Abel: algebraiczna wieża ciał

7 czerwca 2026
Blog szalonych naukowców
Niels Abel

Tekst nie będzie dotyczył biblijnego Abla, najstarszego z synów Adama i Ewy, zabitego przez Kaina, zanim zdążył zbudować cokolwiek (tego Biblia opisuje raczej jako pierwszego z myśliwych, a nie budowniczego). Nie będzie też mówił o odkrywcy kredowego dinozaura drapieżnego nazwanego na jego cześć abelizaurem. Nasz dzisiejszy bohater, Niels Abel, był norweskim matematykiem.

Tenże Abel wywodził się z biednej rodziny. Był wnukiem miejscowego kapłana. Żył w latach 1802-1829, krótko i niezbyt szczęśliwie. Biedny jak mysz kościelna starał się o porządne stanowisko na europejskim uniwersytecie. Zdobycie pensji umożliwiłoby mu poślubienie narzeczonej, poznanej podobno podczas zabawy tanecznej, na której okazało się, że żadne z nich nie potrafi tańczyć. Nieszczęśnik zmarł, nie dożywszy nawet trzydziestu lat, prawdopodobnie na gruźlicę. W ostatnich dniach opiekowała się nim narzeczona, której nie zdążył pojąć za żonę. Zdobyć wymarzonej pracy też nie zdążył. Przeszedł jednak do historii matematyki.

Nazwisko tego biedaka na zawsze już pozostanie w twierdzeniu Abela-Ruffiniego dotyczącym rozwiązywalności równania piątego bądź wyższego stopnia przez pierwiastniki. Żeby było ciekawiej, znacznie częściej stosowane pojęcie grupy abelowej (czyli przemiennej, a więc w której a + b jest zawsze równe b + a) wprowadzono później.

Poruszałem już kiedyś ten trudny temat, ale w książce Iana Stewarta pod tytułem “Dlaczego prawda jest piękna” znalazłem naprawdę wspaniałe porównanie obrazujące dokonanie Abela.

Jeśli ktoś studiował matematykę, pamięta zapewne, że równanie wielomianowe rozwiązać można, jeśli jego grupa Galois jest rozwiązalna, czyli posiada ciąg dzielników normalnych aż do grupy trywialnej o każdorazowo abelowej grupie ilorazowej. Proste? Pewnie jak taniec dla Abela.

To teraz zaproponuję wyjaśnienie za wspominaną wyżej książką, bardziej po ludzku. Równanie wielomianowe piątego stopnia to równanie postaci x5 + ax4 + bx3 +cx2 + dx + e = 0. Można je zapisywać inaczej, ale to równanie z każdej innej postaci można sprowadzić do tej (przenosimy wszystko na lewą stronę, a jeżeli jakiś współczynnik stoi przy x5, dzielimy przez niego obustronnie).

Nasz cel, rozwiązać równanie, oznacza podać takie wartości x, dla których zachodzi wskazana równość, czyli dla których lewa strona przyjmuje rzeczywiście wartość 0.

W przypadku równań kwadratowych i sześciennych, a nawet czwartego stopnia zawsze można to zrobić wedle odpowiedniego przepisu. Rozwiązywania równań kwadratowych w ten sposób uczymy dzieci w szkołach (no dobrze, próbujemy nauczyć wyrośnięte dzieci, a raczej młodzież, w liceach i technikach). Pamiętamy pewnie, że liczyło się deltę itd… Generalnie podstawiamy współczynniki do wzoru i otrzymujemy rozwiązanie. Wzór obejmować może dodawanie, odejmowanie, mnożenie, dzielenie i pierwiastkami. Rozwiązaliśmy zadanie i możemy być z siebie dumni.

Przepis na rozwiązanie równania kwadratowego, jak pisze Stewart, odkryto już w starożytnej Mezopotamii, o czym świadczą gliniane tabliczki.

Podobnie dzieje się w przypadku równań trzeciego i czwartego stopnia. Wzory można bez problemu znaleźć w Internecie (ostrzegam: są dość przerażające). W dalszym ciągu zawsze otrzymujemy rozwiązanie wyrażające się czterema podstawowymi działaniami i pierwiastkami.

Wielu matematyków próbowało znaleźć podobny przepis działający w przypadku równania stopnia piątego i wszyscy polegli. W końcu zaczęto podejrzewać, że z jakichś względów rozwiązanie nie istnieje.

Tego właśnie dowiódł Abel. Jego tok rozumowania przedstawić można obrazowo w postaci wieży.

Na pierwszym poziomie mamy współczynniki równania a, b i tak dalej. Możemy je sobie, jak pisze Stewart, bezpiecznie dodawać, odejmować, mnożyć i dzielić. Litościwy dla czytelnika autor nie wspomina w tym momencie, że strukturę algebraicznej umożliwiającą wykonywanie tych czterech podstawowych działań nazywamy ciałem (po angielsku field, co dosłownie znaczy “pole”, nie mam pojęcia, co się komu po polsku i z czym kojarzyło, że przeszliśmy z pola w ciało). W najprostszym (nie, to nie znaczy: prostym) przypadku do wyjściowego ciała należą wszystkie liczby wymierne.

