e tam
Czy każda niezbyt duża (powiedzmy najwyżej 3-cyfrowa) liczba naturalna może być wynikiem dzielenia pandigitalnego? Chodzi o takie dzielenie, w którym dzielna i dzielnik łącznie składają się z dziesięciu różnych, a więc wszystkich cyfr (jest tylko jeden przykład z moją szczęśliwą liczbą w roli ilorazu: 129780/4635=28). Odpowiedź na powyższe pytanie brzmi oczywiście „nie”, bo łatwo zauważyć, że ilorazem nigdy nie będzie 10^n (n=0, 1, 2,…), ani liczba z jedynką na końcu. Natomiast niewytłumaczalne jest (przynajmniej dla mnie) doszlusowanie do tych niemożliwych ilorazów liczb wyskakujących jak królik z kapelusza: 6, 36, 48, 75, 97, 103, 117,… itd.; wszystkie je łatwo wykryć, pisząc odpowiedni program (wprawdzie bywa blisko celu; np. 73968/12405=5,962757…). Może komuś z Państwa uda się wykryć jakąś regułę w tym bałaganie niemożliwości.
Powyższy iloraz z ułamkiem dziesiętnym kojarzy się z zadaniem, które gościło tu przed kilkunastu laty. Polegało na znalezieniu takiego dzielenia pandigitalnego, którego wynik byłby najbliższy liczby pi. Efektem poszukiwań okazało się dzielenie z ilorazem, sięgającym szóstego miejsca po przecinku: 85910/27346=3,14159265… Tym razem proponuję zmierzyć się w takim samym celu z inną powszechnie znaną stałą matematyczną – podstawą logarytmu naturalnego, czyli liczbą e=2,7182818284… Nie sądzę, aby pandigitalne dzielenie dotarło do dziesiątej cyfry po przecinku, ale może zbliży się do niej bardziej niż w przypadku pi.
Komentarze z prawidłowym rozwiązaniem ujawniane są wieczorem w przeddzień kolejnego wpisu (z błędnym zwykle od razu). Wpisy pojawiają się co 7 dni.
Komentarze
87159/32064=2,718282185629
Ale to tylko 5 cyfr po przecinku, a więc nie jest bliżej, niż w przypadku pi
Na razie najlepsze co udało mi się znaleźć:
87159 / 32064 = 2.7182821856…
Sięga do piątego miejsca po przecinku.
e=2,71828 18284…
32064/87159 ≈2.71828 21856…
Tylko licznik zamienił się miejscem z mianownikiem. 🙂
mp
Złota liczba (φ, phi)
Definicja: =(1+sqrt(5))/2≈1.6180339887
Najlepsze dopasowanie z cyfr 0–9:
Liczby: 72983 i 45106
Ich iloraz: 1.6180330776
Stała Apéry’ego ≈1.2020568982
Jest to wartość funkcji dzeta Riemanna dla 3
Najlepsze dopasowanie z cyfr 0–9:
Liczby: 78243 i 65091
Ich iloraz: 1.2020555837
Stała Catalana (G)≈0.9159655929
Najlepsze dopasowanie z cyfr 0–9: 84736 i 92510
Ich iloraz:≈0.9159658415
Stała Eulera–Mascheroniego (γ)≈0.5771656641
Najlepsze dopasowanie z cyfr 0–9: 23987 i 41560
Ich iloraz:≈0.5771655438
Liczba Liouville’a ≈0.110001000000000000000001…
To pierwszy znany przykład liczby przestępnej
Najlepsze dopasowanie z cyfr 0–9: 10486 i 95327
Ich iloraz: 0.1100003147
Pierwiastek z 2
sqrt(2)≈1.4142135624
Najlepsze dopasowanie z cyfr 0–9: 95103 i 67248
Ich iloraz: ≈1.4142130621
Pierwiastek z 3
sqrt(3) ≈ 1.7320508076
Najlepsze dopasowanie z cyfr 0–9: 93820 i 54167
Ich iloraz: ≈ 1.7320508797
Najlepiej prezentuje się: 87159/32064=2.7182821856287425
Niestety ma tylko 5 cyfr po przecinku zgodnych z ryginałem.
10 najlepszych przybliżeń to:
[błąd, licznik/mianownik, permutacja, cyfry licznika, cyfry mianownika]
[3.5716969737364934e-07, 2.7182821856287425, [8, 7, 1, 5, 9, 3, 2, 0, 6, 4], [8, 7, 1, 5, 9], [3, 2, 0, 6, 4]]
[1.1604121792352373e-06, 2.7182829888712243, [7, 6, 9, 4, 1, 2, 8, 3, 0, 5], [7, 6, 9, 4, 1], [2, 8, 3, 0, 5]]
[1.3611054403561695e-06, 2.7182831895644854, [3, 8, 7, 6, 0, 1, 4, 2, 5, 9], [3, 8, 7, 6, 0], [1, 4, 2, 5, 9]]
[2.191688302399797e-06, 2.7182796367707427, [8, 7, 4, 0, 9, 3, 2, 1, 5, 6], [8, 7, 4, 0, 9], [3, 2, 1, 5, 6]]
[2.888022926139655e-06, 2.718278940436119, [9, 2, 8, 7, 0, 3, 4, 1, 6, 5], [9, 2, 8, 7, 0], [3, 4, 1, 6, 5]]
[8.111507256547412e-06, 2.7182737169517885, [3, 4, 9, 5, 7, 1, 2, 8, 6, 0], [3, 4, 9, 5, 7], [1, 2, 8, 6, 0]]
[1.1263937401917445e-05, 2.718293092396447, [8, 9, 0, 5, 4, 3, 2, 7, 6, 1], [8, 9, 0, 5, 4], [3, 2, 7, 6, 1]]
[1.1666103271412709e-05, 2.7182701623557737, [9, 2, 5, 8, 7, 3, 4, 0, 6, 1], [9, 2, 5, 8, 7], [3, 4, 0, 6, 1]]
[1.2597689814430879e-05, 2.7182692307692307, [5, 9, 3, 6, 7, 2, 1, 8, 4, 0], [5, 9, 3, 6, 7], [2, 1, 8, 4, 0]]
[1.3020564045618244e-05, 2.7182948490230907, [8, 4, 1, 7, 2, 3, 0, 9, 6, 5], [8, 4, 1, 7, 2], [3, 0, 9, 6, 5]]
87159 / 32064 = 2.718282185628743
Pięć cyfr po „przecinku” pasuje do liczby e.
A szósta wita się z gąską.
87159/32064
=
2.718282185628743
podczas gdy „e” to
2,71828182845904523536028747135266249775724709369995…
Niczego lepszego (chyba) nie ma. Chyba, bo nigdy nie można być pewnym, że podczas układania algorytmu nie popełniło się jakiegoś błędu.
A jednak w algorytmie miałem błąd gubiący niektóre warianty. Po korekcie lista najlepszych wyników wyszukiwania z różnicą < 0,00001 wygląda tak:
Dla trzech wariantów zgodność cyfr po przecinku sięga pięciu pozycji.
87159/32064= 2,718282185628743
Wydaje się zbyt dużo możliwości, by rozwiązywać na piechotę, więc do akcji wkroczył Eryk i znalazł 87159/32064 = 2,718282.