3 pytania
W lipcowym „Świecie Nauki” jest następujące zadanie:
Przez którą najmniejszą liczbę trzeba pomnożyć 2025, aby otrzymany iloczyn był liczbą pandigitalną?
Gwoli wyjaśnienia: pandigitalną jest 10-cyfrowa liczba złożona z 10 różnych cyfr.
Wbrew pozorom zadanie jest dość proste. Nie trzeba korzystać z komputera. Wystarczy zauważyć pewną charakterystyczną cechę liczb takich jak 2025 oraz poczynić pewne założenia i zastosować metodę prób i
błędów do kilku możliwych przypadków.
Proponując to zadanie zastanawiałem się, ile jest wszystkich pandigitalnych wielokrotności 2025. Ponieważ bez większych problemów znalazłem „na piechotę” trzy najmniejsze, więc szacowałem, że będzie ich co najwyżej kilkadziesiąt. Szacunki zawiodły, bo nie doceniłem liczby wszystkich liczb pandigitalnych, których jest ponad 3 miliony. Komputer znalazł 12378 pandigitalnych wielokrotności 2025.
Teraz pojawia się pytanie:
jaka jest najmniejsza liczba, której żadna wielokrotność nie jest liczbą pandigitalną i która nie kończy się dwoma zerami?
Bez zerowego dopowiedzenia pytanie jest oczywiście trywialne, bo każda wielokrotność 100 ma na końcu przynajmniej dwa zera, czyli pandigitalną nie jest.
Znajomy komputer policzył, ile jest pandigitalnych wielokrotności liczb od 1 do 99. Najmniej dla 98 – „tylko” 33550. Jaka jest dla 98 najmniejsza?
W tym wpisie są 3 pytania. Mile widziana będzie każda odpowiedź na choćby jedno (dowolne) z nich?
Komentarze z prawidłowym rozwiązaniem ujawniane są wieczorem w przeddzień kolejnego wpisu (z błędnym zwykle od razu). Wpisy pojawiają się co 7 dni.
Komentarze
1) 2025 × 505427 = 1023489675
2) 1882
3) 98 × 10 443 672 = 1 023 479 856
2025 * 505427 = 1023489675
98 * 10443672 = 1023479856
jaka jest najmniejsza liczba, której żadna wielokrotność nie jest liczbą pandigitalną i która nie kończy się dwoma zerami?
111119
jaka jest najmniejsza liczba, której żadna wielokrotność nie jest liczbą pandigitalną i która nie kończy się dwoma zerami?
111111
Pytanie dodatkowe.
Czy istnieje pandigitalna liczba pierwsza?
Pytanie dodatkowe.
Czy istnieje pandigitalna liczba pierwsza?
Nie, bo jest zawsze podzielna przez 3 , bo suma cyfr jest stała.
Ale jest szersza definicja pandigitalnej (że wszystkie cyfry występują co najmniej jeden raz) liczby i wtedy można znaleźć pierwsze:
https://oeis.org/A050288
jaka jest najmniejsza liczba, której żadna wielokrotność nie jest liczbą pandigitalną i która nie kończy się dwoma zerami?
chyba mam najmniejszą
37037
Pytanie pierwsze: 505 427 * 2025 = 1023489675
@Andrzej111
No, tyle to ja akurat wiem: nie istnieje.
A najbardziej to mi po głowie chodzi ta najmniejsza , która nie ma „docelowej” pandigitalnej.
Do pytania dodatkowego nawet nie trzeba komputera,
wszystkie liczby pandigitalne dzielą się przez 9.
