Pięć pierwszych
Czy pamiętają Państwo łamigłówkę KenKen? Przypomnę na mini-przykładzie na czym polega.
W pola kwadratu n×n (w tym przypadku 4×4) należy wpisać liczby od 1 do n tak, aby w każdym wierszu i w każdej kolumnie znalazły się różne liczby. Kluczem do rozwiązania jest podział kwadratu na działki złożone z kilku pól – w rogu każdej znajduje się wynik działania na wszystkich liczbach, które powinny się w tej działce pojawić. Rodzaj działania określa znak obok wyniku.
Prawdopodobnie los KenKen byłby taki, jak mnóstwa innych łamigłówek, czyli utkwiłaby ona na łamach niszowych pisemek i stron internetowych, gdyby przed sześciu laty nie przygarnął jej New York Times. A co istotniejsze, hołubi do dziś – w każdym numerze tego szacownego dziennika można znaleźć dwa zadania o różnym stopniu trudności. To prasowy ewenement. Żadne czasopismo tak wytrwale nie lansowało nowej łamigłówki.
KenKen poza rozrywkowymi ma także spore walory edukacyjne, nic więc dziwnego, że za sprawą rubryczki w NYT zaczął uatrakcyjniać lekcje arytmetyki nie tylko w amerykańskich szkołach. Przed miesiącem odbył się w Nowym Jorku pierwszy międzynarodowy turniej dla uczniów nazwany szumnie mistrzostwami świata w KenKen.
Z autorskiego, merytorycznego punktu widzenia standardowa łamigłówka ma jedną słabą stronę – nadmiar informacji. Sporo znaków działania, a niekiedy także niektóre wyniki można usunąć z diagramu, a rozwiązanie nadal będzie jedno. W ambitniejszych formach zadań ta wada bywa ograniczana lub eliminowana. Pojawiają się też mocno zakręcone odmiany KenKen. Oto jedna z nich.
Piszemy o tym, co ważne i ciekawe
Żałoba w kabarecie
Dotąd rozśmieszała Polskę, teraz ją zasmuciła. Joanna Kołaczkowska była jasnym punktem sceny kabaretowej bazującej na inteligentnym humorze. Ta era już powoli zmierzcha.
Do diagramu należy wpisać pięć różnych liczb pierwszych – oczywiście każdą pięciokrotnie i tak, aby w żadnym wierszu ani kolumnie nie było powtórek. Podane są wyniki działań, ale brak znaków określających ich rodzaje.
Czy wyniki tworzą zbiór krytyczny, tzn. czy usunięcie któregoś zwiększyłoby liczbę rozwiązań? – oto jest pytanie dodatkowe.
Komentarze
Czy nie ma błędu w tym zadaniu ? Suma liczb wiersza 4 wynosi 36 a wiersza 5 to 53. Ponieważ w obu wierszach są takie same liczby to te sumy powinny być równe. No chyba, że się mocno mylę.
Błędu nie ma. Dlaczego?
mp
Przynajmniej wiadomo, że nie ma dzielenia
znak ‚-‚ oraz ‚:’ mogą znajdować się tylko w polach zawierających dokładnie dwie komórki, dobrze rozumuję?
wróć.. ‚:’ w ogóle nie może występować, wszak to liczby pierwsze…
5,17,19,2,3
19,2,5,3,17
17,19,3,5,2
2,3,17,19,5
3,5,2,17,19
Mamy jedno odejmowanie (14), dwa mnożenia (15, 18), a reszta jest dodawaniem.
Rozwiązywałem przy założeniu, że bloki trzech liczb nie mogą się opierać na odejmowaniu. Nie wiem, czy dopuszczenie np. 27=37-7-3 nie pozwoli odnaleźć innego rozwiązania. Ale to już przekracza moje dzisiejsze (i pewnie nie tylko) siły.
