Ulam i Fibonacci
Poza dwiema własnościami 2012, wymienionymi w poprzednim wpisie, niełatwo znaleźć jakieś inne ciekawostki lub osobliwości związane z tegoroczną liczbą – oczywiście ściśle matematyczne, bo apokaliptyczno-numerologicznych, wiążących się głównie z kalendarzem Majów lub Koranem, jest w sieci mnóstwo.
Za specyficzne można uznać na przykład to, że liczba 2012 dzieli się przez iloczyn tworzących ją cyfr, pomijając zero. W ciągu takich liczb tegoroczna zajmuje pozycję 147., wciśnięta między 2010 a 2016, unikatem więc raczej nie jest.
Jeszcze dalej, bo jako 218. wyraz ciągu, 2012 figuruje wśród tzw. liczb Ulama (od nazwiska wybitnego amerykańskiego matematyka polskiego pochodzenia). Oryginalny i ciekawy jest natomiast sam ciąg, więc o nim słów kilka.
To jakby przeciwieństwo ciągu Fibonacciego, zwłaszcza jeśli ten klasyczny ciąg zdefiniować nieco inaczej. W wersji podstawowej ciąg Fibonacciego zaczyna się od zera i jedynki, a każdy następny wyraz jest sumą dwu poprzednich, czyli:
(A) 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584, 4181, 6765,…
Można jednak zacząć od dowolnej pary liczb całkowitych nieujemnych, np. od 1 i 2, a zasadę tworzenia ciągu sformułować tak: każdy następny wyraz jest największą sumą dwóch różnych liczb wybranych spośród tych, które dotąd pojawiły się w ciągu.
Ciąg Ulama powstanie, jeśli w tym pokrętnym sformułowaniu zamiast „największą” wstawić „najmniejszą” oraz dodać następujący warunek: ciąg powinien być rosnący, a suma, stanowiąca kolejny wyraz, powinna być możliwa do utworzenia (z dostępnych liczb) tylko na jeden sposób.
Zaczynający się od 1 i 2 ciąg wygląda więc tak:
(B) 1, 2, 3, 4, 6, 8, 11, 13, 16, 18, 26, 28, 36, 38, 47, 48, 53, 57, 62, 69, 72, 77, 82, 87, 97, 99, 102,…
Gwoli jasności wytłumaczenie, dlaczego na przykład po 28 jest 36.
29 nie pasuje, bo 29 = 1 + 28 = 3 + 26 = 11 + 18 = 13 + 16, czyli sumę można utworzyć aż na cztery sposoby. 30, 31 i 32 da się złożyć na dwa sposoby, 34 – na trzy. Sum 33 i 35 w ogóle nie można utworzyć. Dopiero 36 ma unikalny skład – 8 + 28 (18 + 18 odpada, bo liczby powinny być różne).
Poza podstawowymi, rzec by można „kanonicznymi” postaciami ciągów przedstawionymi wyżej [(A) i (B)], istnieje nieskończenie wiele ich odmian, zaczynających się od dwu dowolnych liczb. Jeśli np. pierwszą parą będą 1 i 5, to ciąg Fibonacciego rozwinie się tak:
(C) 1, 5, 6, 11, 17, 28, 45, 73, 118, 191, 309, 500, 809, 1309, 2118, 3427, 5545, 8972,…,
a ciąg Ulama:
(D) 1, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 12, 20, 22, 23, 24, 26, 38, 39, 40, 41, 52, 57, 69, 70, 71, 82, 87, 98, 102…
W (D), podobnie jak w (B), także pojawi się 2012, w (C), jak widać, podobnie jak w (A) – nie.
Piszemy o tym, co ważne i ciekawe
Zniknięcie Anżeliki
Anżelika Mielnikawa, ważna białoruska opozycjonistka, obywatelka Polski, zaginęła. W lutym poleciała do Londynu. Tam ślad się urwał. Udało nam się ustalić, co stało się dalej.
Od jakich dwu liczb, których suma jest najmniejsza, zaczyna się ciąg Fibonacciego, zawierający liczbę 2012?
Komentarze z prawidłowymi rozwiązaniami uwalniane są wieczorem w przeddzień kolejnego wpisu. Wpisy pojawiają się co 3-4 dni.
Komentarze
10 i 53
10,53
11 i 89 (okragla sumka – 100)
a
10, 53 – nie ukrywam – z pomocą excela
43 i 10
10+53=63