Jeszcze 2017
Wszystkie liczby dzielą się na dwie grupy: samorodki i rodki. Liczba S jest samorodkiem, jeśli nie ma takiej liczby, która powiększona o sumę jej cyfr byłaby równa S. Wszystkie pozostałe liczby to rodki. Od samorodków zaczynają się ciągi rodków – każda następna liczba w takim ciągu równa jest sumie poprzedniej i sumy jej cyfr. Ciągi te często się łączą, ponieważ ten sam rodek może pojawiać się w dwóch lub więcej ciągach, zaczynających się od różnych samorodków. Na przykład, samorodki 1 i 7 dają początek dwóm ciągom, które w 107 zlewają się, niczym rzeki bliźniacze, w jeden ciąg:
Piszemy o tym, co ważne i ciekawe
Prezydent nie wszystkich Polaków
Pojawił się znikąd i trafił na szczyt. To będzie zapewne najbardziej konfrontacyjna prezydentura ze wszystkich dotychczasowych, której skutkiem może być paraliż państwa. Tylko czy Karol Nawrocki faktycznie jest mocarzem, na jakiego pozuje?
Liczba 2017 jest rodkiem, występującym w czterech ciągach. Dwa z nich łączą się przed 2017 w „węźle” 1918 – z tych dwóch jeden zaczyna się samorodkiem 1862:
1862→1879→1904→1918→1937→1957→1979→2005→2012→2017,
a drugi samorodkiem 1895:
1895→1918→… (dalej jak wyżej)
Trzeci ciąg dociera do ciągu będącego połączeniem dwu poprzednich w węźle 2012, a więc tuż przed 2017, a zaczyna się od najmniejszego samorodka równego 1840:
1840→1853→1870→1886→1909→1928→1948→1970→1987→2012→2017.
Czwarty ciąg zaczyna się największym z czterech samorodków, wiodących ku 2017. Jakim?
Komentarze
1952 -> 1969 -> 1994 -> 2017
Poszukiwany samorodek to 1952.
Brakujący samorodek to 1952.
1952->1969->1994->2017
1952 – 1969 – 1994 – 2017
1952 => 1969 => 1994 => 2017
Sposób rozwiązywania: wrzucamy do wora 2017 i przechodzimy do N=2016. Sprawdzamy, co urodzi N i jeśli to liczba z worka, to ją tam dorzucamy. Liczby z worka, które jeszcze nie zostały urodzone przez kolejne N, są potencjalnymi samorodkami. Pomniejszamy N o 1 i ponawiamy rodzenie i workowanie. I tak aż do momentu, gdy N będzie odpowiednio mniejsze od największego potencjalnego samorodka (wystarczy różnica 28 dla 1999 i mniejszych). W tym momencie nabieramy pewności.
I tak kolejno wrzucamy do worka:
2017
2012 => 2017
2005 => 2012
1994 => 2017
1987 => 2012
1979 => 2005
1970 => 1987
1969 => 1994
1957 => 1979
1948 => 1970
1952 => 1969
1937 => 1957
1928 => 1948
Przy 1924 stop. Ostatnie trzy liczby były podejrzane, a 1952 się przyznała.
Wychodzi na to, że jest 1952-1969-1994-2017.
1952 -> 1969 -> 1994 -> 2017
Dla tych co zrobili zadanie domowe proponuję zadanie dodatkowe
Dwóch graczy gra w Chińczyka ale DWOMA kostkami. Każdy z graczy ma dwa piony ustawione w następujący sposób:
……1XX22X1XXXXXXXXXX…..
1-pion pierwszego gracza
2-pion drugiego gracza
X-wolne pole
Gracz 2 wyrzucił właśnie 4 oczka.
Którym pionem powinien wykonać ruch gracz 2 aby gracz 1 miał mniejszą szansę zbicia któregoś z jego pionów w kolejnym swoim ruchu ?
1952
@Spytko
Jeśli się ruszy pierwszym z dwóch pionków to gracz 1 będzie mógł zbić tylko jak wyrzuci 4 albo 7 (szansa jak 9 z 36). A jak ruszy się drugim pionkiem to zbity może być przy wynikach 2, 3, 8 (szansa jak 8 z 36), czyli powinien się ruszyć drugim.
1XXX2X12XXXXXXXXX [4] [7] [1]
9 możliwości:
1+3, 3+1, 2+2, 1+6, 6+1, 2+5, 5+2, 3+4, 4+3
1XX2XX1X2XXXXXXXX [3] [8] [2]
8 możliwości:
1+2, 2+1, 2+6, 6+2, 3+5, 5+3, 4+4, 1+1
Lepiej ruszyć pionem stojącym dalej.