Odpowiedź na pytanie o 2025: znalazłem trochę przypadkiem. Doszedłem do wniosku, że musi to być liczba podzielna przez 25 i przez 81. Cecha podzielności przez 25 jest prosta, tak jak i przez 9, wszystkie liczby pandigitalne są podzielne przez 9 (czyli odpowiedź na pytanie dodatkowe, które zadał Andrzej111, brzmi „nie”). No ale dołożyć drugą dziewiątkę już nie tak prosto. No ale kto nie próbuje, ten nagrody nie otrzymuje: wpisałem sobie do excela najmniejszą liczbę pandigitalną 1023456789 i okazało się, że jest podzielna przez 81. Zacząłem więc dodawać do tej liczby wielokrotności 81: 81, 162, etc, n*81, i okazało się, że dla n = 6 liczba kończy się na 75, czyli jest podzielna przez 25, ale nie jest pandigitalna (trzeba brać pod uwagę tylko 75, bo liczba zaczyna się na 10234…, a więc ani 25, ani 50, nie wchodzą w grę, nie mówiąc o 00). Kolejną liczbą kończącą się na 75 dostajemy dla n = 106, 206, 306, wszystkie niepandigitalne, no ale już dla 406 mamy 1023489675, po podzieleniu przez 2025 otrzymujemy 505427.
Ze wszystkich cyfr (cechy podzielności – czwarta klasa podstawówki) nie można ułożyć liczby pierwszej. Poniżej: najmniejsza i największa liczba pierwsza złożona z 8 różnych cyfr.
203 457 869
976 542 103
1: 2025*505427 = 1,023,489,675 ( a potem 50627, 505875,…..)
2: 98*10443672 = 1,023,479,856
Nie będę udawać że to sama bez komputera, ale na trzecie nie mam już czasu, bo komputer musi coś innego teraz policzyć.
Drugie pytanie: najmniejsza liczba, której żadna wielokrotność nie jest liczbą pandigitalną i która nie kończy się dwoma zerami, to 199999.
Chyba:)
pytanie trzecie: 98 mnożymy przez 10443672 i dostajemy 1023479856
2025 * 505427 = 1023489675
98 * 10443672 = 1023479856
Jeśli chodzi o pytania nr 2 i 3, to wydawały się nie tak proste, jak pytanie nr 1, więc poprosiłem Eryka, by podszedł do tematu programistycznie. Przypomnę, że Eryk pomagał mi przy wcześniejszych zadaniach, na przykład „Jedzie piątka” z 24 maja tego roku, zamieszczam tam po przerwie nowy komentarz, @apartado był zainteresowany.
Cóż mu więc wyszło w kwestii najmniejszej liczby bez pandigitalnej wielokrotności? Ano, liczba 37037. Zdecydowanie nie jest to liczba pierwsza, ale właściwie dlaczego miałaby być. A jeśli chodzi o zadanie „98”, to najmniejszą wielokrotnością jest 1023479856,
1) 505 427
Jeszcze co do pytania nr 2 o najmniejszą liczbę bez pandigitalnej wielokrotności: pojawiło się kilka koncepcji, na przykład @Antyp1958 zgłosił 1882, ale Eryk sprawdził, że jest tu całkiem dużo (kilkaset?) wielokrotności, a najmniejsza to 1023749658. W tej sytuacji następną liczbą jest 37037, którą pierwszy podał @bubka111, a potem niezależnie my. Jeśli nikt tego nie sfalsyfikuje, to będzie to rozwiązanie.
@aps1968
Potwierdzam „najmniejszość” liczby 37037.
Tak, ja to komputerowo zrobiłem ale potem też znalazłem odpowiadający ciąg oeis
https://oeis.org/A302096
a(n)=0 for every n divisible by 100. Other than multiples of 100, the smallest values of n for which a(n)=0 are 37037 and 55550. The last nonzero term is a(9876543210) = 9876543210
A to jest najmniejsza pierwsza o tej własności:
111119
We wrześniowym „Umyśle giętkim” podane są rozwiązania zadań z numeru lipcowego. W odpowiedzi do zadania trzeciego liczby pierwsze 2 i 3 „skleiły” się do pierwszoliczbowej postaci 23 i w ten sposób otrzymaliśmy odpowiedź gorszą od najlepszego rozwiązania.
Zgadza się. Wiele osób to zauważyło. Będzie „usprawiedliwienie” w nrze październikowym.
mp