Niezłośliwy tekst o matematycznie niezłośliwym Bogu

23 sierpnia 2026
Blog szalonych naukowców

Bóg jest wyrafinowany, ale nie złośliwy – brzmi jeden z najsłynniejszych cytatów z Einsteina. O co chodziło geniuszowi fizyki?

Jest to jeden z nielicznych cytatów potrafiących służyć fizykom za motto ich pracy, grawerowane na ścianach czy pomnikach.

Temat ten podejmuje profesor Michał Heller nie tylko w swej ostatniej książce „Siedem ważnych słów„, ale też w zbiorze „Spotkania z nauką. Jak być uczonym?” wydanym przez Copernicus Center Press, obejmującym znacznie starsze prace tego wybitnego dziewięćdziesięcioletniego myśliciela, fizyka i filozofa nauki, a także katolickiego księdza.

W przeciwieństwie do Hellera Einstein prawdopodobnie nie był teistą, nie wierzył w osobowego Boga. Prezentował raczej poglądy deistyczne, a mówiąc o myślach Boga miał we własnych myślach doskonałe i niezmienne prawa rządzące światem: prawa fizyki.

Zasady te, ku rozpaczy zainteresowanych niebędących zawodowymi ścisłowcami, opisuje się w języku bardzo skomplikowanej matematyki. Teoria względności to rachunek tensorowy, mechanika kwantowa operuje przestrzeniami Hilberta i grupami Liego (to pierwsze to jakby rozszerzenie wektorów w coś przypominającego macierze z całkowaniem, to ostatnie to połączenie grupy z rozmaitością, by to szczegółowo tutaj tłumaczyć, musiałbym być – w przeciwieństwie do Boga – bardzo złośliwy). W każdym razie nie jest to matematyka znana ze szkoły średniej, taka, którą można pojąć po kilku miesiącach nauki. O to właśnie chodzi w wyrafinowaniu Boga i, co za tym idzie, praw natury.

Co jednak najbardziej zaskakuje Hellera i czemu daje on wyraz również w innych swych książkach, to to, że prawa natury dają się w ogóle wyrazić matematycznie, a co więcej – dają się wyrazić matematyką w ogóle dla człowieka zrozumiałą (no dobrze – zrozumiałą dla nielicznych geniuszy takich jak Einstein czy sam Heller). Świat mógłby przecież dać się opisać wyłącznie matematyką zbyt trudną, by ktokolwiek z ludzi mógł ją pojąć.

Ksiądz profesor podaje następujące przykład. Załóżmy, że pewne prawo fizyki wyraża się funkcją rzeczywistą (by nie być złośliwym: chodzi o przyporządkowanie, które każdej liczbie rzeczywistej przypisuje jedną liczbę rzeczywistą). Otóż w zasadzie wszystkich takich funkcji nie jesteśmy w stanie nie tylko pojąć, ale nawet opisać słownie.

Dowód tej niemożliwości jest prosty, jeśli ktoś zna teorię mnogości (aczkolwiek to akurat dziedzina matematyki dość złośliwa). Możemy oczywiście napisać nieskończoną liczbę zdań, ale można uszeregować je w jednym ciągu, np. po długości i alfabetycznie. Skoro tak, to można je też ponumerować (pierwsze, drugie, trzecie i tak dalej, ad mortem defecatam, cytując złośliwie polityków). Oznacza to, że jest ich maksymalnie tyle, ile liczb naturalnych. Tym bardziej liczba zdań opisujących funkcje rzeczywiste nie może przewyższać liczności liczb naturalnych.

Tymczasem funkcji rzeczywistych jest znacznie więcej. Już nawet stałych funkcji rzeczywistych (przyporządkowujących każdemu argumentowi tą samą liczbę rzeczywistą) jest tyle, ile liczb rzeczywistych, czyli więcej niż liczb naturalnych.

Czemu liczb rzeczywistych jest więcej niż naturalnych? Dowodzi tego rozumowanie przekątniowe. Załóżmy na przekór, że jest ich tyle samo. Możemy wtedy sporządzić (przynajmniej w teorii) listę, na której znajdą się wszystkie liczby rzeczywiste. Stwórzmy teraz kolejną liczbę rzeczywistą, na pierwszym miejscu po przecinku umieszczając cyfrę o jeden większą od pierwszej cyfry po przecinku pierwszej liczby rzeczywistej z naszej listy, na drugim miejscu po przecinku liczbę o jeden większą od drugiej cyfry po przecinku drugiej liczby rzeczywistej i tak dalej do… hmm, w nieskończoność. Otrzymana liczba nie jest równa żadnej liczbie na liście, wobec czego wszystkie liczby rzeczywiste nie zmieszczą się na żadnej ponumerowanej liście – co było do udowodnienia.

