P + S(P)

5 października 2025
Marek Penszko

W poprzednim wpisie opisana była następująca zabawa liczbowa:
Zaczynamy od dowolnej liczby złożonej Z i tworzymy sumę S(1)= Z+sopfr(Z), gdzie sopfr(Z) jest sumą wszystkich (nie tylko różnych) czynników pierwszych Z; tak samo postępujemy z S(1) i z każdą następną sumą dotąd, aż suma ta okaże się liczbą pierwszą, która finalizuje zabawę, czyli kończy ciąg liczb złożonych. Koronne pytanie brzmiało: jak daleko uda się Z-zajechać przy ograniczeniu zakresu Z do 1000. Okazało się, że ciąg liczb złożonych może liczyć maksymalnie 20 wyrazów, jeśli Z=183: 183, 247, 279, 316, 309, 428, 539, 564, 618, 726, 753, 1007, 1079, 1175, 1232, 1258, 1314, 1395, 1437, 1919. Następny wyraz (1919+101+19=2039) jest już liczbą pierwszą. A totalnie z problemem rozprawił się jarek1962, poszerzając zakres Z najpierw do miliona (w ciągu są wówczas maksymalnie 123 liczby złożone, gdy na początku jest 153633), a potem sięgając miliardów (szczegóły w komentarzach).
Tym razem chodzi o zabawę częściowo odwrotną, bo od liczby pierwszej P się zaczynającą. Ta pierwsza P i każda następna poddawana jest prostej „obróbce” – tworzony jest ciąg, w którym każdy kolejny wyraz jest sumą poprzedniego wyrazu i sumy jego cyfr, czyli P(n)=P(n-1)+S[P(n-1)]. Tak się dzieje dotąd, aż pojawi się kończąca ciąg liczba złożona.
Dla jednocyfrowych P ciąg się w ogóle nie zaczyna. Zacząłem więc od 11 i dość długo wyciągałem ciągi, dziwiąc się, że żaden nie chce przekroczyć trzech wyrazów. Dopiero startujący od 277 sięgnął kwartetu: 277, 293, 307, 317. Potem bardzo długo nie było 5-wyrazowego. Przez chwilę zastanawiałem się nawet nad możliwością znalezienia dowodu, że cztery wyrazy to maksimum. Dopiero 1559 stanowiło przełom, choć zaczyna drugi ciąg także 4-wyrazowy: 1559, 1579, 1601, 1609. Mając dwie odległe liczby startowe ciągów-kwartetów skorzystałem z OEIS i tu trafiłem na serię ciągów autorstwa znanego mi skądinąd holenderskiego liczbomana Patricka de Geesta – od A048523 do A048527. Każdy ciąg obejmuje liczby pierwsze, które zaczynają ciągi n-wyrazowe, dla 1<n<7. Dla n=6 na starcie jest ponad półmilionowa pierwszość: 516493, 516521, 516541, 516563, 516589, 516623; dopiero siódmy wyraz (516646) jest liczbą złożoną.
Czy ktoś z programistów pokusi się o kontynuację poszukiwań Patricka, czyli znalezienie liczby pierwszej rozpoczynającej 7-wyrazowy ciąg liczb pierwszych tworzonych w opisany sposób?
Natomiast „piechurom” proponuję pełen pierwszości słupkowy zapis mnożenia szkieletowego, w którym wszystkie cyfry zastąpiono kratkami:

Mimo, że żadna cyfra nie jest ujawniona, zadanie nie wydaje mi się zbyt trudne, zwłaszcza, że ma więcej niż jedno rozwiązanie; wiadomo tylko, że wszystkie pięć liczb, występujących w zapisie, to liczby pierwsze – ale dwie dolne (żółtawe kratki) są… zapisane wspak. Dla wygody załączam komplet 2-cyfrowych liczb pierwszych; łatwo zauważyć, że trzy z nich ( a nie cztery) powinny trafić do mnożenia.

Komentarze z prawidłowym rozwiązaniem ujawniane są wieczorem w przeddzień kolejnego wpisu (z błędnym zwykle od razu). Wpisy pojawiają się co 7 dni.

Reklama