie.
Jeśli w zbiorze są trzy różne liczby – x1, x2, x3 (np. 6, 9 i 20), to poradzić sobie z zadaniem w ogólnym przypadku już nie jest tak łatwo. Prostego wzoru nie znamy, choć w niektórych konkretnych sytuacjach można stosować proste sposoby i znane są skuteczne ogólne algorytmy.
Wobec czterech i więcej różnych liczb matematyka jest jak dotąd bezsilna, ale zmagania trwają.
Wracając do pućków, zadanie z poprzedniego wpisu pojawiło się po raz pierwszy przed 20 laty w wersji z McNuggetsami, które sprzedawane są właśnie w porcjach po 6, 9 i 20 sztuk; podobno także po 4, ale głowy nie dam, bo w McDonald’sie nie bywam. Z pobudek patriotycznych zaproponowałem bliższą nam (fonetycznie) potrawę, czyli pućki, do których teraz jeszcze wrócę, ale w nieco innym matematycznym ujęciu.
Piszemy o tym, co ważne i ciekawe
Prezydent nie wszystkich Polaków
Pojawił się znikąd i trafił na szczyt. To będzie zapewne najbardziej konfrontacyjna prezydentura ze wszystkich dotychczasowych, której skutkiem może być paraliż państwa. Tylko czy Karol Nawrocki faktycznie jest mocarzem, na jakiego pozuje?
Klient kupił dwie małe (po 6 sztuk) i dwie duże (po 20 sztuk) puszki pućków. W domu wyjął wszystkie, pomieszał i ułożył na dwóch półmiskach – małym (dla dzieci) i dużym (dla dorosłych). Nie wiedział jednak, że jedna mała i jedna duża puszka były nieszczelne, a w związku tym znajdujące się w nich pućki, które normalnie są słodkie, zgorzkniały. W trakcie konsumpcji okazało się, że na jeden półmisek trafiło dwukrotnie więcej pućków gorzkich niż słodkich, a na drugim liczba słodkich była całkowitą wielokrotnością gorzkich.
Ile i jakich pućków było na każdym półmisku?
Komentarze z prawidłowymi rozwiązaniami uwalniane są wieczorem w przeddzień kolejnego wpisu. Wpisy pojawiają się co 3-4 dni.
Komentarze
Na mniejszym półmisku było 14 słodkich i 2 gorzkie pućki .
Na większym 12 słodkich i 24 gorzkie pućki.
Na dużym półmisku było 24 pućki gorzkie i 12 słodkich, na małym położono 2 pućki gorzkie i 14 słodkich.
Na jednym: 24 gorzkie i 12 słodkich
Na drugim: 14 słodkich i 2 gorzkie
maly polmisek – 14 dobrych, 2 zle.
duzy – 24 zle, 12 dobrych.
a
Na jednym półmisku było 12 słodkich i 24 gorzkie, na drugim zaś 14 słodkich i 2 gorzkie pućki.
Pozdrawiam