Teraz wybieramy sobie z tego ciała jeden element (no i przez specyfikę języka polskiego wyszło, jakbyśmy dokonywali sekcji zwłok, naprawdę bezpieczniej byłoby z tym angielskim polem). W każdym razie z tego wybranego elementu wyciągamy pierwiastek.

Następnie wchodzimy po drabinie na drugie piętro z naszym pierwiastkiem w kieszeni (rozwijając trochę metaforę z książki, możemy powiedzieć, że stanowi on to taki klucz). Mniej metaforycznie, a bardziej matematycznie pierwiastek ten dołączamy do liczb w naszym ciele (tych z piętra niżej) i znowu możemy pobawić się w dodawanie, odejmowanie, mnożenie i dzielenie. Tak więc otrzymaliśmy nowe ciało. Zupełnie matematycznie powiedzielibyśmy, że rozszerzyliśmy ciało o pewien element algebraiczny (czyli stanowiący rozwiązanie pewnego równania wielomianowego o współczynnikach z naszego ciała, np. pierwiastek z 3 jest liczbą algebraiczną, stanowiąc rozwiązanie równania x2 = 3, a π nie, bo nie jest rozwiązaniem żadnego takiego równania).

W przypadku równania kwadratowego należało wybrać pierwiastek ze znanej nam ze szkoły delty (dla równania x2 + bx +c równej b2 – 4c). Dodajemy go do liczb z naszego wyjściowego ciała i liczymy dalej w nowym, rozszerzonym ciele na piętrze naszej wieży. Możemy sobie dodać do niego -b i podzielić przez 2. To będzie pierwsza rozwiązanie naszego równania. Jeżeli natomiast najpierw pomnożymy ten pierwiastek przez -1 i następnie zrobimy jak wyżej, otrzymamy drugie rozwiązanie. Jak widać, rozwiązania znajdują się wśród liczb, które możemy otrzymać na tym piętrze (należą do naszego rozszerzenia ciała liczb wymiernych). Zauważmy, że udało nam się rozwiązać równanie, bo wybraliśmy właściwe rozszerzenie, tzn. dołączyliśmy odpowiedni pierwiastek. Dołączenie innego mogłoby nie zaprowadzić nas nigdzie.

Każde piętro wieży stanowi kolejne rozszerzenie ciała, a wejście na nie umożliwia nam wyciągnięcie pierwiastka z odpowiedniego elementu na poprzednim poziomie. Na szczycie znajduje się ciało zawierające rozwiązanie naszego równania wielomianowego. (Wieża ratuszowa na Rynku w Krakowie, Lestat, za Wikimedia Commons, CC BY-SA 3.0)

W przypadku bardziej skomplikowanych równań trzeciego czy czwartego stopnia musimy kilkakrotnie dołączyć właściwy pierwiastek właściwego stopnia (drugiego bądź trzeciego), wspinać się z nim na wyższe piętro (tworzyć kolejne rozszerzenia ciał) i po kilkurazowym wykonaniu tego zadania otrzymujemy ciało zawierające rozwiązania równania.

Za każdym razem jednak możemy przejść na wyższe piętro tylko wtedy, kiedy umożliwia nam to symetria równania.

Za każdym razem, gdy rozszerzamy ciało o wszystkie pierwiastki jakiegoś wielomianu, pierwiastki cechuje pewna symetria i możemy je w pewnym stopniu ze sobą zamieniać w równaniach, a równości zostaną zachowane. Takie zamiany określa tak zwana grupa symetrii.

Drabina na kolejne piętro istnieje tylko wtedy, gdy ta grupa zawiera mniejszą grupę będącą jej tzw. dzielnikiem normalnym (tak jak grupę liczb całkowitych można podzielić przez podgrupę liczb podzielnych przez 7 i otrzymamy grupę ilorazową o 7 elementach odpowiadających siedmiu możliwym resztom z dzielenia przez 7).

Grupa symetrii równania piątego stopnia w przeciwieństwie do grup równań sześciennego czy czwartego stopnia nie ma odpowiednich (matematyk powiedziałby normalnych) podgrup poza jedną. Możemy sobie wybrać pierwiastek, wejść na pięterko i nic więcej. Nie ma dalszych dzielników, nie ma dalszych drabinek, choćbyśmy pierwiastkowali wzdłuż i wszerz. Rozwiązania równania nie należą do żadnego z rozszerzeń ciał otrzymywanych opisaną wyżej procedurą. Żadnych drabin nie ma. Pierwiastki równania znajdują się znacznie wyżej.

Marcin Nowak

Bibliografia

  • Stewart I: Dlaczego prawda jest piękna. O symetrii w matematyce i fizyce. Prószyński i S-ka, Warszawa 2007 / 2012
Reklama