Tercety
Na wstępie zwięzłe zadanie – dość ciekawe i proste:
Znajdź trzy różne liczby (a, b, c) takie, że suma każdych dwóch z nich jest kwadratem (a+b=x^2, a+c=y^2, b+c=z^2).
Szukanie rozwiązania, a właściwie przynajmniej kilku rozwiązań (jest ich nieskończenie wiele) to rzeczywiście nic trudnego. Najwygodniej zacząć od wybrania dwóch liczb i prób dopasowania do nich odpowiedniej trzeciej. To metoda trochę żmudna, ale skuteczna.
Jeśli przyjąć a=1, to pierwszy tercet pojawia się przy b=24 – {1,24,120}, a następnymi są {1,48,528} i {1,80,1520}. Dla a=2 pierwszy tercet tercetów tworzą: {2,23,98}, {2,34,47}, {2,47,482}; dla a=3 – {3,22,78}, {3,46,438}, {3,78,118}… I tak można dalej „tercetować” w nieskończoność.
Powyższe zadanie stanowi konkretny przykład ogólnego „wzorca”:
Znajdź x różnych liczb takich, że suma każdych n z nich jest liczbą o specyficznej własności – inaczej mówiąc, należącą do jakiegoś ściśle określonego zbioru.
Proponuję w związku z tym spróbować rozgryźć tercet z poniższego zdania-zadania:
Znajdź trzy różne liczby takie, że suma każdych dwóch z nich jest nieparzystą liczbą pierwszą.
Oczywiście wykluczamy korzystanie z AI – chyba że ktoś nie podoła temu sprawdzianowi NI i podda się.
Komentarze z prawidłowym rozwiązaniem ujawniane są wieczorem w przeddzień kolejnego wpisu (z błędnym zwykle od razu). Wpisy pojawiają się co 7 dni.
Komentarze
2.5
0.5
4.5
To zadanie na układ równań ze szkoły podstawowej. Dla dowolnego zbioru liczb pierwszych, mających być wynikiem {x, y, z}, wzory na te trzy liczby to
a=(x+y-z)/2
b=(x+z-y)/2
c=(z+y-x)/2
Jeśli wynikiem miałyby być liczby pierwsze 3, 5 i 7, to liczbami początkowymi, wynikającymi ze wzorów, będą 1/2, 5/2 i 9/2.
P.S. Bez pomocy „inteligenta”.
Zadanie można przedstawić tak:
a,b,c – liczby które sumujemy parami, większe od zera (ten warunek dodałem)
p,g,r – liczby pierwsze nieparzyste
p=a+b, q=a+c, r=b+c
2a=(a+b)+(a+c)−(b+c)=p+q−r
2b=(a+b)+(b+c)−(a+c)=p+r−q
2c=(a+c)+(b+c)−(a+b)=q+r−p
czyli wzór ogólny:
a=(p+q-r)/2
b=(p+r−q)/2
c=(q+r−p)/2
Warunek dodatniości (jeśli a,b,c>0)
p+q>r,p+r>q,q+r>p czyli p,q,r spełniają nierówności trójkąta.
Przykład p=5, q=7, r=11. Wtedy:a=0,5 b=4,5 c=6,5
Rozwiązań w całkowitych oczywiście nie ma.
Jeśli a, b i c są różnymi nieparzystymi liczbami pierwszymi, to zadanie sprowadza się do rozwiązania układu równań, w którym są 3 równania i 3 niewiadome x, y, z: x+y = a, x+z = b, y+z = c. Taki układ zawsze ma jedno rozwiązanie, na przykład dla a = 3, b = 5, c = 7 są to x = 0,5, y = 2,5, z = 4,5. Nie są to liczby całkowite, ale nie jest zastrzeżone, że muszą takimi być. Mogą się zdarzyć liczby ujemne, liczby te są ogólnie postaci (a+b-c)/2, to akurat w powyższym przykładzie byłoby x , czyli (3+5-7)/2, liczb ujemnych nie będzie, jeśli a, b, c spełniają nierówność trójkąta, na przykład dla 3, 11, 13 mamy 0,5, 2,5 i 10,5, ale dla 3, 7 i 13 otrzymujemy -1.5, 4,5 i 8,5, pojawia się liczba ujemna, bo 13 > 3+7, nie da się zbudować trójkąta o takich bokach.
Dla liczb całkowitych – rozwiązań brak (któraś suma musi być parzysta).
Rozwiązania istnieją dla liczb „połówkowych”, np.
{5,5; 7,5; 11,5}, {1,5; 3,5; 15,5}
Gdyby zagadka brzmiała „Znajdź trzy różne liczby takie, że suma każdych dwóch z nich jest liczbą pierwszą”, to bym powiedział: 0,1,2.
Ale jeżeli mamy ograniczenie do NIEPARZYSTYCH liczb pierwszych, to w zbiorze liczb naturalnych to nie może mieć rozwiązania…
Jezeli dobrze zrozumialem zadanie to takich liczb nie ma, jezeli ograniczymy sie tylko do liczb całkowitych. Jezeli zas, chodzi o ułamki to wydaje mi sie, ze takich zestawów może być dużo (niskończenie dużo?). Chociażby: 1/2, 5/2, 9/2 czy tez 5/2, 9/2, 17/2.
0.5 2.5 4.5