Początek drogi do rozwiązania:
1. 27 – wykluczamy iloczyn, bo to potęga trójki, zostaje suma. Wykluczamy z tego bloku 2, bo pozostałe pierwsze są nieparzyste i nie dadzą razem sumy nieparzystej. Gdyby wykluczyć 3, to nie uda się już zbudować sumy, więc mamy pierwszą liczbę.
2. 22 – wykluczamy iloczyn (11×2), bo jest tylko z dwóch liczb pierwszych. Możliwe tylko dwie sumy: 2+3+17 i 2+7+13.
3. 38 – wykluczamy iloczyn (19×2), j.w. Suma musi zawierać 2, bo jest parzysta.
4. Wykluczamy sumę, bo w bloku 38 jest już 2, a potrzebujemy parzystego składnika, to samo z różnicą. Zostaje iloczyn 3×5 (mamy już trzy liczby: 2, 3, 5).
5. 14 – wykluczamy iloczyn (2×7), bo dwójka jest już w bloku 22. Jedyna możliwa suma, to 3+11, ale jest jeszcze odejmowanie. W żadnej z sum 22 nie ma 5, musi być tutaj, a więc: 19-5. W takim razie blok 22 musi zawierać 3, czyli: 2+3+17. Mamy pełen zestaw liczb: 2, 3, 5, 17, 19.
Dalej już z górki.
Bo w diagramie są mnożenia i odejmowania, acz pierwszością łatwo uzasadnić brak dzieleń.
Są to następujące liczby pierwsze: 2, 3, 5, 17, 19. Liczby z działaniami: 24+, 27+, 18x, 55+, 24+, 22+,14-, 15x,38+.
5 17 19 2 3
19 2 5 3 17
17 19 3 5 2
2 3 17 19 5
3 5 2 17 19
5,17,19,2,3
19,2,5,3,17
17,19,3,5,2
2,3,17,19,5
3,5,2,17,19
Świetne zadanko Panie Marku !
Poniżej metodologia rozwiązywania krok po kroku.
1. Oczywistym jest, że w diagramie nie użyjemy dzielenia.
2. Odejmowanie może (ale nie musi) wystąpić tylko w polach składających się dwóch liczb w dolnych rzędach.
3. Chwilowo rozpatrujemy tylko trzy górne rzędy. Podane w nich liczby sumują się do 148 ale ponieważ 148 nie jest podzielne przez 3 wiadomo, że w co najmniej jednym z pól należy użyć mnożenia a nie dodawania.
4. Spośród wszystkich pięciu pól tylko 18 da się przedstawić za pomocą mnożenia. 18=2x3x3 (wpisujemy w diagram)
5. Zatem liczby pierwsze w trzech górnych rzędach sumują się do 138. 138/3=46 i tyle musi wynieść suma naszych poszukiwanych liczb pierwszych.
6. Znamy już 2 i 3. Szukamy więc trójki liczb, których suma daje 41.
Jest tylko pięć możliwości:
5+7+29
5+13+23
7+11+23
5+17+19
11+13+17
7. Liczba 55 nie może być uzyskana z żadnych trzech różnych liczb. Wiadomo więc, że jedna z liczb musi się powtórzyć. Drogą eliminacji dochodzimy do tego, że jedynie trójka 7, 17, 19 spełnia oczekiwania a 55 przedstawiamy jako sumę 19+17+19 (wpisujemy w diagram)
8. Liczba 27 wyrażona jest jednoznacznie sumą 19+5+3 (wpisujemy w diagram, kolejność również jednoznaczna)
9. Liczba 24 (po lewej) również przedstawiona jest jednoznacznie jako suma 17+5+2 (wpisujemy w diagram)
10. Liczba 24 (po prawej) podobnie jak pkt. 9
11. Przechodzimy do dwóch dolnych rzędów. 22+14 nie jest równe 46 więc 22 musi być wyrażona jako różnica lub iloczyn. Iloczynu nie da się stworzyć, zatem różnica 17-3 lub 19-5. 17-3 odpada gdyż 3 występuje już zarówno w czwartej jak i piatej kolumnie. Zatem 19-5 i kolejność wpisania do diagramu jest wymuszona.