Choć miałem nie być złośliwy, ten akurat przykład moim zdaniem nie do końca dobrze oddaje omawianą kwestię. Oto każdą liczbę rzeczywistą można przybliżyć z dowolną dokładnością liczbą wymierną. Po prostu chcąc zachować dokładność 10 do potęgi -n, bierzemy z niej n cyfr po przecinku, a resztę pomijamy. Niemniej jako tako obrazuje, o co chodzi.

Przybliżanie kojarzy się niemniej jeszcze z innym aspektem matematyczności świata, także opisywanym w książkach Hellera. Otóż bardziej skomplikowane teorie matematyczne opisujące świat da się przybliżyć mniej skomplikowanymi (te okropne tensory też).

Rachunek tensorowy pomińmy, miałem nie być złośliwy. Nadmienię tylko, że w przypadku niskich prędkości i mas teoria względności Einsteina przechodzi w teorię Newtona. W przypadku Układu Słonecznego poprawki są naprawdę niewielkie, aczkolwiek dokładne obserwacje pozwalają ujawnić różnicę na korzyść teorii Einsteina choćby w przesuwaniu się peryhelium Merkurego czy orbicie Neptuna.

W newtonowskiej teorii grawitacji każde dwa ciała obdarzone masą przyciągają się z siłą odwrotnie proporcjonalną do kwadratu odległości między nim. Dzisiaj zapisujemy to wzorem F = GmM/R2, Newton posługiwał się raczej opisem słownym (jak w wyżej podanym przykładzie Hellera).

W sumie w rachunku wektorowym moglibyśmy napisać F = GmM / R3 * R, ale mieliśmy upraszczać. Zwróćmy uwagę, że udało się wyprowadzić tą zależność także dlatego, że występuje w niej dość prosta potęga odległości 2, a nie na przykład 57, π czy -17.

Zauważmy teraz, że blisko Ziemi odległość od jej środka jest w miarę stała i równa jej promieniowi. Możemy w związku z tym uznać go za stałą i wprowadzić kolejną stała g = GM/R2, otrzymując wzór na siłę ciążenia F = mg. Jest on na tyle prosty, że uczymy go dzieci pod koniec podstawówki.

Podobnie praca w polu grawitacyjnym wyraża się ogólnie całką z siły po drodze. Po scałkowaniu wychodzi nam wyrażenie W = -GmM/R + stała, które dla miejsca końcowego (R – wysokość h) i początkowego (R) trzeba od siebie odjąć. Po podstawieniu g jak poprzednio wychodzi W = mgR2 razy różnica odwrotności R i R+h, która po przeliczeniu przechodzi w h / R(R-h). W naszym codziennyn życiu zmiany wysokości h są niewielkie w porównaniu z promieniem ZIemi, więc przybliżamy R-h do R, uzyskując –h/R2. Podstawiamy to do poprzedniego wzoru, otrzymując znany ze szkoły podstawowej wzór W = -mgh.

Dzięki temu przechodząc od łatwej do coraz trudniejszej matematyki jesteśmy w stanie (poprawka: niektórzy ludzie są w stanie) pojąć dzisiejszą fizykę, co więcej, wykorzystują ją do budowy telefonów komputerów, statków kosmicznych i skanerów rezonansu jądrowego. Wynalazki te i teorie, na których bazują, zawdzięczamy właśnie temu, że zjawiska fizyczne można przybliżać coraz łatwiejszą matematyką. Zaczynamy od matematyki szkolnej i idziemy powoli coraz wyżej. Nie musimy zaczynać od tensorów i grup Liego bądź czegoś jeszcze okropniejszego. To byłaby właśnie złośliwość Boga – stworzyć świat, którego nie da się opisać matematyką poznawalną przez człowieka.

Ponieważ jednak dwie główne teorie dzisiejszej fizyki, mechanika kwantowa i teoria względności, są ze sobą niezgodne, żadna z nich nie może być ostateczną teorią tłumaczącą świat. Wydaje się, że obie są przybliżeniami jakichś jeszcze znacznie bardziej skomplikowanej teorii. Pomimo dwóch rewolucji superstrunowych, M-teorii, geometrii konforemnych i rozmaitych innych pomysłów o równie dziwacznych nazwach tej bardziej fundamentalnej teorii jeszcze nie znamy. Fizycy jednak od dekad wierzą, że istnieje.

Czy naprawdę istnieje i czy wyraża się matematyką, którą będziemy w stanie zrozumieć? Pozostaje tylko wierzyć, że tak – ponieważ Bóg jest wyrafinowany, ale nie złośliwy.

Marcin Nowak

Reklama