Jeśli dobrze zrozumiałam zadanie
Zadanie @Spytka:
Chyba to dobrze obliczyliście. Ja postanowiłem nie liczyć, tylko spontanicznie wykonać ruch tak jakbym naprawdę grał. Byłbym skłonny ruszyć pionek pierwszy, ponieważ będzie on wtedy dalej i bliżej domku. To może skompensować tę niewielką różnicę 1/36.
Wiktor10p.
Liczba 2005-2012-2017. Liczba 2005 jest samorodkiem .
@aps1968
Obliczenia czwartexa i OliGM są dobre. Pytanie dotyczyło TYLKO jednej kolejki ruchów.
Ale masz rację, całościowa strategia Chińczyka musi znajdować złoty środek między:
a) pogonią do przodu wszystkimi pionami jak najrównomierniej a
b) pozostawaniem za pionami przeciwnika w odległości dla których p-wo trafienia jest jak największe i
c) pozostawaniem przed pionami przeciwnika w odległościach dających jak najmniejsze p-wo trafienia
Myślę, że Chińczyk 2-kostkowy jest dużo ciekawszy od 1-kostkowego.
Ważną sprawą jest też dobór ilości pól planszy dla odpowiednio 2, 3, 4,….graczy.
@chińczyk
A co z dodatkowym ruchem po 6-tce lub wprowadzeniem kolejnego pionka? Trochę to zmienia bo dopuszczalne są ruchy typu: 6+4 (z wyprowadzeniem) lub znikają wszystkie dwuelementowe układy z 6-ką i pojawiają się ruch typu 5+2+1, 6+1+1 (w sytuacji dodatkowego ruchu).
@Wiktor10p
1895-1918-1937-1957-1979-2005
1862-1879-1904-1918-1937-1957-1979-2005
@Wiktor10p
Liczba 2005 nie jest samorodkiem, ponieważ 1979+1+9+7+9=2005
To ja również dorzucę zadanie z kostkami:
Należy spreparować trzy kości do gry (ozn. A, B i C), tzn. dobrać wartości na każdej z sześciu ścian tych kości, tak aby:
WIN(A,B) > 0.5
WIN(B,C) > 0.5
WIN(C,A) > 0.5,
gdzie WIN(X,Y) oznacza prawdopodobieństwo, że w jednokrotnym rzucie kośćmi X i Y na kości X wypadło więcej, niż na kości Y.
Mówiąc nieformalnie: kość A ma być lepsza od kości B, kość B lepsza od C oraz C lepsza od A.
1952-1969-1994-2017
@timon
Wydaje mi się, że jeśli rzucamy dwiema kostkami, to sprawa z powtórnym ruchem po szóstce staje się nieaktualna. Bo jak to rozumieć: że raz wypada 6? Że dwa razy wypada 6? Że w sumie wypada 6, np. 3+3? A może rzucamy najpierw i jak wypada 6 to potem jeszcze nie raz tylko 2 razy? Itd? Najprędzej chyba wariant „12”, czyli 6+6. Ale to już @Spytko ustala reguły.
@miodziu
Moja propozycja:
A => 1, 4, 4, 4, 4, 4
B => 3, 3, 3, 3, 5, 7
C => 2, 2, 2, 6, 6, 6
Żeby uniknąć sporów w przypadku wyrzucenia równej liczby oczek, rozłożyłem je tak, żeby to nie było możliwe.
Jest wiele układów spełniających warunki zadania, więc można je jeszcze doprecyzować tak: przeciwnik jako pierwszy wybiera kostkę. Dobrać wartości tak, aby zmaksymalizować szansę na wygraną (zakładając optymalną grę przeciwnika). Czyli zmaksymalizować MIN (WIN (A, B), WIN (B, C), WIN (C, A)).
U mnie ta wartość wynosi 5/9. Kto da więcej?
https://dotnetfiddle.net/Widget/ouLp30
Wiktor10p
OlaGM. Przepraszam za moje niedopatrzenie. Liczba 1952 jest samorodkiem i rozwiązaniem. Pozdrawiam.
@zadania dodatkowe
ale myślę, że na tym poprzestaniemy bo weszlibyśmy w zawiłości rachunkowe a chodziło mi tylko o zasygnalizowanie tematu 
Nie wziąłem powtórnego ruchu po”szóstce” pod uwagę.
Rzeczywiście trzeba by było najpierw skonkretyzować co znaczy „wyrzucić szóstkę”. Rachunki byłyby nieco bardziej rozbudowane ale do zrobienia.
W ten sposób otwarło się szerokie pole do kombinacji
Zadanie Miodzia świetne !!!
