Pierwsza lepsza

20 września 2025
Marek Penszko

„Każda następna liczba jest sumą dwu poprzednich” – ta reguła określa ciąg Fibonacciego (cF), który zaczyna się od dwóch jedynek: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233,… Ten klasyczny ciąg dał początek nieskończenie wielu innym, zwanym uogólnionymi cF, rządzącymi się taką samą zasadą, ale zaczynającymi się parą dowolnych liczb. Najbardziej znany to ciąg Lucasa, który startuje od jedynki i trójki: 1, 3, 4, 7, 11, 18, 29, 47, 76, 123, 199, 322, 521, 843,… Zarówno w cF, jak i w cL już na początku pojawiają się liczby pierwsze, choć szybko stają się rzadkością.
Problem jest następujący: jakimi dwiema liczbami powinien zaczynać się ucF, aby pierwsza liczba pierwsza pojawiła się w nim jak najpóźniej – przy założeniu, że obie liczby początkowe są mniejsze od 100 i oczywiście nie pierwsze.
Łatwo zauważyć, że trzeba wykluczyć ciągi zaczynające się liczbami, które mają taki sam wspólny dzielnik (większy niż 1), bo wtedy liczba pierwsza w ogóle się nie pojawi. Krótko pisząc, dwie liczby startowe powinny być względnie pierwsze.
Próbowałem bawić się liczbami i najlepszy start jaki udało mi się uzyskać po kilku próbach to 4 i 45. Przy takiej parze liczba pierwsza melduje się jako ósma: 4, 45, 49, 94, 143, 237, 380, 617,… Nie wątpię, że może lokować się znacznie lepiej, czyli dalej, ale jak daleko?
Adresatami problemu są tym razem przede wszystkim programiści (przepraszam „piechurów”).

Komentarze z prawidłowym rozwiązaniem ujawniane są wieczorem w przeddzień kolejnego wpisu (z błędnym zwykle od razu). Wpisy pojawiają się co 7 dni.

Reklama