Koluśka
Najpierw narysowałem trójkąt równoboczny. Następnie wpisałem weń okrąg. A potem zaroiło się od okręgów. Kolejne były coraz mniejsze – wciśnięte w każdy róg trójkąta, styczne do ramion kąta i okręgu oczko większego. Teoretycznie ciąg małych kółeczek mógłby być kontynuowany w nieskończoność. Przypomina to słynne paradoksy Zenona, czyli bezskuteczną pogoń Achillesa za żółwiem lub strzałę nieustannie zmierzającą do celu. Próbowałem rysować te kółeczka dotąd, aż grubość okręgu zrównała się z jego promieniem, czyli kółeczko stało się kropką. Całość skojarzyła mi się z najprostszymi fraktalami. W końcu postanowiłem wrócić do geometrii.
Obliczenie, jaką część powierzchni trójkąta równobocznego stanowi powierzchnia wpisanego weń okręgu, a właściwie koła – to standard. Wynik jest liczbą niewymierną. Natomiast stosunek powierzchni zajętej przez wszystkie nieskończenie liczne różowe kółka do powierzchni zielonego giganta to liczba wymierna. Jaka?
Komentarze
Niech pole zielonego giganta wynosi 1.
Liczymy sumę pól różowych kół zbiegających tylko do jednego wierzchołka trójkąta.
Okrąg wpisany w trójkąt równoboczny ma promień 3 razy krótszy, niż wysokość trójkąta. Zatem największe z różowych kół jest wpisane w trójkąt odcięty z narożnika oryginalnego trójkąta tak, aby jego wysokość była 3 razy mniejsza. Zatem pole tego największego z różowych kół to 1/9.
Każde kolejne różowe koło (wnioskujemy analogicznie) 9 razy mniejsze pole.
Zatem w jednym narożniku trójkąta różowe pola mają następującą średnicę: 1/9 + 1/27 + 1/243 + … + 1/(i^n) + …
Co zgodnie ze wzorem na sumę nieskończonego ciągu geometrycznego daje:
a1 / (1-q) = 1/9 / (1-1/9) = 1/9 / 8/9 = 1/8
Zatem wszystkie różowe koła mają pole 3 * 1/8 = 3/8, co też jest stosunkiem sumy pól różowych elementów do pola zielonego giganta.
Odpowiedź: szukany stosunek to 3/8
A co jest zielone (oprócz mnie)?
A teraz?
mp
3/8
Teraz kolor jest zielony jak się patrzy 🙂
Wyszło mi 3/8.
Każde kolejne kółko ma promień 3 razy mniejszy od poprzedniego, czyli pole 9 razy mniejsze. Jeśli przyjąć, że jest to szereg geometryczny nieskończony o pierwszym wyrazie 1/9 i ilorazie 1/9, to można policzyć jego sumę – wynosi ona 1/8. Mamy 3 takie zestawy różowych kółek, zatem razem zajmują one powierzchnię 3/8.
Po wyliczeniu z sumy szeregu geometrycznego wyszedł mi wynik 3/8, czyli 0.375 .
Promień zielonego koła to 1/3 wysokości dużego trójkąta. Stąd łatwo wynika, że rysując styczną do zielonego i największego różowego koła, odcinamy trójkąt o 3-krotnie krótszym boku, zatem promienie kół tworzą ciąg geometryczny o postępie 1/3, a pola – o postępie 1/9. Szukana proporcja to (3*1/9/(1-1/9))/1 = 3/8.
Promień zielonego koła, to 1/3 wysokości trójkąta. Trójkąt „stojący” na tym kole, czyli opisany na największym z różowych kółek, ma również wysokość równą 1/3 wysokości dużego trójkąta. Jeśli pole tego różowego koła (P = 1/9 Z – pola zielonego koła) weźmiemy za pierwszy wyraz szeregu geometrycznego, a za kolejne wyrazy pola stycznych z nim mniejszych kół, to sumą będzie: S = P / (1-q) = 9/8 P. Tych szeregów mamy trzy, więc ostatecznie:
3*S / Z = (3*9/8 P) / 9 P = 3/8
Oj… Czytałem ten wpis kilka razy i już mialem się czepiać, że powierzchnia okręgu to zawsze zero, ale tuz Przed wysłaniem komentarza zauwazylem ”
a właściwie koła”
Pisze zatem, aby uświadomić nieświadomych,, że okrąg to tylko brzeg koła i nie ma żadnej powierzchni! 🙂
Każde coraz mniejsze kółko ma promień 3 razy mniejszy niż promień poprzedniego.
