Gwiaździście
Wewnątrz budynku redakcji El Semanario Político znajduje się koliste patio z mozaiką w kształcie dwunastokąta gwiaździstego foremnego, wpisanego w dwunastokąt foremny.
Długość boku zwykłego dwunastokąta foremnego i długość boku ramienia gwiazdy są takie same – równe 1 metr. Jaka jest powierzchnia gwiazdy?
Zadanie to można rozwiązać nie wykonując praktycznie żadnych obliczeń. W jaki sposób?
Komentarze z prawidłowym rozwiązaniem ujawniane są wieczorem w przeddzień kolejnego wpisu (z błędnym zwykle od razu). Wpisy pojawiają się co 7 dni.
Komentarze
Sprytne. Robimy tak:
W niebieskie pole wrysowujemy sześciokąt foremny o boku 1 m, oparty swoimi wierzchołkami na co drugim wierzchołku wewnętrznym gwiazdy. Wpisujemy w ten sześciokąt trzy przekątne, co skutkuje utworzeniem tam sześciu trójkątów równobocznych. Są one identyczne jak te żółte, które są na zewnątrz wpisanego sześciokąta. Ich przesunięcie do środka figury powoduje powstanie na zewnątrz sześciokąta sześciu kwadratów o boku 1 m. Suma pól tych kwadratów jest równoważna poszukiwanemu w pytaniu polu figury.
[Pole figury] = 6 * [pole kwadratu o boku trójkąta równobocznego]
Porównajmy jeden z żółtych trójkątów, niech będzie ABC (AB – bok dwunastokąta) z trójkątem ABO, gdzie O – środek dwunastokąta. Kąt ACB jest równy 60 °, a kąt AOB 30 °, bo to dwunastokąt, czyli 360 °/12. Można więc powiedzieć, że te kąty są odpowiednio środkowym i wpisanym w okrąg o środku w punkcie C i promieniu CA, CB, i, jak się okazuje, także CO, więc CO = 1. Wysokość trójkąta ABC to sq(3)/2, a trójkąta ABO (na bok AB) sq(3)/2 + CO = sq(3)/2 + 1. Różnica pól tych trójkątów to zatem po prostu 1/2, a że trójkątów mamy 12, to pole niebieskie wynosi 6.
Pole=6
Ale coś tam musiałem policzyć.
Albo pole dwunastokąta – 12 pól trójkątów
Albo pole sześciokąta + 6 pól zębatych obszarów w kwadracie 1×1
Dzielimy gwiazdę promieniami na 24 przystające trójkąty.
Każdy trójkąt ma ramiona długości 1 i kąt między nimi 30°, więc
pole =½·1·1·sin30° = ¼.
Pole gwiazdy 24·¼ = 6
I to wszystko – żadnych wzorów na pola wielokątów, tylko podział na trójkąty i proste sin 30°=½
Prawie bez obliczeń wychodzi 6 (pole równoramiennego – pole równobocznego)*12, gdzie pola trójkątów (o podstawie jeden i standardowych kątach) praktycznie zna się na pamięć.
Powierzchnia 12-kąta foremnego składa się z rdzenia(6-kąt foremny) i obwiedni (naprzemiennie trójkąt, kwadrat, …).
6*trójkąt + (6*trójkąt+6*kwadrat) = 12*trójkąt + 6*kwadrat
Odejmując od tego 12 trójkątów otrzymamy powierzchnię 12-kąta gwiaździstego.
6*kwadrat = 6 metrów kwadratowych
Nie do końca wiem, czy moje rozwiązanie spełnia wymóg, że praktycznie nie trzeba nic liczyć, ale spróbuję się podzielić.
Jeżeli wstawimy punkt pośrodku wielokąta foremnego i połączymy go z wierzchołkami 12 trójkątów, to uzyskamy 12 rombów o boku 1m.
Kąt ostry tych rombów wynosi 30 stopni (360/12).
Wiemy, że to są romby, bo kąt ostry pomiędzy trójkątami też wynosi 30 stopni (suma kątów w dwunastokącie 1800 stopni – 12*120 stopni = 360 stopni, co po podziale przez 12 daje 30 stopni).
No i teraz musimy już liczyć ze wzoru: pole rombu to 1^2*sin(30 stopni) = 1/2.
Rombów jest 12, więc pole gwiazdy to 12*1/2 = 6