12. Liczba 22 jest sumą 17+3+2 (wpisujemy liczby)
13. Dolny rząd uzupełniamy tak aby każda liczba występowała w każdej kolumnie.
Z diagramu na pewno można usunąć liczny z dolnego rzędu. Zdaje się, że można również usunąć liczbę 22 z rzędu czwartego.
Przypadkowo zajrzałam tu dzisiaj i widzę moje ulubione ken-ken. Miło, no to mogę się pochwalić? Rozwiązuję te łamigłówki właśnie w „NYT Magazine” – tygodniowym dodatku do codziennej gazety. Jedna wersja jest 5×5, druga 7×7. Wersja 7×7 nie jest wiele trudniejsza, gdyż liczba „7” dużo ułatwia. Natomiast w codziennej darmowej nowojorskiej gazecie AMNewYork jest każdego dnia ken ken w wersji 6×6. Łapię w tunelu metra rozdawaną gazetę i już mam zajęcie na część jazdy,
Podane w drugim diagramie wyniki działań nie tworzą zbioru krytycznego. Usunięcie trzech liczb, tj. : 24, 27 i 24 nie spowoduje utraty jednoznaczności rozwiązania.
Jaki jest zbiór krytyczny? Tego nie wiem.
Zgadzam się z Andrzejem, praktycznie wszystko rozwiązują dwa dolne wiersze i obszary z jedynymi możliwymi liczbami i ich powtórkami: 55 i 18.
Rozwiązanie
_5_17_19__ 2__3
19__2__5__3_ 17
17_19__3__5__2
_2__3_17_19__5
_3__5__2_17_19
Oprócz liczb podanych przez Andrzeja można usunąć jeszcze 38.
Mój pierwszy komentarz był bez sensu.
@Andrzej, Wiąz: zależy jak kto rozwiązuje, ja usunąłbym 3 liczby spośród 4 w dwóch dolnych rzędach
W dolnym wierszu albo 15 jest iloczynem i 38 jest sumą, albo 15 jest sumą/różnicą i 38 ilorazem (zakładamy, że w użyciu są dość „małe” liczby i raczej różnica nie wchodzi w rachubę), bo występuje tylko jedna parzysta liczba pierwsza. 38 nie może być ilorazem trzech różnych liczb pierwszych, więc w diagramie występują liczby 3, 5, 2 i dwie, których suma wynosi 36. Z trzech możliwości tylko 17 i 19 pozwalają uzyskać liczby w drugim wierszu od dołu. Teraz już łatwo wpisać w diagram wszystkie liczby w następujący sposób:
5 17 19 2 3
19 2 5 3 17
17 19 3 5 2
2 3 17 19 2
3 5 2 17 19
W poprzednich komentarzach chciano usuwać liczby z dolnych wierszy. Moim zdaniem bez nich nie można odgadnąć liczb w diagramie mimo, że na pewno liczby wpisałem dopiero do poletka z liczbą 55.
5, 17, 19, 2, 3
19, 2, 5, 3, 17
17, 19, 3, 5, 2
2, 3, 17, 19, 5
3, 5, 2, 17, 19
Od góry rzędami:
5, 17, 19, 2, 3
19, 2, 5, 3, 17
17, 19, 3, 5, 2
2, 3, 17, 19, 5
3, 5, 2, 17, 19
Trochę się spóźniłem z wpisem, ale rozwiązałem wcześniej.
Zacząłem od dołu: 38 jest na pewno sumą z udziałem 2, a więc 15 może być tylko iloczynem 3 i 5. Oprócz 38, także 22 i 55 muszą być sumami, co pozwala wpaść na 17 i 19. Itd.