Zakładamy sobie, że promień zielonego to 1.
Liczymu więc sobie sobie sume ciągu geometrycznego o współczynniku 1/9 i wyrazie początkowym 1/9 co dame nam 1/8.
No i mnożyyu jeszcze przez 3 bo tyle jest ciągów kółek.
Daje nam to więc ostatecznie 3/8.
Koluśka rozwiązanie
Promień największego różowego koła -r.
Przez punkt styku koła zielonego i różowego prowadzimy prostą
równoległą do podstawy trójkąta równobocznego. Otrzymujemy
Trójkąt podobny do dużego trójkąta zawieszony na górnym
wierzchołku. W trójkącie równobocznym promień koła wpisanego
jest równy 1/3 wysokości trójkąta. Skala podobieństwa po każdym kroku takiej operacji wynosi 1/3. Pola powierzchni maleją w każdym kroku proporcjonalnie do kwadratu skali podobieństwa. Iloraz ciągu geometrycznego pól powierzchni kół jest 1/9. Granica ciągu geometrycznego wynosi ;
a1=pi*r*r
S=pi*r*r/(1-1/9)=pi*r*r*9/8, mamy trzy takie ciągi więc suma
powierzchni kół różowych jest
3*pi*r*r*9/8=27/8*pi*r*r.
Koło zielone ma powierzchnię
pi*(3r)^2=9pi*r*r.
(27/8*pi*r*r)/(9*pi*r*r)=3/8
i to jest odpowiedź.
Metoda:
„moje małe Monte Carlo”
Wynik to coś w rodzaju:
0.32989345873294758572385723857238542738472384728374…
czyli wymiernie zaokrągliłbym do:
1/3
To nie ten stosunek:)
mp
Tak na oko to będzie ze 3/8.
Nie ujawniając postaci ułamka przyznam, że „moje małe Monte Carlo” zaniżyło właściwą wartość o około 0.03 (czyli wynik był stosunkowo blisko).
3/8
3/8
Odp: 3/8
A – pole zielonego okręgu.
B – pole jednego ciągu czerwonych okręgów.
C = A + B = pole wszystkich okręgów w jednym warkoczu liczonym od największego, zielonego koła, wspólnego dla wszystkich warkoczy.
Mamy policzyć X = 3B/A.
3A + 3B = 3C /:A
3 + 3B/A = 3C/A
X = 3(C/A-1)
Q = iloraz ciągu geometrycznego warkocza
C = A/(1-Q)
X = 3(Q/(1-Q))
h – wysokość trójkąta
ro = h/3 = promień okręgu A
r1 = h/9 = promień największego czerwonego okręgu
Q = [Pi*(h/3)^2]/[Pi*(h/9)^2] = 1/9
X = 3/8
Ponieważ narozrabiałem używając zamiennie słów okrąg i koło to w ramach kary zauważę, że istnieją krzywe o niezerowej powierzchni (np. krzywa Peano) oraz powierzchnie o zerowej powierzchni (np. dywan Sierpińskiego) 🙂
Uprzejmie donoszę, że mój komentarz 192329 nie pojawił się nawet na moment po dodaniu. Pomyślałem więc, że skasowałem go przez nieuwagę w momencie wstawiania. Powtórzyłem go więc wpisem 192330 i ten wskoczył normalnie. Sprawa jest w zasadzie błaha ale już widzę pytanie do Gospodarza: Co się stało z …….? Swoją drogą mamy tu zagadkę dla informatyków 🙂
Ja sobie z tą łamigłówką nie poradzę. Chyba że… 192329 to liczba, która jest zlepkiem trzech kolejnych liczb pierwszych. Może dlatego 🙂
mp