Dziewięć po trzy
Zaczął się rok 2014, czyli wkroczyliśmy w pełnię triennium sfenicznego 2013-2015. Brzmi to trochę mistycznie albo numerologicznie, jest jednak czystą matematyką. Takie trzylecia to rzadkość – dotąd w naszej erze były tylko dwa: 1309-1311 i 1885-1887. Rzecz w tym, że każde z nich tworzą trzy kolejne liczby zwane sfenicznymi (od greckiego sfenos – „klin”; to skojarzenie z tzw. cegłą klinową, której trzy wymiary wyrażają się liczbami pierwszymi), czyli takie, które są iloczynami trzech różnych liczb pierwszych:
2013=3*11*61, 2014=2*19*53, 2015=5*13*31
Noworoczna liczba ma jeszcze parę innych osobliwych cech wartych uwagi. Na przykład taką: 2014 należy do stosunkowo niewielu liczb, które da się przedstawić jako sumę trzech różnych dodatnich kwadratów na dziewięć (nie więcej) różnych sposobów. Oto pięć z nich:
9 + 324 + 1681 = 2014
9 + 484 + 1521 = 2014
81 + 169 + 1764 = 2014
169 + 324 + 1521 = 2014
324 + 729 + 961 = 2014
Piszemy o tym, co ważne i ciekawe
Prezydent nie wszystkich Polaków
Pojawił się znikąd i trafił na szczyt. To będzie zapewne najbardziej konfrontacyjna prezydentura ze wszystkich dotychczasowych, której skutkiem może być paraliż państwa. Tylko czy Karol Nawrocki faktycznie jest mocarzem, na jakiego pozuje?
Ile czasu zajmie Państwu znalezienie na piechotę (można korzystać z kalkulatora i tablicy kwadratów) chociaż jednego z czterech pozostałych tercetów?
Komentarze
25+225+1764=2014
81+169+1764=2014
25+900+1089=2014
196+729+1089=2014
Druga równość jest już podana we wpisie.
mp
Są 44 liczby naturalne, których kwadraty są mniejsze od 2014 i tylko te liczby mogą brać udział w zadaniu. Po 9 z nich kończy się na 1, 4, 6 lub 9 a po 4 na 0 lub 5. Jest 6 układów ostatnich cyfr, które daja sumę kończącą się na 4: 004, 059, 149, 455, 446 i 699. Układ 004 odpada, ponieważ przedostatnią cyfrą liczby kończącej się na 4 musiałaby być jedynka. 446 też nie może być, bo 4+4+6=14, więc suma trzech liczb z obciętą ostatnią cyfrą musiałaby być równa 2000, a to nie jest możliwe, skoro przedostatnie cyfry kwadratów kończących się na 4 są parzyste, a kończących się na 6 – nieparzyste. Łatwo zauważyć, że w układzie 059 ostatnia liczba musi mieć końcówkę 89. Są dwa takie kwadraty: 289 i 1089, z których wynik daje tylko drugi: 900+25+1089.
W układzie 455 pierwsza liczba musi kończyć się na 64, co daje 1764+25+225.
Znalezienie dwóch pozostałych tercetów: 196+729+1089 i 441+484+1089 jest bardziej żmudne.
1764+225+25=2014
1089+441+484=2014
1089+729+196=2014
1089+900+25=2014
25 + 225 + 1764 = 2014
25 + 900 + 1089 = 2014
441 + 484 + 1089 = 2014
Napisanie 7-linijkowego programiku zajęło mi 1,5 minuty
Nie mam serca do używania rozumu tam gdzie maszyna rozprawia się z problemem w ułamku sekundy
Maszyna nie rozprawiła się do końca
mp
196 + 729 + 1089 = 2014
Maszyna spisała się znakomicie, jak zwykle zawiódł człowiek
Do przedstawiania kolejnego numeru roku (wszystkiego najlepszego w Nowym 2014) nawiązuje jedno z zadań w Omnibusie, chodzi oczywiście o kości do gry. Udało mi się je rozwiązać, acz z pewnym niedosytem, a nawet dwoma, bo raz – zajęło mi to przez pewien błąd rachunkowy zbyt dużo czasu, a dwa – jednak w głównej roli wystąpiła tam liczba 2016, która dzielników pierwszych i złożonych ma całą masę, a można było ustawić kostki w kolejności jak dla roku 2013, żeby całość była iloczynem, nie różnicą. Przykładowo: 534162. Ale może wtedy to byłoby zbyt proste
Co do Omnibusa, to dziękując za zaproszenie do uwag kilka wpisów w tył, miałbym ich kilka, ale nie wiem, gdzie można by przedstawić, bo niekoniecznie dotyczą zadań na Łamiblogu.
A obecne zadanie: „magiczną liczbą” okazuje się 33, uczestnicząc w aż trzech trójkach: 33, 30, 5; 33, 27, 14; 33, 22, 21. Poza tym: 42, 15, 5.
Uwagi bardzo proszę na mój adres (podany u dołu str. 56 Omnibusa).
mp