Od razu się nasuwa, że liczby na różnych kościach powinny tworzyć zbiory rozłączne bo wtedy trudniej o remisy i trudniej osiągnąć >.5
Zacząłem szukać kości 3-ściennych i bardzo łatwo ręcznie znalazłem rozwiązanie
A – 1, 5, 9
B – 2, 6, 7
C – 3, 4, 8
A wygrywa z C
C wygrywa z B
B wygrywa z A
Teraz wystarczy na każdej kości zdublować dany układ i gotowe.
Takich kombinacji jest pewnie więcej ale nie sprawdzałem komputerem.
Dla kości 2-ściennej (czyli monety) łatwo pokazać niewykonalność tego zadania.
@Miodziu
kostka A: 1,1,4,4,4,4
kostka B: 2,2,2,2,5,5
kostka C: 3,3,3,3,3,6
Przy preparowaniu trzech kości da się osiągnąć wszystkie współczynniki WIN = 21/36, np. tak:
A: 2,5,5,5,5,5
B: 1,4,4,4,7,7
C: 3,3,3,6,6,6
Zadanie można rozszerzyć na 4, 5, 6, … kostek ułożonych w cykl (sprawdzałem komputerem dla max 8 kości – rozwiązania istnieją – proponuję spróbować znaleźć jakieś ręcznie).
I kolejna wersja: przygotować 2n+1 kości tak, aby każda kość była lepsza od dokładnie n innych kości oraz gorsza od dokładnie n innych kości. Warto zauważyć, że dla n=1 otrzymujemy oryginalne zadanie
1952?
Wracając do ciągów rodków, zastanawiam się, czy byłoby tak, że każde dwa ciągi od różnych samorodków kiedyś się spotkają. A jeśli nie, to czy istnieje sposób na zidentyfikowanie na podstawie iluś tam początkowych wyrazów, że nie, te dwa na pewno się nie spotkają.
Ciekawy problem. Nie znam odpowiedzi.
mp
@aps1968
Wydaje mi się samorodek podzielny przez 9 i samorodek niepodzielny przez 9 generują ciągi, które się nie zbiegną.
Brawo Pani Olu! Istotnie, jeśli samorodek jest wielokrotnością 9, to wszystko co „rodzi” też jest podzielne przez 9. I odwrotnie – samorodek rodka podzielnego przez 9 musi być podzielny przez 9. Zatem żaden samorodek niepodzielny przez 9 nie wygeneruje rodka podzielnego przez 9.
mp
Podobnie jest dla samorodków podzielnych przez 3, a niepodzielnych przez 9 – również stanowią osobną grupę.
Eksperymentalnie sprawdziłem, że do miliona wszystkie ciągi dołączają do jednego z trzech wywodzących się od 1, 3 lub 9. Czasem są długie okresy niezależności (80219 zbiega się z 1 w 101108). Każde przekroczenie okrągłej liczby powoduje rzeź w dotychczas rozłącznych ciągach. Im bardziej okrągła granica, tym większa rzeź (100 jest bardziej okrągłe, niż 200, 1000 bardziej, niż 900).
Super! Teoria rodków w rozkwicie
mp
@OlaGM, @y-b
Dziękuję i również gratuluję. Nie ma to jak postawić dobre pytanie
Oczywiście na sytuację ma wpływ, że poruszamy się w systemie dziesiętnym. W systemie np. 9-tkowym byłoby 1-2-4-8-17-26, co się tłumaczy w dziesiętnym jako 1-2-4-8-16-24, od tego momentu dla samorodka 1 inaczej niż podano wyżej w przykładzie. Tutaj by nie działała taka cecha podzielności jak to jest w przypadku podzielności przez 9 w systemie dziesiętnym.
Ponieważ być może było to już ostatnie zadanie na liczbę 2017, chciałbym się pochwalić, że rozwiązałem problem z Omnibusa Zimowego:
1 2 3 4 5 6 7 8 9 = 2017
Trzeba wstawić po lewej stronie pomiędzy dwie cyfry jeden z czterech znaków działań, a jak nie wstawimy, to liczba się skleja, np. 45 albo 789. Pomiędzy, a więc zabroniony jest „-” przed jedynką. Oczywiście żadnych przecinków, silni, itp, żadnych nawiasów – trzeba pilnować kolejności działań.
Uściślę: Nie tyle „trzeba wstawić pomiędzy dwie cyfry”, co „można wstawić między każde dwie cyfry”, a trzeba między niektóre – tak, aby wynik się zgadzał. Byłbym zaskoczony, gdyby znalezione rozwiązanie było inne, niż podane w Omnibusie.
mp
Niestety, aż tak to nie zaskoczę